รากกับกรณฑ์ที่สับสน

เมื่อกล่าวถึงคำว่า ราก(root)หลายท่านก็ดูเหมือนจะเข้าใจกันดี เพราะคุ้นชินกันมาตั้งแต่สมัยเรียนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษาตอนต้นแล้ว แต่ก็ไม่แน่ใจว่าเข้าใจครอบคลุมครบถ้วนใน concept นั้นเพียงใด เพราะผู้เขียนเคยถามนักศึกษาในระดับอุดมศึกษาที่สอนเสมอว่า รากที่สองของ 9 เป็นเท่าไร ซึ่งก็ได้รับคำตอบกลับมาทันทีโดยไม่สงสัยว่า " ก็ 3 นะซิ...ถามได้ ง่ายแค่นี้! " โดยลืมฉุกคิดไปว่า -3 ก็เป็นรากอีกตัวหนึ่งของ 9 เช่นกัน
แต่ถ้าถูกถามว่า "กรณฑ์(radical) ที่สองของ 9 เป็นเท่าไร ? หลายคนอาจชะงัก สับสน "อะไรวะกรณฑ์...ไม่เคยได้ยิน" ทั้ง ๆ ที่มันก็มีช่วงเวลาที่เรารู้จักมันใกล้เคียงกับคำว่ารากนั่นแหละ กรณฑ์ ก็คือ รากหลัก หรือรากสำคัญ (principle root) นั่นเอง หรือจะกล่าวว่ามันก็คือสับเซตของรากก็ว่าได้ กรณฑ์ที่่สองของ 9 ก็คือ 3 (ไม่รวม -3) นั่นคือกรณีอันดับของกรณฑ์เป็นเลขคู่ กรณฑ์อันดับ n ของจำนวนบวกใด ก็คือเลขบวกที่ยกกำลัง n แล้วได้เท่ากับจำนวนนั้น แต่ถ้าเป็นกรณฑ์อันดับคี่แล้วกรณฑ์กับรากก็ได้ผลเท่ากัน เช่นกรณฑ์อันดับ 3 ของ -8 หรือ รากอันดับ 3 ของ -8 ต่างก็เท่ากับ -2 เช่นกัน

แนวคิด ของรากที่ n หรือ กรณฑ์ที่ n กำหนดได้ดังดังนี้

### รากที่ n ของ x หมายถึง จำนวนจริงใดที่ยกกำลัง n แล้วได้ x จะได้ว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบ หรือผลเฉลย (solution)ของสมการ ซึ่งคำตอบนั้นจะไม่ยึดว่าเป็นค่าบวกเท่านั้นหรือค่าลบเท่านั้น ส่วนกรณฑ์ที่ n หมายถึง จำนวนจริงใดที่ยกกำลัง n แล้วได้ x ซึ่งหากคำตอบของสมการนั้นมีทั้งค่าบวกและค่าลบ ให้ถือว่าคำตอบของสมการนั้นเป็นค่าบวกเพียงอย่างเดียว ###


ขอความมีศิริมงคลแห่งธรรมจงคุ้มครองท่านให้มีความสุขสงบด้วยเทอญ

"โอม นะมะ พุทธะ"
ThaiBlog.info

ภาวะคู่กัน

หลักการของภาวะคู่กัน (Principle of Duality) คำว่า Duality หมายความว่า 'การอยู่กันเป็นคู่' หรือทางคณิตศาสตร์แปลว่า 'ภาวะคู่กัน' ใน Digital Logic ใช้แทนการเท่ากันของนิพจน์

การเท่ากันของนิพจน์ที่กลับนิพจน์โดยจะสลับเครื่องหมายและตัวเลข แต่ค่าเดิมจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยที่

1. สลับเครื่องหมายคูณ ( • ) กับเครื่องหมายบวก ( + )
2. ลลับเลข 0 กับเลข 1
3. ไม่สามารถเปลี่ยนค่า a เป็น a’

ตัวอย่าง

a + 0 = a จะเท่ากับ a • 1 = a

a + 1 = 1 จะเท่ากับ a • 0 = 0

a + a = a จะเท่ากับ a • a = a

a + a’ = 1 จะเท่ากับ a • a’ = 0

และ (a') ' จะเท่ากับ a

ข้อสังเกต
1. บางครั้งนิพจน์duality อาจจะไม่เท่ากับนิพจน์ตั้งต้น
2. ถ้านิพจน์ตั้งต้นสมเหตุสมผล นิพจน์ที่เท่ากันจะสมเหตุสมผลด้วย
3. ถ้านิพจน์ใดไม่ว่าจะเป็นนิพจน์ตั้งต้น หรือนิพจน์ที่เท่ากันใดๆเป็นจริง นิพจน์อื่นจะเป็นจริงด้วย

ภาวะคู่เสมอกันเทียบเคียงได้กับศัพท์คำว่า "ทวิภาวะ" ในทางพุทธศาสนา ซึ่งหมายถึง ธรรมที่เป็นของคู่ระบุถึงความเป็นสุดขั้ว ของความปรุงแต่งคู่ต่าง ๆ เช่น ดีกับชั่ว, สั้นกับยาว, ขาวกับดำ, มีกับไม่มี, รู้สึกตัวกับไม่รู้สึกตัว ฯลฯ ท่านสังฆปรินายกองค์ที่ ๖(ท่านเว่ยหล่าง)แห่งพุทธศาสนานิกายเซนในจีนชอบใช้คำศัพท์นี้(ทวิภาวะ)ในการ แสดงธรรมอยู่บ่อยๆ และ "ทวิภาวะ"ก็น่าจะเป็นการระบุถึงความปรุงแต่งอีกแง่มุมหนึ่งโดยเน้นที่ สุดขั้วของความเหมือนและความต่างดังที่กล่าวแล้ว ทวิภาวะ หรือ ภาวะคู่กันนี้แสดงให้เห็นสัจจของการเกิดร่วมกันหรือเป็นคู่ขนานในระบบอันเป็นฐานรองรับซึ่งกันและกัน ความจริงที่แปรเปลื่ยนไปภายใต้เงื่อนไขของระบบหนึ่ง ย่อมสอดคล้องส่งผลต่อระบบที่คู่กันอยู่เสมอ เมื่อสามารถพิสูจน์หรือแสดงทฤษฎีในระบบหนึ่งว่าเป็นจริง จะได้ผลโดยอัตโนมัติทันทีีว่าหลักการที่มีเนื้อหาที่สอดคล้องกันย่อมเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

Well defined !

ในการอธิบาย concept ของเซต ที่เป็น Undefined Term ในทางคณิตศาสตร์นั้น ครูผู้สอนมักจะอธิบายในลักษณะการนำคำว่าเซตไปใช้อ้างอิงถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่ต้องระบุสมาชิกในกลุ่มที่กล่าวถึงนั้นได้อย่างชัดเจน ถูกต้อง ตรงกัน และไม่กำกวมก่อให้เกิดการถกเถียง เช้น จะใช้ เซตของผลไม้ที่อร่อย เซตของบ้านที่น่าอยู่ เซตของคนสวย ซึ่งแต่ละคนอาจเลือกสรรสมาชิกของเซตที่กล่าวถึงแตกต่างกันได้ นอกจากนี้การเขียนเซตในลักษณะ เช่น { 3, 5, 7, ...} ก็ไม่ควรจะเกิดขึ้น เพราะสมาชิกลำดับถัดจาก 7 บางคนอาจบอกว่า เป็น 9 ถ้าเขาคิดว่ามันเป็นเซตของจำนวนคี่ แต่บางคนอาจบอกว่าเป็น 11 ถ้า เขาหมายถึงเซตของจำนวนเฉพาะ
ดังนั้นการระบุ หรือ เขียนแสดงเซต ต้องตระหนักถึงความ well defined ในการเขียนด้วย


การสอนของครูคณิตฯควรตระหนักถึึง ความ " ชัดแจ้ง จูงใจ แกล้วกล้า ร่าเริง "

มหาพุทธมนต์ "นัมเมียว โฮ เร็งเง เคียว"

บวกกับคูณหมุนสู่ฟังก์ชัน

ทุกท่านคงคุ้นเคยกับการบวก และการคูณของจำนวนกันเป็นอย่างดีใ่ช่ไหมครับ เพราะทั้งคู่ต่างก็เป็น operation หลักพื้นฐานสำคัญในวิชาเลขคณิต (Arithmetic) ซึ่งเป็นราชินีของวิชาคณิตศาสตร์ (Queen of Maths) ท่านทราบไหมว่า การดำเนินการทั้งสองนี้เราสามารถมองในมุมมองของการเป็นฟังก์ชันบนเซตของจำนวนจริง(หรืออื่น ๆ )ได้ นั้นคือ

+ : R x R ---> R โดยที่ +(( a,b)) = a+b เมื่อ (a, b) เป็นสมาชิกใด ๆ ใน RxR เช่น +((2,5)) = 2+5 = 7
x : R x R ---> R โดยที่ x(( a,b)) = axb เมื่อ (a, b) เป็นสมาชิกใด ๆ ใน RxR เช่น x((2,5))= 2x5 = 10

จะเห็นว่าเมื่อป้อน(input) คู่อันดับ (a,b) ของ RxR ผ่านลงไปในเงื่อนไขของ การบวก หรือ การคูณ จะได้ผลลัพธ์เป็นสมาชิกใน R เพียงตัวเดียวในแต่ละการดำเนินการ แสดงว่าเงื่อนไขดังกล่าวนั้นเป็นฟังก์ชันแน่นอน ฟังก์ชัน บวก หรือ คูณ ในรูป operation ดังกล่าวนี้ เรารู้จักกันในชื่อ ของการดำเนินการทวิภาค (Binary operation) บน R นั่นเอง

ของทุกท่านจงมีจิตแจ่มใสในใจที่เปี่ยมสุข สงบ

"โอม นะมะ พุทธะ."

เงื่อนไขทำไม ทำไมต้องเงื่อนไข

ในข้อตกลงของวิธีการเขียนเซต(set) นั้น มีวิธีการเขียนเซตได้สองแบบ คือ การเขีียนแบบแจกแจงสมาชิก และ แบบบอกเงื่อนไข
บางท่านอาจสงสัยว่า เขียนเพียงแบบแจกแจงสมาชิกอย่างเดียวก็น่าจะชัดเจน เพียงพอแล้ว ทำไมต้องเขียนแบบบอกเงื่อนไขให้วุ่นวาย
ยุ่งยากไปทำไม เรื่องนี้มีเหตุผล ดังในกรณีเซตบางลักษณะเช่น เซตของจำนวนจริง เซตของจำนวนตรรกยะ เราไม่อาจจะเขียนแจกแจงสมาชิกได้เลย แม้นว่าสมาชิกในเซตที่กล่าวถึงดังกล่าวนี้จะกำหนดได้อย่างชัดเจน (well defined) ก็ตาม ดังนั้นก็ต้องเขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขเท่านั้น

การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขนั้นจะมีความยืดหยุ่นในการใช้ได้มากกว่า และสามารถใช้ได้ในทุกสถานการณ์ นั่นคือ เซตทุกเซตที่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ย่อมสามารถเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้เสมอ


ขอพลังอำนาจแห่งความเข้าใจ จงบังเกิดแก่ทุกท่าน
"โอม มณี ปัทวี ฮม "

นัยที่แตกต่าง

นัยที่แตกต่างกันของจุดมุ่งหมายในการออกข้อสอบแบบปรนัย และอัตนัย เป็นดังนี้

ข้อสอบแบบปรนััย ใช้เพื่อช่วยในการออกข้อสอบให้ครอบคลุมขอบเขตวิชาได้กว้างขวาง ที่ไม่ต้องการความลึกซึ้งในรายละเอียด ต้องการวัดความรู้ในหลักการสำคัญเท่านั้น

ข้อสอบแบบอัตนัย เพื่อวัดความคิดผสมความรู้ และต้องการความลึกของการเรียนรู้ควบคู่ไปด้วย

ความว่างที่ยังวุ่น

ในการศึกษาเรื่องเซตนั้นเราจะพบว่า เซตว่าง (Empty set, Null set หรือ Void set) ซึ่งเป็นเซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิก 0 ตัว มีสมบัติพิเศษว่า เป็นเซตย่อยของทุกเซต ซึ่งการเป็นเซตย่อยของทุกเซตนั้นในหนังสือเรียนชั้น ม.ปลาย มักจะกำหนดให้เป็นข้อตกลง แต่อย่างไรก็ตามเราสามารถ พิสูจน์ได้โดยใช้รูปแบบการเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ได้ เนื่องจากข้อความในรูป implication ต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ

ให้ A แทนเซตใด ๆ จะได้
" ถ้า x เป็นสมาชิกของเซตว่าง แล้ว x ย่อมเป็นสมาชิกของ A" ข้อความนี้เป็นสัจนิรันดร์

เนื่องจากข้อความที่เป็นเหตุคือ x เป็นสมาชิกของเซตว่างนั้นเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้นไม่ว่า ข้อความที่เป็นผลจะเป็นจริง หรือ เท็จ ก็ตาม ย่อมส่งผลให้ข้อความดังกล่าวที่อยู่ในรูป "ถ้า ... แล้ว... " มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ นั่นคือเซตว่างย่อมเป็นเซตย่อยของ A เมื่อ A เป็นเซตใด ๆ ก็ย่อมแสดงว่าเซตว่างย่อมเป็นสมาชิกของทุกเซต

พิจาณาเซตกำลัง(Power set) ของเซตว่าง เนื่องจากเซตกำลังของเซตว่าง คือเซตที่รวบรวมเอาเซตย่อยของเซตว่างทั้งหมดไว้ เราจะเห็นว่า เซตว่างเป็นเซตย่อยของเซตว่าง ดังนั้นสมาชิกของเซตกำลังของเซตว่างจึงมีสมาชิกหนึ่งตัวคือเซตว่างนั่นเอง นั่นย่อมแสดงว่า เซตกำลังของเซตว่างย่อมมิใช่เซตว่างเพราะมีสมาชิก 1 ตัว คือเซตว่าง

ฉันใดก็ฉันนั้น ในวิถีของการปฏิบัติธรรมเพื่อการหลุดพ้นจากอัตตาตัวตน หรือความคิดปรุงแต่งนั้น สภาวะของความสงบว่างจากอกุศลธรรมทั้งหลายแล้วนั้น ในความว่างนั้นถ้าผู้ปฏิบัติยังยึดในความว่างนั้นอยู่ ก็ยังไม่ถึงที่สุดที่จะเข้าสู่ภาวะวิมุตติหลุดพ้นอย่างแท้จริง สิ้นเชิง เพราะยังมีจิตที่ยึดติดในความว่างอยู่ จิตจะต้องปล่อยวางแม้กระทั่งความว่างออกไปจึงจะก้าวล่วงสู่สภาวะสูงสุดได้
นั่นคือแม้นจะถึงความว่าง ถ้ายังยึดติด หรือมีีอุปทานในความว่างนั้นก็ยังหมุนสู่ความวุ่นได้อยู่ดี



ขอธรรมะเป็นพรแก่ทุกท่าน
มหาพุทธมนต์ " นัมเมียว โฮ เร็งเง เคียว "

เทคนิคการยกตัวอย่าง

1. ผู้สอนควรยกตัวอย่างง่าย ๆ เพื่อให้เกิดความเข้าใจได้รวดเร็วและถูกต้อง
2. ยกตัวอย่างจากหนังสืออื่นที่นอกเหนือจากหนังสือเรียน เพื่อนักเรียนจะได้ตัวอย่างที่หลากหลาย เพิ่มพูนประสบการณ์ ความสนใจและเข้าใจมากยิ่งขึ้น
3. ควรยกตัวอย่างจากสิ่งแวดล้อมในชีวิตประจำวัน ครูคณิตศาสตร์ควรจะรู้จักใช้สิ่งแวดล้อมมาสร้างโจทย์เพื่อให้ผู้เรียนสนใจเรียน เหตุการณ์ใดที่เกิดขึ้นในยุคนั้นควรจะได้สอดแทรกจริยธรรมไปในตัว

การใช้เกมประกอบการสอนคณิตฯ

ครูคณิตศาสตร์ควรศึกษาทั้งเกมที่ใช้ประกอบการสอนในห้องเรียน และเกมลับสมองโดยทั่วไป
เกมที่ใช้ประกอบการสอนในห้องเรียนนั้น มักจะเป็นเกมที่สั้น ง่าย และใช้เวลาน้อย ผู้สอนอาจใช้เกมเพื่อสรุปแนวคิด(concept) หรือใช้ฝึกทักษะ แก่ผู้เรียนก็ได้

ประยุกต์ใช้เพลงคณิตฯ

1. นำเข้าสู่บทเรียน หรือ สรุปบทเรียน
2. ก่อนร้องเพลงผู้เรียนต้องเข้าใจเนื้อหาอย่างถ่องแท้ก่อน
3. บทเพลงต้องเหมาะสม และสอดคล้องกับเนื้อหา ระดับชั้น และ วัย เพราะนักเรียนในระดับชั้นสูงอาจไม่ชอบก็ได้
4. อย่าร้องเพลงพร่ำเพรื่อ เพราะมีเทคนิคหลากหลายที่สร้างเจตคติที่ดีในการเรียนคณิตศาสตร์ เช่น เกม ปริศนา การ์ตูน บทร้อยกรอง
5. การใช้ท่าทางประกอบเพลงโดยครูสาธิตให้ดู หรือให้นักเรียนร่วมกิจกรรม โดยคำนึงถึงความเหมาะสมกับระดับชั้น ก็จะทำให้บทเรียนน่าสนใจ และสนุกสนานผ่อนคลาย มากขึ้น
6. ครูควรร้องเพลงที่สอนได้ด้วยตนเองก็จะเพิ่มศรัทธาแก่ผู้เรียนมากขึ้น
7. ครูควรร้องเพลงอย่างสนุกสนาน มีชีวิตชีวา มิใช่สังกะตายร้องให้เสร็จ ๆ ไป เมื่อผู้ร้องไม่สนุกกับการร้องแล้วจะทำให้ผู้ฟังสนุกจากเพลงที่ฟังได้อย่างไร
8. ครูควรรูจักรวบคำในขณะร้องเพลงเพื่อหลบเสียง สูง ต่ำ ให้กลมกลืนเข้ากับจังหวะเช่นเพลงต้นแบบ อาจเพี้ยนไปบ้างก็ได้ซึ่งขึ้นอยู่กับคำที่ใช้แต่ง

นอกจากจะใช้เพลงเพื่อประกอบการเรียนการสอนแล้ว ยังอาจใช้ประกอบในการทำแบบฝึกหัดได้ คือ ใช้เพลงที่ร้องมาตอบคำถามในแบบฝึกหัดได้ เช่น อาจใช้เพลงเกี่ยวกับการหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมมุมฉาก ผู้ร้องสามารถจำสูตรจากเพลงนำมาใช้ทำแบบฝึกหัดที่เกี่ยวข้องได้

เทคนิคการแต่งเพลงคณิตศาสตร์

การใช้เพลงประกอบการสอนและการทำแบบฝึกหัดคณิตศาสตร์ เป็นปัจจัยสำคัญอย่างหนึ่งในการกล่อมเกลาจิตใจผู้เรียนให้ไม่เคร่งเครียดเกินไป ครูผู้สอนคณิตศาสตร์ที่แต่งเพลงไม่เป็น อาจใช้บทเพลงสำเร็จรูปที่มีขายทั่วไป แต่สู้ผู้สอนร้องให้ฟังเองไม่ได้ เพราะสร้างความเชื่อถือศรัทธาแก่ผู้เรียนได้มากกว่า และถ้ายิ่งผู้สอนแต่งเอง ร้องเองด้วยแล้วยิ่งเพิ่มความขลัง สนุก มั่นใจ ร้องได้อย่างมีอรรถรสทั้งครูและผู้เรียน
การฝึกแต่งเพลง สำหรับผู้ไม่รู้ หรือชำนาญเกี่ยวกับตัวโน้ต และเล่นดนตรีไม่เป็น อาจฝึกแต่งเพลงได้ดังนี้
1. เทียบกับเนื้อร้อง และทำนองเพลงดั้งเดิม
2. การเลือกทำนองเพลง ควรคำนึงถึงความเหมาะสมกับเนื้อหา เป็นทำนองที่ฟังแล้วสนุก คึกคัก เร้าใจ สมสมัย จะทำให้ผู้เรียนร้องตาม ร้องได้ และจดจำได้ง่าย และเร็วขึ้น
3. ถ้อยคำที่ใช้ ควรพิจารณาถึงระดับของเสียง สั้น ยาว ในจังหวะใด ตอนใด ในบางครั้งท่จบลงด้วยเสียงสั้น อาจห้วน สะดุด ขาดความไพเราะนุ่มนวลไป
4. ควรฝึกร้องบทเพลงเดิมที่เป็นต้นแบบให้คล่องก่อน ก่อนที่จะลงมือแต่งเพลง ศึกษาเนื้อหาของบทเพลงให้เข้าใจอย่างถ่องแท้ ลึกซึ้งก่อน การตัดเนื้อหาบางคำออกอาจทำให้ความหมายผิดเพ้ยนไปได้
5. เขียนเพลงเติมลง และแต่งเพลงคณิตศาสตร์เทียบเคียงโดยคงจำนวนพยาค์เท่ากับเพลงเดิมแต่ในบางครั้งอาจจะมีจำนวนพยางค์มากหรือน้อยกว่า ทั้งนี้แล้วแต่คำที่แต่งขึ้น เพราะเนื้อหาคณิตศาสตร์นั้นบางครั้งเราอาจไมาสามารถแยกคำได้ เพราะเป็นศัพท์เทคนิค เมื่อแต่งพยางค์เกินไปก็ใช้หลักกันร้องแบบรวบคำเวลาร้องเพลง

ช่วยบอกที infinity เป็นจำนวน

My bounty is as boundless as the sea,
My love as deep, the more I give to thee,
The more I have, for both are infinities.

Shakespere.

การถ่ายโยงการเรียนรู้

การถ่ายโยงการเรียนรู้(Transfer of learning)
1. การถ่ายโยงการเรียนรู้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อสถานการณ์สองอย่างมีองค์ประกอบร่วมกัน(common elements) หรือคล้ายคลึงกัน องค์ประกอบที่เห็นเสมอ ๆ จะก่อให้เกิดสติปัญญา เช่น เมื่อเราเห็นนักเรียนบวก 6 + 7, 16 + 7, 26 + 7 ตัวที่เหมือนกันคือตัวบวก นักเรียนเก่งจะทำได้โดยไม่ต้องช่วย นักเรียนปานกลางอาจจะต้องช่วย นักเรียนอ่อนอาจจะมัวนับอยู่ แม้ครูจะช่วยทำก็อาจทำไม่ได้
2. ครูจะต้องช่วยให้ข้อสังเกตนักเรียนว่าให้จำรูปแบบว่าสิ่งนั้นคล้ายกับสิ่งนี้ การที่ครูให้งานนักเรียนไม่ควรยากเกินไป ควรให้งานที่ทำให้นักเรียนเกิดความสนใจ
3. นักเรียนจะเกิดการเรียนรู้ เมื่อนักเรียนสามารถระลึกถึงเรื่องที่เคยเรียนรู้มาแล้วในอดีต และนำมาเปรียบเทียบได้
4. ถ้านักเรียนสามารถทำสิ่งใดสำเร็จ เขาก็สามารถถ่ายโยงไปยังเรื่องอื่นได้ วิชาใดก็ตามถ้าสอนให้เกิดความคิดแล้วนำไปสู่ข้อสรุปก็จะทำให้จำได้เป็นนิสัย ครูที่มีความสามารถจะเป็นผู้ที่สร้างระเบียบวินัยให้นักเรียนเป็นตัวอย่าง ครูจะต้องนึกเสมอว่าเราจะสอนอะไร
5. ครูคณิตศาสตร์ต้องตระหนักว่า การที่จะถ่ายโยงการเรียนรู้ได้นั้นขึ้นอยู่กับว่าครูสอนวิชานั้นอย่างไร ครูจะต้องฝึกนักเรียนให้เกิดความนึกคิดในการวิเคราะห์ ต้องให้กระจ่าง อย่าให้เรื่องที่สอนคลุมเครือ การถ่ายโยงความรู้จะสำเร็จมากน้อยเพียงใดขึ้นอยู่กับวิธีการสอนของครู

เทคนิคสำคัญในการทำแบบฝึกหัด

1. ครูต้องแน่ใจว่านักเรียนเข้าใจในวิธีการที่เขาทำซ้ำ ๆ นั้น
2. ครูต้องแนะนำอย่างใกล้ชิด และแก้ข้อผิดพลาดเสียก่อนที่จะติดเป็นนิสัย และทำไปช้า ๆ ในระยะเริ่มแรกของการสร้างนิสัย
3. ครูต้องแน่ใจว่านักเรียนจะไม่ลืมวิธีการที่ฝึกทำเป็นครั้งสุดท้าย
4. ควรสร้างทักอย่างหนึ่งให้ชำนาญเสียก่อน ก่อนที่จะสร้างทักษะอื่น
5. ทำความเข้าใจเกี่ยวกับเนื้อหาที่สำคัญเป็นประการแรก
6. ครูจะต้องติดตามผลการทำแบบฝึกหัดของผู้เรียน
7. อย่าให้นักเรียนทำแบบฝึกหัดในหัวข้อที่ยาก และนักเรียนไม่ทราบวิธี
8. การให้แบบฝึกหัด ควรจะคำนึงถึงความแตกต่างระหว่างบุคคล
9. การฝึกนั้นควรจะฝึกหลาย ๆ ด้าน การให้แบบฝึกหัดควรจะให้ทีละน้อย แต่อาจบ่อยครั้งได้
10. แบบฝึกหัดควรลำดับความยากง่าย

การฝึกที่ดี

1. การฝึกจะให้ได้ผลดีต้องเป็นรายบุคคล
2. การที่จะฝึกให้ทำแบบฝึกหัดนั้น ควรจะฝึกเฉพาะเรื่อง ให้จบไปเป็นเรื่อง ๆ เช่น จะสอนวิธีการเติมจุดทศนิยม ก็สร้างบทเรียนเกี่ยวกับเรื่องนั้น
3. ควรให้ฝึกหลาย ๆ ครั้งในแต่ละทักษะ
4. แบบฝึกหัดแต่ละครั้งควรให้คะแนน เพื่อวัดความก้าวหน้า
5. แบบฝึกหัดควรจะมีมาตรฐาน และจัดให้เหมาะสม

จิตวิทยาในการฝึก

จิตวิทยาในการฝึก (Psychology of Drill) ในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์นั้นเราจะพบว่า
1. การฝึกเป็นสิ่งสำคัญของการเรียน
2. การฝึกอย่าให้ซ้ำซากจนน่าเบื่อ ควรจะฝึกเพื่อให้เกิดความชำนาญ
3. การที่กระตุ้นนักเรียนให้ฝึกด้วยการฝึกแบบเดียวกันตลอดเวลา นักเรียนก็ย่อมตอบสนองแบบเดียวกัน

จิตวิทยาในการเรียน

ครูคณิตศาสตร์จะต้องเรียนรู้จิตวิทยาในการเรียน (Psychology of Learning) ครูควiศึกษาธรรมชาติของนักเรียนดังนี้

1. นักเรียนจะต้องรู้จุดมุ่งหมายในการเรียน
2. นักเรียนจะต้องรู้จักสัมพันธ์ความคิด
3. การวิเคราะห์จะเป็นแนวทางไปสู่การค้นพบ
4. การเรียนจะสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อนักเรียนสามารถนำไปใช้ด้วยความเข้าใจ
5. ครูจะต้องเป็นคนสมองไว เพื่อจะนำนักเรียนได้
6. การสรุปเป็นสิ่งที่จำเป็นในการเรียน
7. การให้รางวัลจะเป็นเครื่องส่งเสริมกำลังใจ การทำโทษไม่สู้ดีนัก ถ้าไม่จำเป็นก็ไม่ควรใช้
8. การเรียนสิ่งใหม่ก็คือ การถ่ายทอดประสบการณ์ของการเรียนที่ผ่านมาแล้วไปสู่สภาวะใหม่
9. นักเรียนเรียนถึงความจริง ทักษะและความเข้าใจ แต่ก็ควรจะได้เรียนว่าจะเรียนอย่างไร ( We also learn how to learn ) จุดมุ่งหมายก็คือ ให้นักเรียนเรียนเท่าที่จะสามารถ
10. ครูต้องเรียนรู้ถึงความรู้สึกของนักเรียน ถ้านักเรียนทำไม่สำเร็จก็ไม่ชอบคณิตศาสตร์ เราจะเห็นว่าในสภาพการเรียนของนักเรียนที่จะให้ประสบผลสำเร็จนั้นนักเรียนจะต้องมีพฤติกรรมใดบ้าง

หนังสือหรือตำราเรีียนที่ดี

ตำราหรือหนังสือในแต่ละกลุ่มสาระการเรียนรู้ควรครอบคลุมและสอดคล้องกับมาตรฐานการเรียนรู้ในแต่ละช่วงชั้นที่กำหนดไว้ และสาระการเรียนรู้ที่จัดไว้ต้องมีความต่อเนื่อง ไม่ซ้ำซ้อน ต้องมีการตรวจสอบความสอดคล้องของผลการเรียนรู้ และสาระการเรียนรู้ที่กำหนดไว้ในแต่ละปี หรือแต่ละภาค ของแต่ละช่วงชั้น

ลักษณะทีดีของหนังสือหรือตำราเรียน

1. ทุกหน่วยการเรียนรู้นำเสนอ ผลการเรียนรู้ และจุดประสงค์การเรียนรู้ ทำให้สะดวกต่อการนำไปวางแผนการเรียนรู้การจัดการเรียนรู้และการประเมินผลการเรียนรู้สำหรับครูผู้สอน ส่วนผู้เรียนจะได้ทราบเป้าหมายการเรียนรู้และเนื้อหาสาระหลักที่ต้องเรียนแต่ละหน่วยการเรียนรู้

2. การนำเสนอเนื้อหาในแต่ละหน่วยการเรียน ยึดแนวทางการเรียนรู้ที่เน้นผู้เรียนเป็นสำคัญ (Child Centered) ควบคู่ไปกับการประเมินผลตามสภาพจริง (Authentic Assesment) ตามขั้นตอนดังนี้
(1) กิจกรรมนำเรื่อง
(2) กิจกรรมสร้างความรู้
(3) สาระการเรียนรู้(ความรู้+ทักษะกระบวนการ+คุณลักษณะ)
(4) กิจกรรมตรวจสอบและพัฒนาความสามารถของผู้เรียน
(5) การประเมินผลการเรียนรู้
ซึ่งผู้สอนได้จัดการเรียนรู้ตามแนวทางที่กำหนดไว้ในหนังสือ/ตำรา ที่พัฒนาขึ้นแล้ว จะทำให้ผู้เรียนได้เรียนรู้และเกิดการพัฒนาการทั้งด้านความรู้ ทักษะกระบวนการ และคุณลักษณะอย่างครบถ้วน สำหรับผู้เรียนที่มีศักยภาพก็อาจสามารถใช้หนังสือ/ตำราโดยการอ่านทบทวนและ/หรือเรียนรู้ได้ด้วยตนเอง โดยปฏิบัติตามกิจกรรมต่าง ๆ ที่นำเสนอไว้ พร้อมทั้งอ่านเนื้อหาความรู้ประกอบ

3. หนังสือ/ตำรา ควรมีคู่มือครู และ ตัวอย่างแผนการจัดการเรียนรู้อย่างละเอียด โดยในส่วนคู่มือควรประกอบด้วย
(1) ตารางวิเคราะห์หลักสูตรที่สมบูรณ์ แสดงรายละเอียดมาตรฐานการเรียนรู้ช่วงชั้น ผลการเรียนรู้รายปี/รายภาค สาระการเรยนรู้รายปี/รายภาค คำอธิบายรายวิชา และโครงสร้างหน่วยการเรียนรู้
(2) กำหนดการสอนในแต่ละหน่วยการเรียนรู้ นำเสนอรายละเอียดเกี่ยวกับ
(2.1) แนวทางจัดกิจกรรมการเรียนรู้
(2,2) แนวทางการสรุปกิจกรรมแต่ละกิจกรรม
(2.3) นำเสนอเนื้อหาและกิจกรรมเพิ่มเติมสำหรับครูผู้สอน
(2.4) นำเสนอสื่อการเรียนรู้และกิจกรรมการเรียนรู้เพิ่มเติมจากที่เสนอแนะไว้ในหนังสือเรียน

ครูคณิตศาสตร์ที่ดี : รู้แจ้งรู้จริงในสิ่งที่สอน สอนให้ผู้เรียนได้ค้นพบความจริงด้วยการใช้เหตุ ใช้ผลของตัวเขาเอง

ครู เป็นแพทย์แห่งจิตวิญญาณ นำคนให้พ้นจากความเป็นปุถุชน เพื่อการเข้าสู่ความเป็นมนุษย์ที่สมบูรณ์

โปรดจง อดทน อดกลั้น เข้าใจ และ ให้อภัย ลูกศิษย์ของท่าน

ขั้นตอนการวิเคราะห์หลักสูตร

สืบเนื่องมาจากการที่กระทรวงศึกษาธิการได้มีคำสั่งให้ใช้หลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544 ในโรงเรียนเครือข่ายและโรงเรียนนำร่องตั้งแต่ปีการศึกษา 2545 และในโรงเรียนทั่วไปตั้งแต่ปีการศึกษา 2546 นั้น ครูหรือผู้เกี่ยวข้อง สามารถดำเนินการจัดทำ เอกสาร ตำรา หนังสือ คู่มือ สามารถ สร้างและใช้หลักสูตรสถานได้อย่างมีประสิทธิภาพบรรลุตามเป้าหมายของหลักสูตรและวิสัยทัศน์ของสถานศึกษา
ในการดำเนินการวิเคราะห์หลักสูตรนั้น มีขั้นตอนดังต่อไปนี้
1. ศึกษาหลักการ จุดหมายของหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2544
2. ศึกษามาตรฐานการเรียนรู้ช่วงชั้นของกลุ่มสาระการเรียนรู้
3. กำหนดผลการเรียนรู้รายปี/รายภาค
4. จัดทำคำอธิบายรายวิชา
ึ5. จัดทำโครงสร้างหน่วยการเรียนรู้
6. จัดทำหนังสือ/ตำราตามคำอธิบายรายวิชาที่ได้วิเคราะห์ไว้


*** ครูควรมีลักษณะ รู้จำ รู้จัก รู้แจ้ง รู้จริง ในสิ่งที่สอนเขา อย่าทำให้คณิตศาสตร์ ตกเป็นไสยศาสตร์เลย

คณิตฯ กับ ปฏิจจฯ

ทฤษฎีบทต่าง ๆ ในทางคณิตศาสตร์์ส่วนใหญ่แล้วมักปรากฏในรูปของเหตุและผล (implication) คือประโยค หรือ ข้อความ "ถ้า ...แล้ว..." หรือ p--->q โดย p เป็นข้อความที่เป็นเหตุ ส่วน q เป็นข้อความที่เป็นผล ส่วนข้อความในรูป ~q--->~p เรียกว่า ข้อความแย้งสลับที่(contraposition) ของ p--->q และเราทราบโดยหลักการของการสมมูลว่า implication และ contrapositionนั้น เป็นข้อความที่สมมูลกัน ซึ่งสามารถใช้แทนกันได้ มีอยู่เสมอที่การพิสูจน์ข้อความทางคณิตศาสตร์ ที่อยู่ในรูป implication โดยตรง (direct proof) นั้นทำได้ไม่สะดวก ผู้พิสูจน์ก็เลือกใช้วิธีพิสูจน์ contraposition ของข้อความนั้นแทนซึ่งเรียกว่าเป็นการพิสูจน์ทางอ้อม (indirect proof) เช่น ในการพิสูจน์ข้อความว่า "ถ้า กำลังสองของ a เป็นเลขคี่แล้ว a จะเป็นเลขคี่" ซึ่งการพิสูจน์โดยตรงจะทำได้ไม่สะดวกเลย แต่เมื่อเปลี่ยนเป็น ข้อความแย้งสลับทีีี่่่ คือ "ถ้า a ไม่เป็นเลขคี่ (เป็นเลขคู่ ) แล้ว กำลังสองของ a จะไม่เป็นเลขคี่(เป็นเลขคู่) " ซึ่งจะมีกระบวนการพิสูจน์ที่ง่ายและชัดเจนมากกว่า
ดังนั้น เมื่อข้อความในรูป p--->q และ ~q--->~p สมมูลกันจึงสามารถใช้แทนกันได้เสมอ และโดยกฎการพิสูจน์ในตรรกศาสตร์ คือ กฎ contrapositive ถ้า เหต p--->q เป็นจริง จะสรุปผล ~q---~p ได้อย่างสมเหตุสมผล(valid)เสมอ

ในหลักพุทธศาสนา อันเป็นหลักธรรมที่เป็นหัวใจสำคัญในการปฏิบััติทางจิตเพื่อการหลุดพ้นจากความทุกข์ ซึ่งเรีกกว่า ปฏิจสมุปบาท (อ่านว่า ปะติดจะสะหฺมุบบาด) ที่อธิบายถึง การเกิดขึ้นพร้อมแห่งธรรมทั้งหลายเพราะอาศัยกัน,การที่สิ่งทั้งหลายอาศัยกัน จึงเกิดมีขึ้น

การที่ทุกข์เกิดขึ้นเพราะอาศัยปัจจัยต่อเนื่องกันมา มีองค์หรือหัวข้อ 12 ดังนี้ คือ อวิชชา สังขาร วิญญาณ นามรูป สฬายตนะ ผัสสะ เวทนา ตัณหา อุปทาน ภพ ชาติ ชรามรณะ

1. เพราะอวิชชาเป็นปัจจัย สังขารจึงมี ซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า อวิชชาเกิด แล้ว สังขารต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดสังขาร แล้ว ย่อมไม่เกิดอวิชชา

2. เพราะสังขารเป็นปัจจัย วิญญาณจึงมี ซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า สังขารเกิด แล้ว วิญญาณต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้าไม่เกิดวิญญาณ แล้ว ย่อมไม่เกิดสังขาร

3. เพราะวิญญาณเป็นปัจจัย นามรูปจึงมีซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า วิญญาณเกิด แล้ว นามรูปต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดนามรูป แล้ว ย่อมไม่เกิดวิญญาณ

4. เพราะนามรูปเป็นปัจจัย สฬายตนะจึงมีซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า นามรูปเกิด แล้ว สฬายตนะต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดสฬายตนะ แล้ว ย่อมไม่เกิดนามรูป

5. เพราะสฬายตนะเป็นปัจจัย ผัสสะจึงมีซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า สฬายตนะเกิด แล้ว ผัสสะต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดผัสสะ แล้ว ย่อมไม่เกิดสฬายตนะ

6. เพราะผัสสะเป็นปัจจัย เวทนาจึงมีซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า ผัสสะเกิด แล้ว เวทนาต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดเวทนา แล้ว ย่อมไม่เกิดผัสสะ

7. เพราะเวทนาเป็นปัจจัย ตัณหาจึงมีซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า เวทนาเกิด แล้ว ตัณหาต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดตัณหา แล้ว ย่อมไม่เกิดเวทนา

8. เพราะตัณหาเป็นปัจจัย อุปทานจึงมีซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า ตัณหาเกิด แล้ว อุปทานต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดอุปทาน แล้ว ย่อมไม่เกิดตัณหา

9. เพราะอุปทานเป็นปัจจัย ภพจึงมีซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า อุปทานเกิด แล้ว ภพต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดภพ แล้ว ย่อมไม่เกิดอุปทาน

10. เพราะภพเป็นปัจจัย ชาติจึงมีซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า ภพเกิด แล้ว ชาติต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่เกิดชาติ แล้ว ย่อมไม่เกิดภพ

11. เพราะชาติเป็นปัจจัย ชรามรณะจึงมี ซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า ชาติเกิด แล้ว ชรา และ มรณะต้องเกิด โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้าไม่เกิดชรา หรือ มรณะ แล้ว ย่อมไม่เกิด ชาติ

12. เพราะ ชรา มรณะมี ความโศก ความคร่ำครวญ ทุกข์ โทมนัส และความคับแค้นใจ ก็มีพร้อม ซึ่งอยู่ในรูป implication นั่นคือ ถ้า ชรา มรณะเกิด แล้ว ความโศก ความคร่ำครวญ ทุกข์ โทมนัส และความคับแค้นใจ ก็มีพร้อม โดยกฎของ contrapositive จะได้สัจจะที่ตามมาทันทีว่า ถ้า ไม่มีความโศก หรือ ความคร่ำครวญ หรือ ทุกข์ โทมนัส หรือความคับแค้นใจ ไม่เกิดแล้ว ชรา หรือ มรณะ ย่อมไม่เกิด

การมอง แนวคิดในรูป implication ถ้าขาดความชัดเจนในรายละเอียด ย่อมเปลี่ยนมุมมองใหม่ในรูป contraposition ได้
ทั้งในเชิงของข้อความที่สมมูลกัน (equivalent) หรือรูปแบบการให้เหตุผลเชิงตรรกยะ ย่อมนำมาซึ่งรายละเอียดหรือความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ใหม่ ๆ ได้


จัตตาโรธัมมา วัฒฑันติ อายุวัณโณ สุขัง พลัง

เซตย่อยไม่น้อยกว่า

พิจาณาเซต N = { 1, 2, 3, ... } และ E = { 2, 4, 6, ... } จะพบว่า N เป็นเซตย่อยแท้ (proper subset) ของ N
โดยทั่วไปแล้วเราจะพบว่า ถ้า A และ B เป็นเซตจำกัด เมื่อ A เป็นเซตย่อยแท้ของ B แล้ว จำนวนสมาชิกของ A ย่อมน้อยกว่าจำนวนสมาชิกของ B
และในกรณีเซต N และ E ที่กำหนดมาในเบื้องต้นก็ดูเสมือนว่าไม่อยู่นอกเหนือกฎเกณฑ์ดังกล่าวนี้ และถ้าครูผู้สอนไม่ระมัดระวังเผลอไผลไปยกตัวอย่างในลักษณะเช่นนี้ประกอบย่อมทำให้เกิดข้อเสียหายได้ ทั้งนี้เพราะว่าทั้งเซต N และ E ที่ยกขึ้นมาให้พิจารณาในเบื้องต้นนั้น ต่างก็เป็นเซตอนันต์ซึ่งไม่อาจนับจำนวนสมาชิกได้สิ้นสุด และเมื่อพิจารณาต่อไปจะเห็นว่าเราสามารถสร้างฟังก์ชันชนิดหนึ่งต่อหนึ่งจาก N ไปทั่วถึง E ได้ เช่น กำนด f เป็นฟังก์ชันจาก ์N ไป E โดยเงื่อนไข หรือสูตร f(x) = 2x เมื่อ x เป็นสมาชิกใน N นั่นคือ


f(1) = 2x1 = 2 1 คู่กับ 2
f(2) = 2x2 = 4 2 คู่กับ 4
f(3) = 2x3 = 2 3 คู่กับ 6
........
f(n) = 2xn = 2 n คู่กับ 2n
.........

เมื่อสามารถสร้างฟังก์ชันชนิดหนึ่งต่อหนึ่ง จาก N ไปทั่วถึง E ได้ ถ้าทั้งคู่เป็นเซตจำกัดแล้วย่อมมีจำนวนสมาชิกเท่ากันอย่างแน่นอน ก็จะดูจะขัดแย้งกับข้อสรุปว่าเซตย่อยแท้ย่อมมีจำนวนสมาชิกน้อยกว่าเสมอ
ดังนั้นในการสอน ครูจะต้องระมัดระวังในการกำหนดข้อสังเกตต่าง ๆ เพื่อมิให้เกิดข้อบกพร่องในแนวคิด(concept)ขึ้นมาได้

สิ่งที่เป็นอนันต์ย่อมไม่อาจคำนวณหรือหยั่งวัดจำนวนสมาชิกภายในของสิ่งนั้นได้ เพราะมีมากมายสุดที่จะคณานับ เซตอนันต์ในทางคณิตศาสตร์นั้นกล่าวไว้ในสองลักษณะ คือ เซตอนันต์อย่างไม่มีขอบเขต เช่น เซตของจำนวนจริงที่แทนด้วยกราฟของเส้นจำนวนจริงจากช่วง ลบอนันต์ ถึง บวกอนันต์ ที่กว้างไกลไร้ขอบเขต และะเซตอนันต์ที่มีขอบเขต เช่น ช่วงเปิด (2, 3) อันเป็นเซตของจำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง 2 และ 3 ซึ่งมีขอบเขตคือจุดปลายช่วง แต่ไม่อาจนับจำนวนสมาชิกภายในช่วงได้สิ้นสุด

จิตในสภาวะที่ไร้อัตตาตัวตน สงบ โปร่ง โล่ง เบา ไร้การปรุงแต่ง ปล่อยวาง ว่าง นั้นก็เฉกเช่นเดียวกัน เมื่อมีสมาธิเพ่งพินิจออกไปภายนอกกายก็กว้างไกลไพศาลสว่างไสวไร้ขอบเขตขับเคลื่อนไปอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ไร้มิติปริภูมิใด ๆ จะครอบงำได้ ทะยานพ้นผ่านทะลุทะลวงอย่างไร้แรงเสียดทานใด ๆ ทั้งสิ้น แต่ถ้าเพ่งพินิจเข้าไปภายในขอบเขตจำกัดแห่งกายที่กว้างวา หนาคืบ ก็พุ่งนิ่งดิ่งลึกลงไปอย่างไร้ขอบเขตสุดจะหยั่งคาดได้เช่นเดียวกัน มันเป็นความงดงามและทรงพลังแห่งอนันตรจิต จิตหนึ่ง จิตหลุดพ้น จิตพุทธะ ปลดปล่อยตัวตนจากการร้อยรัดพัวพ้นด้วยพลังแรงแห่งความปราถนาใด ๆ ทั้งหมด ทั้งสิ้น

ขอความสวัสดี จงมีแด่ทุกท่าน

"โอม มณี ปัททเม ฮม "

เอกลักษณ์ต้อง unique!

ในระบบคณิตศาสตร์(Mathematical System) หรือระบบพีชคณิต(Algebraic System) ทุกระบบที่มีสมาชิกเอกลักษณ์(identity) เอกลักษณ์ในแต่ระบบที่มีนั้นต้องมีเพียงตัวเดียว(unique)นั่นคือต้องเป็นค่าคงที่ที่พิเศษเพียงหนึ่งเดีียวที่ดำเนินการร่วมกับสมาชิกอื่น ๆ แล้วไม่กระทบต่อค่าของสมาชิกตัวนั้น
ถ้า e เป็นเอกลักษณ์ของเซต G ที่ไม่เป็นเซตว่าง ภายใต้การดำเนินการทวิภาค(binary operation) "*" จะได้ a*e = a สำหรับทุก ๆ สมาชิก a ของ G เช่น 0 เป็นเอกลักษณ์ในระบบจำนวนจริงภายใต้การบวก และ 1 เป็นเอกลักษณ์ในระบบจำนวนจริงภายใต้การคูณ ซึ่งเรียกกันง่าย ๆ ในการสื่อสารร่วมกัน ว่า 0เป็นเอกลักษณ์การบวก 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
ในนัยยะของความเป็นหนึ่งเดียวซึ่งจำต้องเป็นค่าคงที่ ผู้ศึกษาระบบต้องตระหนักรู้ในเรื่องนี้เป็นอย่างดี มิฉะนั้นจะเข้าใจคลาดเคลื่อนในสมบัติประจำตัวอันสำคัญนี้ของเอกลักษณ์
พิจารณา ในระบบจำนวนจริง ภายใต้การดำเนินการ " * " ที่กำหนดโดย a*b = 2a + 2b สำหรับทุก ๆ a, b ใน R
สมมุติให้ e เป็นเอกลักษณ์ในระบบนี้ จะได้ a*e = a สำหรับแต่ละ a ใน R
2a + 2e = a
e = -a/2
จะเห็นว่า คำนวณค่าเอกลักษณ์ของระบบได้เป็น -a/2 ซึ่งมิใช่ค่าคงที่ เมื่อ a เปลี่ยน เอกลักษณ์ที่ได้ก็จะแปรเปลี่ยน แสดงว่าในระบบนี้ไม่มีสมาชิกเอกลักษณ์ถึงแม้นจะคำนวณค่าออกมาได้ก็ตาม ซึ่งในกระบวนการเรียนการสอนครูควรให้นักเรียนสังเกตเห็นคุณลักษณะสำคัญข้อนี้
การหาเอกลักษณ์ในระบบนอกจากจะใช้บทนิยามของเอกลักษณ์ แล้ว การตรวจสอบง่าย ๆ อีกวิธีหนึ่ง คือ ดููว่าสมาชิกตัวใดในระบบที่มีสมบัติว่า x*x = x สมาชิกดังกล่าวนี้จะเป็นเอกลักษณ์ในระบบนั้น เช่น 0 + 0 = 0 หรือ 1x1 = 1 จะได้ 0 และ 1 เป็นเอกลักษณ์

จะเห็นว่าในสมาชิกทุกตัวมีเอกลักษณ์แฝงฝังอยู่ด้วยเสมอ เฉกเช่นเดียวกับในจิตวิญญาณของมนุษยชาติทุกหมู่เหล่า ไม่จำกัด สีผิว เชื้อชาติ เผ่าพันธฺ์ ก็ย่อมมีความเป็นหนึ่ง คือ จิตหนึ่ง (จิตดั้งเดิม จิตพุทธะ) ดำรงมั่นสถิตนิ่ง สว่างไสว เป็นประภัสสรภายในเราใจ ทุกคน และ ทุกคน ที่หยุดการแสวงหาดิ้นรน ทะยานอยาก เข้าถึงเพื่อพบสภาวะแห่งบรมสุขอันสูงส่ง สูงสุด ตื่นรู้ เบิกบาน ไม่หมุนวนในวงเวียนอุบาศว์แห่งวัฎฎะสงสารอันเป็นอนัันตะอีกต่อไป


ขอการตื่นรู้จงบังเกิดขึ้นแด่ท่าน ทุกผู้ ทุกคน เทอญ
มหาพุทธมนต์คุ้มครอง " นัมเมียว โฮ เร็งเง เคียว "

การเชื่อมโยงมิติและปริภูมิ

ในปริภูมิ(space) ๑ มิติ อันเป็นที่ว่างซึ่งสมาชิกคือจุดในมิตินี้แทนได้ด้วยตัวเลขจำนวนจริงที่เปลี่ยนแปลงหรือเคลื่อนที่ไปในทิศทางบวกลบ เวียนวนอยู่ในขอบเขตของเส้นจำนวนจริง ในมิตินี้จุดทั้งหลายที่เป็นสมาชิกของปริภูมิ เราจะแทนด้วยตัวเลขจำนวนจริง ทั้งเลขบวก ลบ และ ศูนย์ แต่ในความเป็นตัวเลขเพียงตัวเดียวก็ซ่อนความลับเชื่อมโยงเข้าหามิติที่สูงกว่าไว้ได้ครบในทุกมิติของทุกปริภูมิ ทั้งนี้เพราะ
๙ = (๙,0) แสดงว่า ๙ อยู่ในปริภูมิ ๒ มิติ
๙ = (๙,0,0) แสดงว่า ๙ อยู่ในปริภูมิ ๓ มิติ
และ อื่น ๆ ในทำนองเดียวกัน
สมาชิกในปริภูมิมิติ ๑ ก็ถูกซ้อนทับไว้ในปริภูมิมิติ ๒ สมาชิกในปริภูมิมิติ ๑ และ ๒ ก็ซ้อนทับอยู่ในปริภูมิมิติ ๓ เป็นเช่นนั้นเรื่อยไป
เมื่ออยู่ในปริภูมิที่มีมิติสูงกว่าการศึกษาคุณลักษณะต่าง ๆ ของสภาวะที่ต่ำกว่า ย่อมทำได้โดยง่ายและสะดวกกว่า ซึ่งการสังเกต และเปรีียบเทียบนี้มักจะไม่เกิดขึ้นเมื่อผู้สังกตกำลังอยู่ในปริภูมินั้น ๆ เป็นดังเช่นที่กล่าวกันว่า "คนไม่เห็นโลก เพราะอยู่ในโลก ปลาไม่เห็นน้ำเพราะมันอยู่ในน้ำ "
เฉกเช่นเดียวกันการแบ่งภพภูมิของสัตว์โลก เป็น อบายภูมิ และสุคติภูมิ เป็นระดับชั้นต่าง ๆ ยึดเกณฑ์ตามความหยาบละเอียดของจิตเป็นสำคัญ มิติพรหม เทวดา มนุษย์ นรก หรือ เดรัจฉาน จากสูงไปต่ำตามลำดับ ภพในมิติของเทพพรหม ที่เป็นทิพย์และละเอียดกว่า ย่อมมองเห็นและอาจสื่อสารกับมิติมนุษย์ ที่เป็นโลกแห่งกายเนื้อที่มีสามมิติและหยาบกว่าได้ แต่อย่างไรก็ตามการเกิดในภพภูมิมนุษย์ที่ต้องเผชิญทั้ง ทุกข์ และสุข ทำให้เอื้อต่อการพัฒนาสติปัญญาสู่การหลุดพ้นจากกิเลส อัตตาอย่างเหมาะสมและดีที่สุด เพื่อก้าวพ้นตัวตนสู่นิพพานอันประเสริฐสูงสุดเป็นเป้าหมายปลายทางของทุกชีวิต

ขอความสวัสดีจงมีแก่ทุกท่าน

พระพุทธะจงคุ้มครอง ด้วยมหาพุทธมนต์ : นัมเมียว โฮ เร็งเง เคียว
ขอทุกท่านจงเข้าถึงความเป็นพุทธะในตน ทุกท่านทุกคนเทอญ

ศูนย์(0) : ความไม่มี แต่มี ...ความมี แต่ไม่มี

หนึ่งเดียวคนนี้ "0" มีบทบาทสำคัญยิ่งในฐานะเอกลักษณ์การบวก (additive identity)ในระบบจำนวนเนื่องจากเมื่อนำไปรวมกับจำนวนใดแล้วก็ไม่กระทบต่อค่าของจำนวนนั้น นั่นคือ 0 + a = a สำหรับทุก ๆ จำนวน a
ศูนย์เป็นสัญลักษณ์ที่แสดงความไม่มีอะไรเลย ว่างเปล่า ดูไร้บทบาทอย่างสิ้นเชิง แต่แท้จริงแล้วมีความสำคัญอย่างยิ่ง ถ้าขาดศูนย์เพียงตัวเดียวก็จะกระทบต่อการกำหนดค่าของจำนวนในระบบที่เราใช้อยู่ในปัจจุบันอย่างแน่นอน เราจะใช้สัญลักษณ์แทนความหลากหลายของจำนวนที่แทนปริมาณต่าง ๆ ที่ต้องการในบริบทต่าง ๆ ได้อย่างไรกันหนอ
เลข 0 เมือเติมหน้าจำนวนนับใด ๆ จะเติมไปกี่ตัวก็ช่าง ก็ไม่ทำให้ให้ค่าของจำนวนนับดังกล่าวนั้นเปลี่ยนแปลงไปแต่อย่างใด
นั่นคือ ความมี แต่ไม่มี คือเมื่อ 0 นำหน้าก็ย่อมไร้ปัญหาทั้งปวง
เลข 0 เมือเติมหลังจำนวนนับใดจะเป็นการทวีค่าของจำนวนนั้นให้เพิ่มมากขึ้นตามจำนวนเลข 0 ที่เติมเข้าไป เป็น สิบเท่า พันเท่า เรื่อยไป นั่นแสดงถึงความไม่มี แต่มีคือเมื่อไร้ศูนย์นำหน้าอัตตาก็เต็มตัว
ศูนย์ เมื่อเปรียบกับสภาวะจิตของคน ก็คือจิตที่ว่างจากอัตตาตัวตน หรือความคิดปรุงแต่งใด ๆ เมื่อคนปฏิบัติภาระกิจด้วยจิตในสภาวะดังกล่าวนี้ ย่อมเปียมพลัง แห่งสติปัญญา นำพาตนให้ประสบความสำเร็จในภาระกิจที่มุ่งหวังอย่างไร้อุปสรรคปัญหา ด้วยความรักและเมตตาที่มีตามธรรมชาติแห่งความเป็นพุทธะ อันตื่นรู้และเบิกบานในตน นั่นคือเมื่อใช้ศูนย์หรือว่างนำหน้าปัญญาย่อมเฉียบคม และแน่นอน แต่ถ้าไร้ศูนย์ หรือความว่าง โปร่ง โล่ง เบา นำหน้า ความวุ่นย่อมเผชิญอย่างหลีกเลีี่ยงไม่พ้นเป็นแน่ บริหารชีวิตด้วยอัตตา(กิเลิส ตัณหา)ก็ย่อมผลักพาชีวิตให้หมกจมในหล่มโคลนแห่งความยับเยินทางจิตวิญญาณอย่างมิต้องสงสัย

ขอความความมี สติ และรู้สึกตัว จงมีแด่ทุกท่าน
ปลุกเร้าความเป็นพุทธะให้ตื่นขึ้น โดยใช้บทสวด มหาพุทธมนต์ : "นัมเมียว โฮ เร็งเง เคียว"

เหตุเป็นผล ผลเป็นเหตุ ?

ข้อความที่เป็นกฎ หรือทฤษฎีในทางคณิตศาสตร์นั้นโดยทั่วไปจะอยู่ในรูป implication หรือ "ถ้า...แล้ว..." เช่น "ถ้า a เป็นเลขคู่แล้ว กำลังสองของ a ก็จะเป็นเลขคู่ด้วย " ในกระบวนการ(algorithm) ของการให้เหตุผลหรือการพิสูจน์นั้น อาจจะมีหลายขั้นตอนกว่าจะได้ผลสรุปที่สมเหตุสมผลออกมา โดยใช้กฎทางตรรกะที่เรียกว่า กฎของตรรกบท(law of syllogism) เป็นเครื่องมือในการสรุป

ตัวอย่าง เช่นการพิสูจน์ข้อความที่กล่าวมาข้างต้น : "ถ้า a เป็นเลขคู่แล้ว กำลังสองของ a ก็จะเป็นเลขคู่ด้วย " ดังนี้
ขั้นที่ 1 จากเหตุที่กำหนดให้ว่า a เป็นเลขคู่ โดยใช้บทนิยามของเลขคู่จะได้ผลคือ a = 2n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบางตัว
ขั้นที่ 2 จาก ผลที่ได้ในขั้นที่ 1 คือ a = 2n ทำหน้าที่เป็นเหตุใหม่ส่งให้เกิดผลใหม่ คือ เมื่อนำมายกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้ กำลังสองของ a เท่ากับ 2m เมื่อ m เท่ากับ 2 เท่าของกำลังสองของ n แสดงว่า กำลังสองของ a เป็นเลขคู่นั่นเอง

นั่นคือ เมื่อมีเหตุก็ย่อมมีผลที่สอดคล้องกับเหตุนั้นเสมอ และแต่ละผลที่เกิดขึ้นก็ย่อมทำหน้าที่เป็นเหตุใหม่และส่งผลให้เกิดสิ่งใหม่ขึ้นมาได้แน่นอน เหตุอย่างไรผลอย่างนั้น หมุนวนไปเช่นนั้นเป็นอนันต์ ความคิดสร้างสรรค์หรือทำลายล้างของมวลมนุษย์ที่ขับเคลื่อนชีวิตด้วยความอยากย่อมไม่มีวันจบสิ้น ดังพุทธอมตวาจาที่ปรากฏเป็นทฤษฎีสัมพัทธภาพซึ่งเป็นกฎที่เป็นความจริงสากล(ultimate truth) สูงสุดแห่งจักรวาลซึ่งบัญญัติไว้ว่า
เมื่อสิ่งนี้มี สิ่งนี้จึงมี
เมื่อสิ่งนี้เกิด สิ่งนี้จึงเกิด
เมื่อสิ่งนี้ไม่มี สิ่งนี้จึงไม่มี
เมื่อสิ่งนี้ดับ สิ่งนี้จึงดับ
... สาธุ สาธุ สาธุ ..

ขอพรแห่งพระพุทธะ จงคุ้มครองให้ทุกท่านจงประสบแต่ความสวัสดีมีชัย
มหาพุทธมนต์ :" นัมเมียว โฮเร็ง เงเคียว "

ความจริงที่ไม่จริง

Model ทางคณิตศาสตร์ ประกอบด้วย อนิยาม(undefined terms) นิยาม(defined terms) และสัจพจน์หรือข้อตกลง(axioms หรือ postulates) ซึ่งเปรียบเสมือนกติกาในการเล่นเกมต่าง ๆ ไม่ว่าจะเป็น หมากล้อม หมากฮอส ฟุตบอล เทนนิส ฯลฯ เมื่อมีแบบจำลองขึ้นมาแล้ว ผู้ใช้คณิตศาสตร์ ก็จะใช้เครื่องมือ (tool) คือ ตรรกศาสตร์ หรือตรรกวิทยา(logic)สรุป เป็น กฎ ทฤษฎี หรือข้อความที่ต้องการในสถานการณ์ที่กำลังเผชิญอยู่ ความเป็นจริงในทางคณิตศาสตร์ คือ ความสมเหตุสมผล (validity) ที่เป็นไปตามเหตุ(premises)ที่กำหนดให้ ซึ่งความเป็นจริงที่สรุปได้นั้น อาจมิใช่ข้อเท็จจริงที่โลกโดยทั่วไปยอมรับกันได้ในขณะนั้น เช่น

สถานการณ์
กำหนดให้
1. คนทุกคนมีปีก
2. สิ่งมีปีกทุกชนิดบินได้
ผลสรุป คนทุกคนบินได้

เมื่อพิจารณาโดยการตรวจพินิจ(introspection) หรือใช้แผนภาพของ Venn-Euler หรือ กฎทางตรรกะ ข้อสรุปที่ได้คือ
คนทุกคนบินได้ มีความสมเหตุสมผล หรือเป็นจริง ตามเหตุที่กำหนด ซึ่งเห็นได้ชัดเจนว่า มันขัดกับความเป็นจริงที่ยอมรับกันโดยทั่วไป

หมายเหตุ หลักการให้เหตุผลทางตรรกะ คือจะนำข้อความที่เป็นเหตุทั้งหมดมาเชื่อมโยงด้วเชื่อม ถ้า...แล้ว ...กับผล แล้ววิเคราะห์ว่าข้อความดังกล่าวนั้นเป็น สัจนิรันดร์(tautology) หรือไม่ ถ้าเป็นการสรุปครั้งนั้นก็สมเหตุสมผล แต่ถ้าไม่เป็นการสรุป หรือการให้เหตุผลครั้งนั้นก็ไม่สมเหตุสมผล(invalid)

เท่ากับที่่สับสน

หลายท่านที่เคยมีประสบการณ์เกี่ยวกับการใช้เครื่องหมายเท่ากับ "=" ในการอธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ คงจะสังเกตเห็นความเหมือนที่แตกต่างของ แนวคิด(concept) ที่ใช้ ซึ่งเครื่องหมายนี้อาจพาให้สับสนได้

" = " ในการคำนวณเป็นสัญลักษณ์ที่ใช้แสดงการเท่ากัน เช่น A = 10

แต่ทางการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์กลับหมายถึง "การกำหนดค่า" หรือ "การเก็บค่า" เช่น A = A+100 เป็นการเก็บค่า A+100
ไว้ในตัวแปร A

ส่วนการเท่ากันในเรขาคณิต เช่น มุม A = มุม B หมายถึงการเท่ากันทุกประการของมุมทั้งสอง นั่นคือสามารถยกมุมทั้งสองทับกันได้สนิท

สรุปแล้วเราก็คงต้องดูกติกา หรือข้อตกลงในการใช้ให้ชัดเจนในแต่ละเรื่องและในแต่ละบริบทที่ใช้ต่างกรรมต่างวาระ มิฉะนั้นก็ต้องสับสนวุ่นวายไปหมด

หมายเหตุ เครื่องหมายวงเล็บเล็ก เช่น (a, b) อาจใช้ แทน คู่อันดับ ช่วงเปิด หรือ ห.ร.ม. ในขณะที่วงเล็บใหญ่ เช่น [a, b]
อาจใช้แทน ช่วงปิด หรือ ค.ร.น.

Beautiful Mind

หลายท่านที่เคยชมภาพยนต์เรื่อง Beautiful mind จะพบว่าคนที่เก่งคณิตศาสตร์มาก ๆ จะหลุดเข้าไปในโลกแห่งความคิด หมกมุ่น ครุ่นคิดกับความคิด หลงใหลกับความคิดจนในที่สุด ป่วยด้วยโรคความสับสน คือ แยกไม่ออกระหว่างว่า อะไรจริง อะไรเท็จ จนในที่สุดความชาญฉลาดของมันสมองมันก็ทำร้ายตนเอง มักจะพบเสมอว่ามีอัจฉริยะจำนวนมากที่เข้าไปหมกจมหลุ่มหลงอยู่ในโลกเกี่ยวกับความคิด มุ่งค้นหาพระเจ้า หรือความจริงสูงสุด ค้นหาคำตอบที่ไม่สามารถเฉลยด้วยคณิตศาสตร์ จนสับสน อันอาจนำไปสู่ความวิปริตผิดเพี้ยน บ้าหลงได้


ขอธรรมะเป็นพรแก่ทุกท่าน
มหาพุทธมนต์ : "นัมเมียว โฮ เร็งเง เคียว "

ครูคณิตฯที่ประสบความสำเร็จในการสอน

1. ครูควรจะมีความสามารถทางคณิตศาสตร์เพียงพอ ครูที่จะสอนได้ดีนั้นต้องเป็นผู้มีความรู้กว้างขวาง มีพื้นฐานทางคณิตศาสตร์เพียงพอ รู้โครงสร้างทางคณิตศาสตร์ รู้จัักนำคณิตศาสตร์มาใช้ นอกจากน้ยังต้องพัฒนาตนให้ทันกับวิธีการใหม่ ๆ อยู่เสมอ
2. ครูควรมีทักษะในการสื่อความหมาย ครูคณิตศาสตร์ที่ดีจะต้องรู้จักตีความและสามารถอธิบายให้นักเรีีียนเข้าใจ การที่ครูจะสื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ได้นั้นนักเรียนจะต้องมีส่วนร่วมด้วย
3. ครูควรจะสร้างแรงดลใจให้แก่นักเรียน การที่ครูมีความรู้ในเนื้อหาอย่างเดีียวไม่เพีียงพอ บุคลิกลักษณะของครูจะเป็นเครื่องส่งเสริมนักเรียนให้มีเจตคติที่ดีหรือไม่ดีก็ได้ ทำอย่างไรครูจึงจะเรียกร้องความสนใจให้นักเรียนยอมรับคำแนะนำและทำตามคำสั่งของครูได้ ลักษณะต่อไปน้จะช่วยครูได้มากคือ เสียงชัดเจน กิริยาท่าทางคล่องแคล่ว มีความอดทน มีความสุภาพและมีการครองสติที่ดี คือไม่แสดงอารมณ์โกรธและฉุนเฉียว นอกจากนี้ ความเป็นผู้นำ ความมีไหวพริบ ความมีสติปัญญาจะช่วยส่งเสริมบุคคลิกลักษณะของครูได้มาก
4. ครูควรเข้าใจและยอมรับสภาพของนักเรียน พยายามศึกษาจิตใจของนักเรียน หาทางให้นักเรียนมีความสนใจในการเรียนอยู่เสมอ ครูจะต้องคอยสังเกตพฤติกรรมของนักเรียน และชี้แนวทางไปในทางที่ถูก เมื่อนักเรียนมีปัญหาอะไรมาปรึกษา ครูจะต้องรับฟังว่าเขาต้องการอะไร สนใจอะไร ให้คำปรึกษาแก่เขาด้วยความรักและเมตตา นักเรียนจะสังเกตได้ว่า ครูแต่ละคนมีความรู้สึกต่อเขาอย่างไร ดังนั้นครูควรแสดงให้นักเรียนเห็นว่า ครูพร้อมอยู่ตลอดเวลาที่จะเป็นผู้ให้คำปรึกษาและแก้ไขปัญหาให้นักเรยนทุกคน
5. ครูควรมีความรู้เกียวกับอาชีพของตนอย่างแท้จริง เช่นถ้าเป็นครูคณิตศาสตร์ ก็ต้องรู้เนื้อหาท่สอนอย่างถ่องแท้ รู้กลยุทธ์ที่จะนำมาใช้ รู้ว่าจะใช้สื่อการเรีียนการสอนอะไร รู้จิตวิทยาการเรียนการสอน หลักการสอน การวัดการประเมินผล ทั้งหลายเหล่านี้ครูควรรู้อย่างถ่องแท้เพราะเป็นเรื่องเกี่ยวกับวิชาชีพของตน ปัจจุบันนี้วิชาความรู้ในยุคเทคโนโลยีสารสนเทศ พัฒนาและเปลี่ยนแปลงไปมากและเป็นไปอย่างรวดเร็ว ครูต้องปรับตัวให้ทันต่อการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้ ความรู้ที่เรียนมาจากสถาบันการศึกษานั้นเป็นเพียงพื้นฐาน ครูต้องศึกษาหาความรู้ใหม่ ๆ ต่อไปอย่างไม่หยุดยั้ง จึงจะได้ชื่อว่าเป็น ครูที่ดี

รุ่งอรุณแห่งการศึกษา

1. แสวงหาแหล่งปัญญาและแบบอย่างที่ดี
2. มีวินัยเป็นฐานในการพัฒนาชีวิต
3. จิตใจใฝ่รู้ ใฝ่สร้างสรรค์
4. มุ่งมั่นฝึกฝนตนจนเต็มสุดภาวะที่ความเป็นคนจะให้ถึงได้
5. ยึดถือหลักเหตุปััจจัยมองอะไร ๆ ตามเหตุและผล
6. ตั้งตนอยู่ในความไม่ประมาืท
7. ฉลาดคิดแยบคายให้ได้ประโยชน์และความจริง

ครูผู้ประเสริฐ

ครูผู้มีจิตใจหนักแน่น ผู้ทรงพรหมวิหารธรรม เอื้ออาทรแก่ศิษย์ด้วยความเมตตา มาตรฐานของคุรุผู้ประเสริฐที่หลวงพ่อเทียน จิตสุโภ ปรมาจารย์แห่งการทำสติแบบเคลื่อนไหว ได้ให้มโนภาพของผู้ที่จะเป็น "ครู" สอนคนไว้ดังนี้

1. รู้จริง ทำได้จริง จึงสอนเขา
2. สอนอย่างมีเหตุผล ให้เขาเข้าใจแจ้งชัดด้วยปัญญาของเขาเอง
3. สอนให้ได้ผลจริง เห็น ทำ และปฏิบัติได้จริง

....ขอธรรมะจงรักษาคุ้มครองคุณครูทุกท่านที่มีจิตวิญญาณแห่งความเป็นครูให้เจริญพัฒนายิ่ง ๆ ขึ้นไป

การสอนของอริยะครู

บัญญัติอันศักดิ์สิทธิ์ 4 ประการ ในการสอนของครูผู้ประเสริฐ วิเคราะห์และสังเคราะห์โดย หลวงพ่อเทียน จิตตสุโภ ปรมาจารย์แห่งเซ็นไทย

1. แจ่มแจ้ง
2. จูงใจ
3. แกล้วกล้า
4. ร่าเริง

... แด่ครูผู้มีจิตวิญญานของความเป็นครูอย่างแท้จริง

ความคิดเชิงวิพากษ์

การคิดเชิงวิพากษ์ หรือเชิงวิจารณ์

คำว่า “critical thinking” นับเป็นคำใหม่ที่เพิ่งนำ มาใช้ไม่นานมานี้ด้วยความหมายดังข้างต้น ดังนั้น จึงยังเป็นที่ถกเถียงกันว่าควรใช้ว่า “การคิดเชิงวิจารณ์” หรือ “การคิดเชิงวิพากษ์” ตามความหมายของพจนานุกรมฉบับราชบัณฑิตยสถานให้ความหมายของคำ “วิพากษ์” ว่าเป็นการตัดสินหรือการพิพากษา แต่ในขณะเดียวกัน นิยามของ “critical thinking” ในที่นี้บ่งว่าไม่ใช่การตัดสิน แต่เป็นความเห็นสรุปที่สมเหตุผลที่สุด ณ ขณะนั้นที่พร้อมที่จะเปลี่ยนได้ตามข้อมูลใหม่ที่วิเคราะห์ถูกต้องมาหักล้าง ได้เสมอ ดังนั้น ในบริบทนีีจึงใช้วลี “การคิดเชิงวิจารณ์” ไปก่อน

ภายใต้กรอบแห่ง “ความน่าสงสัย” (skepticism) กระบวนการคิดเชิงวิจารณ์เกี่ยวข้องสัมพันธ์กับการสืบหาข้อมูลและการประเมิน ข้อมูลเพื่อให้ได้มาซึ่งข้อสรุปหรือคำตอบที่เชื่อถือได้ การคิดเชิงวิจารณ์ประกอบด้วย “ตรรกะที่ไม่เป็นทางการ” (informal logic) ผลการวิจัยด้านการรับรู้เชิงจิตวิทยา (cognitive psychology) ทำให้นักการศึกษาเริ่มเชื่อมากขึ้นว่าสถาบันการศึกษาทุกแห่งควรเน้นการสอน ทักษะการคิดเชิงวิจารณ์ให้มากขึ้นแทนการสอนให้เรียนรู้แบบท่องจำ

กระบวน การของการคิดเชิงวิจารณ์สามารถตอบสนองประเด็นและสถานการณ์ได้หลายๆ อย่างและทำให้เราสามารถสืบเสาะหาสิ่งเชื่อมโยงระหว่างกันได้ด้วย ดังนั้น การคิดเชิงวิจารณ์จึงเป็นตัวสร้างระบบช่องความคิดต่างๆ ที่สัมพันธ์กับความรู้ เช่น วิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ ประวัติศาสตร์ มานุษยวิทยาเศรษฐศาสตร์ หลักเหตุผลทางศีลธรรม และปรัชญา


อาจแบ่งการคิดเชิงวิจารณ์ได้เป็นสองลักษณะได้แก่

· ชุดของทักษะการรับรู้ (cognitive skill) และ

· ความสามารถและการใช้ทักษะนั้นๆ เพื่อเป็นแนวทางแห่งประพฤติกรรม

การ คิดเชิงวิจารณ์ไม่เป็นเพียงการหาและการเก็บรวบรวมข้อมูล หรือการเป็นเพียงผู้มีทักษะแต่ไม่ได้ใช้อย่างสม่ำเสมอ การคิดเชิงวิจารณ์จึงไม่ใช่เป็นเพียงการฝึกฝนทักษะเพื่อการไม่ยอมรับรองผล เพียงอย่างเดียว

กรรมวิธีของการคิดเชิงวิจารณ์

การคิดเชิงวิจารณ์มีขั้นตอนการคิดที่มีประโยชน์ดังนี้

การจำแนกความเห็นในประเด็นปัญหาจากทุกฝ่ายที่เกี่ยวข้องและการจัดเก็บข้อโต้แย้งที่มีตรรกะที่สนับสนุนในแต่ละฝ่าย

แตกข้อโต้แย้งออกเป็นส่วนๆ ตามเนื้อหาของคำแถลงและดึงเอาเนื้อหาส่วนเพิ่มเติมที่มีความหมายตรงนัยของคำแถลง

ตรวจสอบคำแถลงและความหมายตามนัยเหล่านี้เพื่อหาความขัดแย้งในตัวเอง

บ่งชี้เนื้อหาการอ้างที่ขัดแย้งกันในบรรดาข้อถกเถียงต่างๆ ที่มีแล้วจึงใส่น้ำหนักหรือคะแนนให้ข้ออ้างนั้นๆ

เพิ่ม น้ำหนักเมื่อข้ออ้างมีหลักฐานสนับสนุนที่เด่นชัด โดยเฉพาะการมีเหตุมีผลที่สอดคล้องกัน หรือมีหลักฐานจากแหล่งใหม่ๆ หลายแหล่ง ลดน้ำหนักเมื่อข้ออ้างมีความขัดแย้งกัน

ปรับน้ำหนักขึ้นลงตามความสอดคล้องของข้อมูลกับประเด็นกลาง

จะ ต้องหลักฐานสนับสนุนที่เพียงพอสำหรับใช้ในการตัดสินข้ออ้างที่ไม่น่าเชื่อ ถือ หรือมิฉนั้น จะต้องไม่นำประเด็นการกล่าวอ้างดังกล่าวมาประกอบการตัดสิน

ประเมินน้ำหนักด้านต่างๆ ของข้ออ้าง


แผนที่ในจิตสำนึก (Mind maps) เป็นเครื่อง มือที่มีประสิทธิภาพสำหรับการจัดรูปและการประเมินค่าข้อมูลต่างๆ ที่เกี่ยวข้อง ในขั้นสุดท้าย เราอาจกำหนดน้ำหนักเป็นตัวเลขสำหรับแต่ละแขนงของแผนที่ในใจ

การ คิดเชิงวิจารณ์ไม่ใช่สิ่งที่ใช้ประกันว่าได้บรรลุถึงความจริง หรือ ข้อสรุปที่ถูกต้องแล้ว ประการแรก เราอาจไม่สามารถหาข้อมูลที่ถูกต้องได้ ซึ่งโดยข้อเท็จจริงแล้ว ข้อมูลที่มีความสำคัญอาจยังไม่มีการค้นพบ หรือยังเป็นข้อมูลที่ยังไม่มีใครรู้ว่าเป็นอะไร ประการที่สอง ความลำเอียงของคนการปิดบังหรือถ่วงประสิทธิภาพในการเก็บ ประเมินข้อมูลที่มีอยู่แล้ว *มีเรื่องน่าสนุกในหัวข้อนี้ไว้ค่อยติดตาม



การเอาชนะความลำเอียง

เพื่อลดความลำเอียง ผู้คิดจะต้องมีมาตรการต่างๆ เพื่อใช้ในกระบวนการของการคิดเชิงวิจารณ์ แทนที่จะตั้งคำถามว่า “เรื่องนี้มีประเด็นที่ค้านกับความเชื่อของเราหรือไม่” ควรถามว่า “ประเด็นนี้มีความหมายอย่างไร”

ในขั้นแรกๆ ของการเก็บรวบรวมและประเมินข้อมูล สิ่งแรกสุดที่ผู้คิดจะต้องทำคือ “การไม่ด่วนตัดสิน” (เหมือนที่ทำในการอ่านนิยายหรือดูภาพยนตร์) วิธีการนี้รวมถึงการสำเหนียก (perceptive) มากกว่าการตัดสิน (judgmental) นั่นคือการหลีกเลี่ยงการเลื่อนไหลจากใช้การมองกว้างไปสู่การตัดสิน ในคำเทคนิคของ “เอ็ดเวิร์ด เดอโบโน ในหมวกความคิด 6 ใบ” ใช้ หมวกขาว หรือ หมวกน้ำเงิน สำหรับการคิด และชลอการคิดแบบ หมวกดำ ไว้ในระยะหลัง


เราพึงตระหนักถึงข้อข้อผิดพลาดที่มักเกิดขึ้นกับตนเองได้แก่

การยอมรับว่าทุกคนมีความลำเอียงอยู่ในจิตใต้สำนึก และมักจะตั้งคำถามที่จะนำไปสู่การตัดสินที่นึกไว้แล้ว

ยอมรับการไร้อัตตา และควรตั้งทีท่าเป็นคนถ่อมตัว

ย้อนนึกถึงความเชื่อมั่นเดิมๆ ที่เคยมีและถูกหักล้างไปด้วยจริงหรือความถูกต้อง

ยอมรับว่าทุกคนยังมี จุดบอด อยู่มากทั้งๆ ที่รู้แล้ว

เรา จะขจัดความลำเอียงได้อย่างไร ทั้งๆ ที่ยังไม่รู้ว่าอะไรเป็นอะไร คำตอบที่เป็นไปได้อาจเป็นได้ว่า ด้วยการอิงการคิดเชิงวิจารณ์ไว้กับ “แนวคิดมนุษย์” (concept of man – Erich Fromm) ซึ่งอาจทำให้เห็นการคิดเชิงวิจารณ์และการสร้างสมจรรยาบรรณที่มั่นคงสร้าง องค์รวมทั้งหมดขึ้นมา แต่เป็นองค์รวมซึ่งยังคงจำกัดอยู่ ยังขาดการสนับสนุนจากแนวคิดของมวลมนุษย์


ในท้ายที่สุด อาจต้องใช้คำถามแบบโสกราตีส และ กรรมวิธีโสกราตีส (Socratic method) สำหรับการประเมินข้อขัดแย้งที่ถามคำถามแบบเปิด เช่น

สิ่งนี้มีความหมายว่าอย่างไร

ข้อสรุปได้มาอย่างไร

เชื่อได้อย่างไรว่าเป็นสิ่งที่ถูกต้อง

แหล่งข้อมูลที่ใช้มาจากใหน

ถ้าผิดจะเกิดอะไรขึ้น

ให้บอกแหล่งหรือบุคคลอ้างอิงที่เห็นแย้งพร้อมกับคำอธิบายสักสองราย

ทำไมประเด็นนี้จึงมีความสำคัญ

จะรู้ได้อย่างไรว่าคนๆ นั้นพูดความจริง

คำอธิบายที่เป็นทางเลือกอื่นสำหรับประเด็นนี้มีอะไรบ้าง

การมุ่งสู่การสรุป

มุมมองที่เป็นประโยชน์ในการคิดเชิงวิจารณ์เกี่ยวพันถึง “ใบมีดโกนของอ็อกแคม” (Occam’s Razor) หรือที่เรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “หลักการแห่งความตระหนี่ถี่ถ้วน” ซึ่งกล่าวไว้ว่าเราไม่ควรตั้งสมมุติฐานมากเกินความจำเป็น หรืออีกนัยหนึ่งคือ “การทำให้เรียบง่าย” โดยธรรมชาติของกระบวนการ การคิดเชิงวิจารณ์ไม่มีความเป็นที่สิ้นสุด เราอาจมาถึงข้อสรุปเบื้องต้นได้หากมีการประเมินหลักฐานมาแล้ว อย่างไรก็ดี ข้อสรุปทุกครั้งควรจะต้องเปิดช่องให้มีการประเมินได้อีกเมื่อมีข้อมูลเพิ่ม เติม



การคิดเชิงวิจารณ์ในห้องเรียน

ใน ระบบการศึกษาของประเทศอังกฤษมีการกำหนดการคิดเชิงวิจารณ์ไว้เป็นวิชาเรียน สำหรับนักเรียนวัย 17-18 ปี ซึ่งนักเรียนสามารถเลือกสอบในหัวเรื่อง “ความเป็นที่น่าเชื่อถือได้ของหลักฐาน” (Credibility of Evidence) หรือ “การประเมิน / การสร้างข้อโต้เถียง” (Assessing/Developing Argument) นักเรียนทั่วไปถือว่าวิชาในส่วนนี้สนุกและเป็นประโยชน์เพราะสามารถรู้เรื่องและปฏิบัติได้หลังการเข้าเรียนเพียงไม่กี่ครั้ง

สำหรับ ประเทศไทยในปัจจุบัน เป็นที่ยอมรับกันว่าทักษะการคิดเชิงวิจารณ์ของประชาชนโดยรวมลดลงมาก ประชาชนถูกชักจูงและหลงเชื่อการบอกเล่าหรือเชื่อปรากฏการณ์เหนือธรรมชาติได้ ง่าย แม้ส่วนใหญ่จะนับถือพุทธศาสนาแต่ก็มิได้ตระหนักถึงคำสอนของพระพุทธเจ้าที่สอนให้คิดเชิงการคิดเชิงวิจารณ์ คือ ปุจฉาวิสัชนา และการสอนไม่ให้เชื่อในสิ่ง “เขาว่ามา” ให้สืบสวนไต่ตรองให้รอบคอบก่อนจึงค่อยเชื่อ การสอนการคิดเชิงวิจารณ์ในโรงเรียนชั้นมัธยมปลายดังที่ประเทศอังกฤษปฏิบัติ อยู่จึงน่าจะเป็นสิ่งจำเป็นรีบด่วน



คำคม

วิลเลี่ยม แกรแฮม ซัมเนอร์ ได้เสนอข้อสรุปที่เป็นประโยชน์ยิ่งเกี่ยวกับการคิดเชิงการคิดเชิงวิจารณ์

การ คิดเชิงวิจารณ์คือการตรวจสอบและการทดสอบประเด็นของคำเสนอทุกประเภทที่ผ่าน เข้ามาขอการยอมรับ เพื่อดูว่าคำเสนอนั้นตรงกับความเป็นจริงหรือไม่ ความสามารถในการคิดเชิงวิจารณ์เป็นผลที่เกิดจากการศึกษาและการฝึกฝน จนเป็นนิสัยและเป็นพลังทางใจ การคิดเชิงวิจารณ์เป็นเงื่อนไขสำคัญแห่งความผาสุขของปวงชน เป็นสิ่งมนุษย์ทั้งหญิงและชายพึงฝึกฝนให้ชำนาญ การคิดเชิงวิจารณ์คือหลักประกันที่สามารถปกป้องการบิดเบือน การหลงละเมอ การหลอกลวง การเชื่อผีสางและการหลงผิดของเราและสิ่งล้อมรอบตัวเรา


ขงจื่อ “คำวิจารณ์ มิอาจตัดสินคน”

นิรนาม “ไม่มีประโยชน์ที่จะไปโทษกระจกเงา ใบหน้าของท่านต่างหากที่ขี้เหร่”


การคิดเชิงวิจารณ์ (Critical thinking) ได้รับการยอมรับว่ามีความสำคัญในการพัฒนาบุคลากรระดับสูงของประเทศต่างๆ ทั่วโลกเพื่อเพิ่มขีดความสามารถในการแข่งขันในโลกาภิวัฒน์ ทุกประเทศตื่นตัวนำการคิดเชิงวิจารณ์บรรจุเป็นวิชาหรือส่วนของการเรียนการสอนในหลักสูตรการศึกษาตั้งแต่ชั้นระดับประถมถึงอุดมศึกษา

ด้วย กระแสแห่งความการยอมรับที่แพร่หลาย นิยามของการคิดเชิงวิจารณ์จึงหลากหลาย ข้อความข้างล่างนี้คือนิยามที่รวบรวมจากแหล่งต่าง ที่มาของนิยามปรากฏตามโยงที่อยู่ที่ท้ายของแต่ละนิยาม



นิยามของ “การคิดเชิงวิจารณ์”

โดย ที่แนวคิเกี่ยวกับการคิดเชิงวิจารณ์เพิ่งเป็นที่แพร่หลายและมีความสำคัญต่อ สังคมแห่งโลกไร้พรมแดนมากขึ้นเป็นลำดับ จึงมีผู้เขียนหนังสือและมีการเปิดสอนวิชานี้อย่างแพร่หลายตามมหาวิทยาลัย ต่างๆ ทั่วโลก ดังนั้นความหมายและนิยามของ “การคิดเชิงวิจารณ์” จึงมีความหลากหลายดังนิยามที่ได้รวมรวมไว้ข้างล่างนี้ ทั้งนี้เพื่อให้ผู้ศึกษาเห็นภาพที่กว้างขึ้น แหล่งที่มาได้ให้ไว้ที่ท้ายของแต่ละนิยามแล้ว

การ คิดเชิงวิจารณ์หมายถึงชนิดของกิจกรรมทางจิตที่แจ่มแจ้ง แม่นยำและมีความมุ่งหมายที่ชัดเจน ปกติจะเกี่ยวโยงกับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนในโลกของความเป็นจริง เป็นการสร้างทางแก้ปัญหาเชิงซ้อน เป็นการหยิบยกความแตกต่าง การสังเคราะห์และบูรณาการข้อมูลข่าวสาร ชูความแตกต่างระหว่างข้อเท็จจริงกับความเห็น หรือการอนุมาณศักยภาพของผลที่จะตามออกมา แต่การคิดเชิงวิจารณ์ยังโยงไปถึงกระบวนการประเมินคุณภาพในความคิดของตนเองได้ด้วย

การ คิดเชิงวิจารณ์หมายถึงความสามารถในการประเมินข้อมูลและความเห็นอย่างมีระบบ มีเป้าหมายที่ชัดเจนและถูกต้องและด้วยวิธีการที่มีประสิทธิภาพ

การ คิดเชิงวิจารณ์คือเครื่องมือที่จำเป็นยิ่งยวดเพื่อการตัดสินหรือลงความเห็น ด้ววิธีสืบเสาะ กำหมดเป้าหมายที่ถูกต้องชัดเจนและการบังคับตนเองไม่ให้ถูกชักจูง เพื่อให้ได้มาซึ่งการแปลความหมาย การวิเคราะห์ การประเมินและการลงความเห็นตลอดจนการอธิบายพยานหลักฐานหรือสิ่งอ้างอิง แนวคิด วิธีการ การกำหนดกฎเกณฑ์หรือบริบทของข้อพิจารณาที่เป็นที่มาของข้อสรุป ความเห็น หรือข้อตัดสิน

การ คิดเชิงวิจารณ์คือกระบวนการรับรู้ที่ตั้งอยู่บนพื้นฐานของการสะท้อนความคิด และการอดทน (ต่อการหาความกระจ่าง) ในความคลุมเครือไม่ชัดเจนซึ่งมีลักษณะประจำดังนี้

มีวินัยและชี้นำตนเอง

หันเหไปทางการสืบค้น วิเคราะห์และวิจารณ์

ใช้ วิธีแก้ไขปัญหาแบบหลายมิติและหลายตรรกะมากกว่าการแก้แบบมิติเดียว ตรรกะเดียว หรือ ใช้ความรู้คิดยาวไปทางเดียว จะต้องใช้ความสามารถสร้างทางเลือกหลายทางที่นำไปสู่การชั่งใจตัดสินที่ ปราศจากการเอนเอียง

การ คิดเชิงวิจารณ์คือการสะท้อนความคิดที่มีเหตุผลโดยการพุ่งประเด็นไปเน้นที่ การตัดสินใจที่จะเชื่อหรือตัดสินใจที่จะกระทำในสิ่งใดสิ่งหนึ่ง กล่าวให้ชัดก็คือการประเมินในความจริง ความแม่นยำ และ/หรือคุณค่าของความรู้หรือข้อถกเถียงที่ได้รับ ในการนี้ต้องการการวิเคราะห์ความรู้หรือความเชื่อที่ได้รับรู้มาอย่างระมัด ระวัง ตรงจุด เกาะติดและเป็นรูปธรรมที่มีเหตุผล เพื่อให้สามารถตัดสินได้ว่าสิ่งนั้นๆ จริงหรือมีคุณค่าจริงหรือไม่

การ คิดเชิงวิจารณ์คือกระบวนการประเมินข้อเสนอหรือสมมุติฐานที่ได้รับแล้วทำการ ไตร่ตรองตัดสินบนพื้นฐานแห่งพยานหลักฐานที่นำมาสนับสนุน ตัวอย่าง: พิจารณาตาม 5 ขั้นตอนของการคิดเชิงวิจารณ์

เรากำลังถูกบอกให้เชื่อหรือยอมรับอะไร? สมมุติฐานในเรื่องนี้คืออะไร?

มีพยานหลักฐานใดที่ใช้สนับสนุนในเรื่องนี้? และหลักฐานนี้เชื่อถือได้และหนักแน่นแล้วหรือ?

มีทางเลือกอื่นใดอีกหรือไม่สำหรับใช้ในการตีความพยานหลักฐานนี้

มีหลักฐานเพิ่มเติมอื่นใดอีกหรือไม่ที่จะนำมาช่วยประเมินทางเลือกเหล่านั้น

ข้อสรุปใดที่มีเหตุผลมากที่สุดตามพยานหลักฐานและคำอธิบายของทางเลือก

การ คิดเชิงวิจารณ์คือการเจาะมุ่งเฉพาะจุด การจัดรูปความคิดเกี่ยวกับสิ่งต่างๆ อย่างมีความสัมพันธ์กันในระหว่างความคิดต่างๆ ในหลักฐานที่แน่ชัดและในความแตกต่างระหว่างข้อเท็จจริงกับความเห็น

การ คิดเชิงวิจารณ์คือความมุ่งมั่นยึดติดกับการตรวจสอบหลักฐานที่สนับสนุนความ เชื่อ ทางแก้ปัญหา หรือข้อสรุปการยอมรับ การคิดเชิงวิจารณ์หมายถึงความสามารถในการคิดอย่างกระจ่าง การวิเคราะห์และการมีให้เหตุผลอย่างมีตรรกะ

การคิดเชิงวิจารณ์คือการแสดงให้เห็นถึงหรือความต้องการการวิเคราะห์อย่างระมัดระวังก่อนการตัดสิน

การคิดเชิงวิจารณ์คือการให้เหตุผลและการวิเคราะห์อย่างเป็นระบบ ที่รวมถึงการตะล่อมและการมีตรรกะในของการคิดที่อยู่ในระดับสูง

การ คิดเชิงวิจารณ์คือการเก็บเกี่ยวทักษะเชิงวิเคราะห์ที่จะช่วยให้นิสิตนัก ศึกษามีความสามารถในการแก้แนวคิดหรือปัญหาต่างๆ ที่ซับซ้อนได้

การ คิดเชิงวิจารณ์คือเซทที่ซับซ้อนของทักษะการรับรู้ที่ต้องใช้ในการแก้ปัญหา และการพิจารณาสิ่งต่างๆ อย่างมีปัญญาและนวัตกรรมการคิดเชิงวิจารณ์คือกระบวนการที่ท้าทายให้บุคคลใช้ การไตร่ตรอง เหตุผล การคิดอย่างมีหลักเพื่อรวบรวม แปลความหมายและประเมินข้อมูลข่าวสารเพื่อให้สามารถตัดสิน กระบวนการนี้เกี่ยวข้องกับการคิดที่ล่วงเลยไปมากกว่าการให้เหตุผลเพียงอัน เดียวสำหรับนำมาใช้ในการตัดสินว่าทางเลือกใดเหมาะสมที่สุดการคิดเชิงวิจารณ์ คือทักษะที่สำคัญที่สุดสำหรับการศึกษาในมหาวิทยาลัยและสถาบันที่สูงกว่านั้น เป็นการค้นหาความหมายที่อยู่เบื้องใต้ของคำแถลง กวีนิพนธ์ บทบรรณาธิการ รูปภาพ การโฆษณา หรือข้อเขียนใดๆ ด้วยการใช้การวิเคราะห์ นักคิดเชิงวิจารณ์จะแยกคำแถลงหรือข้อเขียนนั้นออกเป็นส่วนๆ เพื่อค้นหาความหมาย ความสัมพันธ์และสมมุติฐานอาจอาจถูกฝังไว้ในนั้นต่อไปการคิดเชิงวิจารณ์คือหน ทางแห่งการตัดสินที่ต้องใช้การไตร่ตรองอย่างระมัดระวังว่าจะยอมรับ บอกปัดหรือพักคำแถลงนั้นไว้ก่อนการคิดเชิงวิจารณ์คือกระบวนการที่มีเหตุผล และที่สะท้อนถึงการชั่งใจตัดสินในสิ่งต่างๆ กระบวนการนี้ให้ความสำคัญในความเป็นเอกเทศและกึ่งเอกเทศในการตัดสินใจ การคิดเชิงวิจารณ์ยังรวมถึงความสามาถในการจัดการกับความคลุมเครือซึ่งเป็น สิ่งที่มีประจำในบทบาทและประสบการณ์ของมนุษย์ทั่วไป

การ คิดเชิงวิจารณ์คือกระบวนการที่มีระบบการใช้ปัญญาเพื่อการวางแนวความคิด การประยุกต์ การวิเคราะห์ การสังเคราะห์และ/หรือประเมินข้อมูลด้วยทักษะที่กระตือรือล้นด้วยการสังเกต การเข้าไปมีประสบการณ์ การสะท้อนกลับ การให้เหตุผลและ/หรือด้วยการสื่อ เพื่อใช้เป็นแนวทางไปสู่ความเชื่อหรือการปฏิบัติ

การ คิดเชิงวิจารณ์ไม่ใช่การเสาะหาหรือการคงไว้ซึ่งข้อมูลแบบธรรมดาทั่วไป ไม่ใช่เป็นการพัฒนาเซทเฉพาะของทักษะ และ/หรือการประยุกต์ทักษะเหล่านั้นซ้ำๆ โดยปราศจากประเมินผลลัพธ์เชิงวิจารณ์

การ คิดเชิงวิจารณ์ครอบคลุมถึงองค์ประกอบของเหตุผลทั้ง 8 นั่นคือ ความมุ่งหมาย จุดความเห็น คำถามของประเด็น ข้อมูลข่าวสาร การแปลความหมายและการอนุมาน แนวคิดหรือมโนทัศน์ ข้อสมมุติ การชี้บ่งเป็นนัยและผลที่จะ การคิดเชิงวิจารณ์คือกระบวนการทางจิตที่ใช้ในการวิเคราะห์หรือประเมินข้อมูล ข้อมูลดังกล่าวอาจเก็บรวบรวมจากการสังเกตการณ์ ประสบการณ์ การใช้เหตุผล หรือจากการสื่อความ การคิดเชิงวิจารณ์มีพื้นฐานของมันเองทางคุณค่าแห่งพุทธิปัญญาที่ล้ำลึกไปจาก การแบ่งเรื่องราวโดยรวมถึง ความกระจ่างแจ้ง ความแม่นยำ การมีพยานหลักฐาน การครบถ้วนและการมีความยุติธรรม

โสคราตีส:เจ้าแห่งการสนทนา

โสคราตีสและวิธีการของโสคราตีส ( Socratic Method )
ประวัติของโสคราตีสโดยสังเขป
โสคราตีส ( พ.ศ. ๗๓ - ๑๔๔ ) เกิดที่กรุงเอเธนส์ บิดาชื่อโซโฟรนิสคุส เป็นช่างแกะสลัก มารดาชื่อเฟนารีเต เป็นหมอตำแย โสคราตีสเรียนวิชาแกะสลักจากบิดาและประกอบอาชีพเจริญรอยตามบิดาอยู่ไม่นานก็เลิกเสีย ต่อมาเมื่อเอเธนส์ประกาศสงครามกับสปาร์ตา โสคราตีสสมัครเป็นทหารไปรบถึง ๓ ครั้ง ซึ่งโสคราตีสได้ชื่อว่าเป็นทหารที่ทรหดอดทนมาก
รูปกายของโสคราตีสไม่มีเสน่ห์มากนัก ปล่อยหนวดเครารุงรัง ชอบเดินเท้าเปล่า สวมเสื้อผ้าเก่าซ่อมซ่อ
โซคราตีสแต่งงานเมื่ออายุเกือบ ๕๐ ปี โดยมีภรรยาชื่อซานธิปปี มีบุตรด้วยกัน ๓ คน
โสครา ตีสไม่ได้ประกอบการงานอะไรเพื่อหารายได้จุนเจือครอบครัว งานประจำวันของท่านคือพบปะประชาชน ทุกๆ เช้า โสคราตีสจะออกไปตามท้องตลาดหรือย่านชุมชนแล้วตั้งวงสนทนาขึ้นที่นั่น โดยสนทนากับผู้คนทุกประเภท ทุกเรื่องไม่ว่าจะเป็น การเมือง ศาสนา การแต่งงาน ความรัก และศึลธรรม โสคราตีสชอบสนทนากับผู้อ้างตัวเป็นนักปราชญ์ทั้งหลาย โดยเทคนิคการสนทนาของท่านมีชื่อว่า วิธีการของโสคราตีส
โสครา ตีสมีศิษย์เอกคือ พลาโต้ และศิษย์อีกคนที่นำความเดือดร้อนมาให้โสคราตีสคือ ครีเตียส โดยครีเตียสเป็นผู้นำรัฐบาลชุดสามสิบทรราช ซึ่งครองอำนาจหลังเอเธนส์แพ้สงครามแก่สปาร์ตา รัฐบาลชุดนี้ไม่ได้รับความนิยมจีงถูกโค่นล้มในปีเดียว ภายหลังที่รัฐบาลทรราชถูกโค่นล้ม รัฐบาลชุดใหม่ไม่สามารถล้างแค้นกับคณะสามสิบทรราชได้โดยตรงเพราะได้มีการออก กฎหมายนิรโทษกรรมให้กับบุคคลเหล่านั้นแล้ว ดังนี้นจึงเบนเป้าไปที่กลุ่มบุคคลผู้เคยสนับสนุนคณะทรราช หรือแสดงตัวเป็นปฏิปักษ์กับประชาธิปไตย เนื่องจากครีเตียสเป็นศิษย์ของโสคราตีสและโสคราตีสคัดค้านประชาธิปไตยอันไร้ สติของเอเธนส์ประกอบกับโสคราตีสเองก็สร้างศัตรูไว้ด้วย ท่านจึงถูกฟ้องและนำขึ้นศาลเมื่อมีอายุได้ ๗๐ ปี และถูกตัดสินประหารชีวิต

ทฤษฎีความรู้ของโสคราตีส
อธิบายศัพท์
๑. สัญชาน คือ การรับรู้ที่เกิดจากการกระทบระหว่างประสาทสัมผัสทั้งห้า คือ ตา หู จมูก ลิ้น และผิวกาย กับอายตนะภายนอกคือ ภาพ เสียง กลิ่น รส และสิ่งสัมผัส สัญชานเป็นความรู้ระดับผัสสะ ดังนั้นความรู้ระดับสัญชานจึงเป็นการรู้จักสิ่งเฉพาะ
๒. จินตภาพ คือ ภาพของสิ่งเฉพาะที่ปรากฎในใจ เป็นภาพที่เกิดจากการนึกถึงสิ่งที่เคยเห็นขึ้นมาในจิตใจ เช่น เมื่อเราเห็นภาพสุนัขตัวหนึ่งที่ปรากฎแก่สายตาเป็นสัญชาน ต่อมาเมื่อหลับตาแล้วนึกถึงภาพสุนัขตัวนั้น ภาพของสุนัขตัวนั้นที่เรานึกถึงเป็นจินตภาพ
๓. มโนภาพ คือ ความรู้เกี่ยวกับสิ่งสากล ซึ่งเป็นแก่นแท้ของสิ่งเฉพาะต่างๆ ดังตัวอย่างต่อไปนี้ ประโยคที่ว่า โสคราตีสเป็นสิ่งที่ต้องตาย กับ มนุษย์เป็นสิ่งที่ต้องตาย ประโยคแรกหมายถึงโสคราตีสซึ่งเป็นสิ่งเฉพาะ ส่วนประโยคที่สองหมายถึงมนุษย์โดยทั่วไปหรือมนุษย์สากล ซึ่งประโยคที่สองนี้กล่าวถึงมโนภาพของมนุษย์
สังเกตได้ว่า สัญชานและจินตภาพเป็นความรู้เกี่ยวกับสิ่งเฉพาะ ส่วนมโนภาพเป็นความรู้เกี่ยวกับสิ่งสากล
โสครา ตีสถือว่าเหตุผลเป็นเครื่องมือในการแสวงหาความรู้ในปรัชญาของโสคราตีสเหตุผล ช่วยให้ค้นพบมโนภาพ ความรู้ทุกอย่างจึงเป็นความรู้ที่ได้มาจากมโนภาพ ซึ่งมโนภาพคือความรู้จักสิ่งสากล ดังนั้นความรู้ขั้นมโนภาพจึงเป็นความรู้ที่บุคคลทั่วไปยอมรับ เพราะมนุษย์มีเหตุผล เมื่อทุกคนใช้เหตุผลค้นพบมโนภาพของสิ่งสากลใดๆ มโนภาพของสิ่งสากลนั้นย่อมจะเหมือนกัน ซึ่งเป็นความจริงมาตรฐาน
ปัญหา คือ ทำอย่างไรจึงจะค้นพบมโนภาพของสิ่งทั้งหลาย คำตอบของโสคราตีสคือ เราจะค้นพบมโนภาพของสิ่งทั้งหลายได้ด้วยการสร้างคำจำกัดความ ( Definition ) ของสิ่งนั้น ทั้งนี้เพราะมโนภาพหมายถึงสิ่งเดียวกันกับคำจำกัดความ นั่นเอง
เมื่อ เราสามารถค้นพบมโนภาพของสิ่งต่างๆ ได้โดยการสร้างคำจำกัดความ ดังนั้นเมื่อโสคราตีสต้องการความรู้เรื่องใด ท่านก็จะขอให้คนสร้างคำจำกัดความเกี่ยวกับเรื่องนั้น ท่านจะตั้งปัญหาถามคนทั่วไปว่าสิ่งนั้นคืออะไร สิ่งนี้คืออะไร แล้วท่านก็จะเริ่มการสนทนาแบบถาม-ตอบเพื่อหาคำจำกัดความที่ถูกต้องของเรื่อง เหล่านั้น โดยท่านเรียกวิธีการถาม-ตอบของท่านว่า
วิธีการของโสคราตีส ( Socratic Method )

วิธีการของโสคราตีส ( Socratic Method )
วิธี การของโสคราตีสคือศิลปะการสนทนาที่โสคราตีสใช้ในการสนทนาเพื่อให้การสนทนา ดำเนินไปสู่คำตอบของปัญหาที่กำลังอภิปรายกัน วิธีนี้มีชื่อเรียกทั่วไปว่า วิภาษวิธี ( Dialectic ) ซึ่งมีลักษณะ ๕ ประการคือ
๑.สงสัย โสคราตีสเริ่มต้นการสนทนาด้วยการยกย่องคู่สนทนาว่าเป็นผู้เชี่ยวชาญในเรื่อง ที่ท่านเองก็ใคร่รู้อยู่พอดี เนื่องจากท่านไม่มีความรู้เกี่ยวกับเรื่องนั้น ท่านจึงขอให้เขาตอบคำถามของท่านเกี่ยวกับเรื่องนั้น การออกตัวทำนองนี้ถือกันว่าเป็นการถ่อมตัวของนักปรัชญา
๒.สนทนา จากนั้นโสคราตีสก็เป็นฝ่ายตั้งปัญหาให้คู่สนทนาตอบ การสนทนาจึงมีลักษณะเช่นเดียวกับเทศน์ปุจฉา-วิสัชนา คู่สนทนาจะต้องหาคำจำกัดความของหัวข้อที่สนทนากัน โสคราตีสจะวิจารณ์ว่า คำจำกัดความนั้นมีข้อบกพร่องตรงไหนบ้าง อีกฝ่ายหนึ่งจะเสนอคำจำกัดความใหม่ที่ดูรัดกุมกว่า โสคราตีสจะขัดเกลาคำจำกัดความนั้นอีก การสนทนาจะดำเนินไปอย่างนี้ จนกว่าทั้งสองฝ่ายจะได้คำจำกัดความที่น่าพอใจ
๓.หาคำจำกัดความ จุดมุ่งหมายของการสนทนาจึงอยู่ที่การหาคำจำกัดความที่ถูกต้อง โสคราตีสเชื่อว่า ถ้าเราพบคำจำกัดความที่ถูกต้องของสิ่งใด นั่นแสดงว่าเราพบความจริงแท้เกี่ยวกับสิ่งนั้น ซึ่งเป็นอันเดียวกับการค้นพบมโนภาพของสิ่งนั้นนั่นเอง
๔.อุปนัย การสร้างคำจำกัดความจะเริ่มจากสิ่งเฉพาะไปสู่สิ่งสากล เช่น เมื่อหาคำจำกัดความของคำว่า สิทธิ โสคราตีสและคู่สนทนาจะพิจารณาตัวอย่างจากสิทธิต่างๆ ในสังคมแล้วดึงเอาลักษณะที่เป็นแก่นหรือที่เป็นสากลมาสร้างเป็นคำนิยาม
๕.นิรนัย คำจำกัดความที่มีผู้เสนอมาจะถูกพิสูจน์โดยการนำไปเป็นมาตรการวัดสิ่งเฉพาะ ต่างๆ ว่ามีลักษณะร่วมกับลักษณะที่ระบุไว้ในคำจำกัดความนั้นหรือไม่ เช่น ถ้าเราได้คำจำกัดความของ สิทธิ มาเราก็ต้องตรวจสอบดูว่า กรรมสิทธิ์ ถือเป็นสิทธิตามคำจำกัดความที่เราตั้งไว้หรือไม่เพียงใด

จะ เห็นได้ว่าวิธีการของโสคราตีสนั้นมีสิ่งที่สำคัญคือการถาม-ตอบ ซึ่งการถาม-ตอบเพื่อที่จะบรรลุจุดมุ่งหมายคือการพัฒนาความรู้ได้นั้นก็ต้อง อาศัยวิธีการตั้งคำถามที่มีประสิทธิภาพ ไม่ถามอย่างไร้เหตุผล ดังนั้นคำถามจึงเป็นส่วนที่สำคัญมากในวิธีการของโสคราตีส

คำถามแบบโสคราตีส ( Socratic Questioning )
คำถามแบบโสคราตีส คือ ระเบียบวิธีการตั้งคำถามสำหรับใช้ในการค้นหาความคิดในหลายๆ ทิศทางเพื่อวัตถุประสงค์ต่างๆ เช่น เพื่อค้นหาความจริงสากล เพื่อค้นหาความคิดที่ซับซ้อน เพื่อเปิดประเด็น ปัญหา เพื่อเปิดเผยสมมุติฐาน เพื่อวิเคราะห์แนวคิด เพื่อจำแนกสิ่งต่างๆ หรือเพื่อประยุกต์ความคิดอย่างมีตรรกะ ลักษณะของคำถามแบบโสคราตีสคือ เป็นคำถามที่เป็นระบบ มีระเบียบวิธีที่ชัดเจน มีความลึกและปกติจะพุ่งจุดศูนย์รวมไปที่แนวคิดพื้นฐาน หลักการ ทฤษฎี ประเด็นปัญหา หรือตัวปัญหา
คำถามแบบโสคราตีสมีวัตถุประสงค์เพื่อศึกษาและพัฒนาความคิด ดังนั้นจึงมีประโยชน์ในการเรียนการสอน ซึ่งในการเรียนการสอนนั้นสามารถใช้คำถามแบบโสคราตีสเพื่อวัตถุประสงค์อย่าง น้อย ๒ ประการคือ
๑.เพื่อเจาะลึกเข้าไปในความคิดของนิสิตนักศึกษา เพื่อช่วยให้นิสิตนักศึกษาสามารถแยกแยะสิ่งที่ตนรู้หรือเข้าใจออกจากสิ่งที่ตนไม่รู้หรือไม่เข้าใจ
๒.เพื่อเสริมสร้างขีดความสามารถในการใช้คำถามแบบโสกราตีสให้แก่นิสิตนักศึกษา ให้นำมาใช้เป็นเครื่องมือหลักในการถกเถียงแบบโสกราตีส ( Socratic dialogue ) ได้ ทั้งนี้เพื่อให้นิสิตนักศึกษาใช้เครื่องมือนี้ได้ในชีวิตประจำวัน ( สำหรับการถามตนเองและถามผู้อื่น )

อ้างอิง พระธรรมโกศาจารย์ ( ประยูร ธมฺมจิตโต ) .ปรัชญากรีก : บ่อเกิดภูมิปัญญาตะวันตก . ศยาม, ๒๕๕๐

สุดยอดมุมมอง : ครูต้องอ่าน

เคยได้ยินชื่อ ดร.วรภัทร ภู่เจริญ ไหมครับ

เขาเคยเป็นวิศวกรขององค์การอวกาศนาซา ประเทศสหรัฐอเมริกา เมื่อเกือบ 20 ปีก่อน
เคยได้รับรางวัลงานวิจัยที่ดีที่สุดระดับโลกเกี่ยวกับเครื่องยนต์ไอพ่นตัดสินใจกลับเมืองไทยเพราะ

1.อยากดูแลพ่อแม่
2.ไม่อยากเป็นพลเมืองชั้นสองในบ้านพักคนชรา
3.อยากเที่ยว และ
4.ชอบกินอาหารอร่อย

เคย เป็นอาจารย์คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ก่อนจะออกมาตั้งบริษัทที่ปรึกษาของตัว เอง ผมประทับใจบทสัมภาษณ์ของ ดร.วรภัทรใน "เสาร์สวัสดี" ของ"กรุงเทพธุรกิจ "
เมื่อประมาณ 1-2 เดือนก่อนมาก คนอะไรก็ไม่รู้ ชีวิตมันส์เป็นบ้า ความคิดก็กวนเหลือหลาย
ตอนที่เขาเป็นอาจารย์ วิธีการสอนหนังสือของเขาแปลกกว่าคนอื่น "ผมออกนอกกรอบตลอดเวลา" เขาบอก

เขาเคยพาเด็กวิศวะไปที่ริมสระว่ายน้ำ เรียนไปและดูนิสิตสาว ๆ ว่ายน้ำไปด้วย คาดว่าคงไปเรียนเรื่อง

"คลื่น" ระหว่างท่าฟรีสไตล์ กับท่าผีเสื้อ
คลื่นที่เกิดขึ้นของท่าไหนถี่กว่ากันระหว่างชุดทูพีซกับวันพีซ แรงเสียดทานกับน้ำ ชุดไหนมากกว่ากัน
แนวการศึกษาน่าจะออกไปทำนองนี้

แต่ที่ชอบที่สุดคือตอนที่เขาออกข้อสอบ ข้อสอบของเขาสั้นและกระชับมาก

"จงออกข้อสอบเอง พร้อมเฉลย" โหย...เด็กวิดวะอึ้งกันทั้งห้อง

คำตอบส่วนใหญ่เป็นการตั้งโจทย์แบบง่ายๆ เช่น ปั้นจั่นมีกี่ชนิด

ผลปรากฎว่าได้ศูนย์กันทั้งห้อง เพราะเป็นคำตอบที่ไม่ได้แสดงความคิดที่ลึกซึ้งสมกับที่เรียนมาทั้งเทอม

เหตุผลที่ ดร.วรภัทร ออกข้อสอบด้วยการให้นิสิตออกข้อสอบเองเป็นเหตุผลที่ตรงกับใจผมมาก


"ชีวิตคนเราจะรอให้อาจารย์ตั้งโจทย์อย่างเดียวไม่ได้ ต้องหาโจทย์มาเอง คิดแล้วทำ ถ้าผิดแล้ว อาจารย์จะปรับให้"

เขามองว่าเด็กรุ่นใหม่ติดนิสัยเด็กกวดวิชา รอคนคาบทุกอย่างมาป้อนให้ ไม่รู้จักคิดเอง

"ถ้ารอและตั้งรับ คุณก็เป็นพวกอีแร้ง แต่พวกคุณแย่กว่าเพราะเป็นแค่ลูกอีแร้ง คือ รออาหารที่คนอื่นป้อน ให้"

โหย...เจ็บ ผมเชื่อมานานแล้วว่าชีวิตของคนเราเป็นข้อสอบอัตนัย ที่ต้องตั้งโจทย์เองและตอบเอง
ไม่ใช่ข้อสอบปรนัยที่มีคนตั้งโจทย์

และมีคำตอบเป็นทางเลือก ก-ข-ค-ง
ถ้าใครที่คุ้นกับ "ชีวิตปรนัย" ที่มีคนตั้งโจทย์ให้และ

เสนอทางเลือก 1-2-3-4
คนคนนั้นชีวิตจะไม่ก้าวหน้า เพราะต้องพึ่งพาคนอื่นตลอดเวลาติดกับ "กรอบ"ที่คนอื่นสร้างให้ ไม่เหมือน

กับคนที่รู้จักคิดและตั้งคำถามเอง
เรื่องการตั้งคำถามกับชีวิตเป็นเรื่องสำคัญมาก อย่าลืมว่าเพราะมี "คำถาม"จึงมี "คำตอบ"
เมื่อมี "คำตอบ" เราจึงเลือกเดิน พูดถึงเรื่องการตั้งคำถาม

ผมนึกถึง โสเครติส

" เขาเป็นนักปรัชญาเอกของโลก ที่สอนลูกศิษย์ด้วยการสนทนา ตั้งคำถามให้ลูกศิษย์ตอบ สร้างองค์ความรู้ จาก "คำถาม"

กลยุทธ์ของ "โสเครติส" ในการสอน คือ
ไม่ ให้ความเห็นใดๆ แก่นักเรียน และทำลายความมั่นใจของ นักเรียนที่เชื่อว่าตนเองรู้ "โสเครติส" เชื่อว่าเมื่อเด็กตระหนักใน "ความไม่รู้" ของตนเอง เขาจะเริ่มต้น

แสวงหา "ความรู้ " แต่ถ้า เด็กยังเชื่อมั่นว่าตนเองมี "ความรู้" เขาก็จะไม่แสวงหา "ความรู้ "

การตั้งคำถามของโสเครติส จึงมีเป้าหมายโจมตีและทำลายความเชื่อมั่นในภูมิความรู้ของนักเรียน
เป็นกลยุทธ์เท "น้ำ" ให้หมดจากแก้ว เมื่อแก้วไม่มีน้ำ แล้วจึงเริ่มให้เขาเท "น้ำ" ใหม่ใส่แก้วด้วยมือของเขาเอง

"น้ำ" ที่ลูกศิษย์แต่ละคนเทลงแก้วด้วยมือตัวเองมาจาก "คำตอบ" ที่เขาค้นคิดขึ้นมาเอง

"คำตอบ" จาก "คำถาม" ของ "โสเครติส"

"โสเครติส" นิยามศัพท์คำว่า "คนฉลาด" และ "คนโง่" ได้อย่างน่าสนใจ

"คนฉลาด" ในมุมมองของ "โสเครติส" นั้นไม่ใช่คนที่รู้ทุกเรื่อง

แต่ "คนฉลาด" คือคนที่รู้ว่าตัวเองไม่รู้

ส่วน "คนโง่" นั้น คือ คนที่ไม่รู้ว่าตัวเองไม่รู้แต่ทำตัวราวกับเป็นผู้รู้

ไม่น่าเชื่อว่าก่อนหน้านี้ผมยังมีความภาคภูมิใจใน "ความรู้" ของตนเอง
แต่พออ่านถึงบรรทัดนี้ ทำไมผมเริ่มรู้สึกว่าตัวเองไม่รู้อะไรเลย .....

อ้างอิง : From: Fwd mail

เคล็ดลับ:สอนเด็กเกลียดเลข

เทคนิคการสอนคณิตศาสตร์ เคล็ดลับสำหรับเด็กเกลียดเลข

“เด็ก ที่มีความบกพร่องทางด้านคณิตศาสตร์ ความรู้ด้านคณิตศาสตร์จะไม่ได้ตามวัยของเด็ก อย่างเช่นการบวก ลบ คูณ หาร จำนวนต่างๆ เด็กจะไม่รู้ตามวัยที่ควรจะรู้”

เทคนิค 6 วิธี ที่ครูสามารถนำไปใช้ได้ผลในเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ ประกอบด้วย

1.ใช้การละเล่นพื้นบ้าน ใช้เกมการละเล่นพื้นบ้านมาสอนเด็ก ซึ่งจะสอนเรื่องการเปรียบเทียบ การวัดระยะทาง การบวกลบคูณหาร

2.สอนเทคนิคการอ่านโจทย์เลข เด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้จะอ่านโจทย์เลขไม่ได้ ซึ่งจะอ่านไม่เข้าใจ ไม่รู้ว่าโจทย์ถามอะไร หมายความอย่างไร เมื่ออ่านโจทย์ไม่ได้ก็จะส่งผลถึงการคิดเลขด้วย ซึ่งเราจะใช้วิธีการทางกราฟิกเข้ามาช่วยในการอ่านโจทย์ปัญหา

3.ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เน้นคำถามเชิงเปรียบเทียบและคำถามเชิงเหตุผลแต่ใช้ศิลปะเข้ามาช่วย เราอาจจะสอนเด็กด้วยการปั้นหุ่นยนต์ซึ่งอาจจะมีอุปกรณ์เป็นดินน้ำมันหรือ แป้งโด กระดาษ จากนั้นคุณครูอาจบอกว่า มีแป้งโดกับกระดาษ และถ้านำของสองสิ่งนี้ไปวางที่ประตูแล้วมีลมพัดมา นักเรียนคิดว่าระหว่างแป้งโดกับกระดาษอะไรจะปลิวไป นักเรียนที่มีปัญหาด้านความบกพร่องทางการเรียนรู้จะเปรียบเทียบไม่ได้ว่า อะไรหนักหรือเบากว่ากัน ลักษณะการสอนเช่นนี้เป็นการสอนเปรียบเทียบและต้องสอนต่อว่าถ้ากระดาษปลิว เพราะอะไร

4.การอ่านการ์ตูน เราต้องทำเป็นเรื่องราวสอนเกี่ยวกับตัวเลข บวก ลบ คูณหารเด็กจะสนุกกับภาพการ์ตูนและจะเรียนรู้ได้มากขึ้น

5.การเล่นบทบาทสมมติ อาจจะให้เด็กนักเรียนในชั้นออกมานับหนังสือ 20 เล่ม จากนั้นให้เพื่อนออกมาหน้าชั้นเรียนอีก 5 คน นักเรียนคิดว่าจะได้คนละกี่เล่ม จากนั้นเด็กก็จะเริ่มแจกจนหนังสือหมด แล้วเด็กจะได้คำตอบเป็นการสอนเรื่องการหาร

6.เกม ซึ่งจะใช้เกมเศรษฐีและการทอยลูกเต๋า เป็นการสอนเรื่องตัวเลข เด็กจะรู้ว่าแต้มไหนมากกว่าแต้มไหนน้อยกว่า

การ สอนวิชาการเพียงอย่างเดียวจะใช้ไม่ได้ผลกับเด็กที่มีความบกพร่องทางการเรียนรู้ เด็กจะชอบความสนุกต้องออกแบบการเรียนการสอนที่เน้นทั้งการเรียนและการเล่น ให้อยู่ด้วยกัน การเรียนลักษณะนี้เป็นรูปธรรมชัดเจน เด็กจะเข้าใจง่ายเรียนรู้ได้เร็ว

10 มาตรการในการพัฒนาการเรียนรู้คณิตศาสตร์

คณะอนุกรรมการพัฒนาคุณภาพวิชาการกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของกระทรวงศึกษาธิการ ได้กำหนดมาตรการ 10 ประการเพื่อพัฒนาคุณภาพการเรียนรู้กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เพื่อให้ครูผู้ปกครองและผู้เกี่ยวข้องมีส่วนร่วมในการจัดการเรียนรู้และสภาพ แวดล้อมของการเรียนรู้ให้เหมาะสม เป็นการพัฒนาความรู้และทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ให้แก่นักเรียนทั้งใน ห้องเรียนและในชีวิตประจำวัน ซึ่งประกอบด้วย

1. สูตรคูณหมั่นฝึกให้คล่อง
2. ต้องคิดเลขในใจ
3. อธิบายขั้นตอนและวิธีการคิดได้
4. ใส่ใจทำแบบฝึกหัด
5. รวบรวมและจัดข้อมูลให้เป็นระบบ
6. หมั่นทบทวนความรู้เดิม
7. เสริมความรู้ด้วยวิธีการที่หลากหลาย
8. สร้างโจทย์และทายปัญหากับเพื่อน
9. ย้ำเตือนใจหมั่นให้เหตุผล และ
10 ฝึกฝนการแก้ปัญหาด้วยแนวคิดใหม่

มาตรการ 10 ประการเป็นสิ่งที่คณะอนุกรรมการพัฒนาคุณภาพวิชามีเจตคติคติที่ดีต่อคณิตศาสตร์ การที่จะบรรลุวัตถุประสงค์นี้ได้ต้องอาศัยครู ผู้ปกครองและผู้บริหารสถานศึกษาร่วมมือร่วมแรงช่วยกันจัดสภาพการเรียนรู้ที่ เหมาะสมเพื่อให้นักเรียนไม่เกลียดคณิตศาสตร์ หากปูพื้นฐานคณิตศาสตร์ให้ถูกทางแล้วนักเรียนย่อมเรียนรู้ด้วยความสนุก

จิตวิทยาการเรียนรู้กลุ่มพุทธินิยม (Cognitivism)

จิตวิทยาการเรียนรู้กลุ่มพุทธินิยม (Cognitivism)

กลุ่ม พุทธินิยม หรือกลุ่มความรู้ความเข้าใจ หรือกลุ่มที่เน้นกระบวนการทางปัญญาหรือความคิด นักคิดกลุ่มนี้เชื่อว่า การเรียนรู้เป็นกระบวนการทางความคิดที่เกิดจากการสะสมข้อมูล การสร้างความหมาย และความสัมพันธ์ของข้อมูล และการดึงข้อมูลออกมาใช้ในการกระทำและการแก้ปัญหาต่าง ๆ การเรียนรู้เป็นกระบวนการทางสติปัญญาของมนุษย์ในการที่จะสร้างความรู้ความ เข้าใจให้แก่ตนเอง
ทฤษฎีในกลุ่มนี้ทีสำคัญ ๆ มี 5 ทฤษฎี คือ
1. ทฤษฎีเกสตอลท์(Gestalt’s Theory)
2. ทฤษฎีสนาม (Field Theory)
3. ทฤษฎีเครื่องหมาย (Sign Theory)
4. ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญา (Intellectual Development Theory)
5. ทฤษฎีการเรียนรู้อย่างมีความหมาย (A Theory of Meaningful Verbal Learning)

ทฤษฎีเกสตอลท์ (Gestalt’s Theory)

กลุ่มเกสตอลท์ เกิดจากนักจิตวิทยาชาวเยอรมัน โดยมีผู้นำกลุ่มคือ แมกซ์ เวอร์ไธเมอร์ (Max Wertheimer) และลูกศิษย์ 2 คนได้แก่ วู้ลฟ์แกงค์ โคห์เลอร์ (Wolfgang Kohler) เคิร์ท คอฟฟ์กา (Kurt Koffka) และเคิร์ท เลวิน (Kurt Lawin) ทั้งกลุ่มมีแนวความคิดว่า การเรียนรู้เกิดจากการจัดประสบการณ์ทั้งหลายที่อยู่กระจัดกระจายให้มารวมกัน เสียก่อน แล้วจึงพิจารณาส่วนย่อยต่อไป เพราะเกสตอลท์ (Getstalt) หมายถึง รูป แบบแผน (Form or Pattern) ต่อมาได้แปลว่า ส่วนรวม (Whole) เพื่อให้สอดคล้องกับแนวคิดของกลุ่มที่ว่า “ส่วนรวมมีค่ามากกว่าผลบวกของส่วนย่อย” (The whole is greater than the sum of the parts)

ก. ทฤษฎีการเรียนรู้

1) การเรียนรู้เป็นกระบวนการทางความคิดซึ่งเป็นกระบวนการภายในตัวของมนุษย์

2) บุคคลจะเรียนรู้จากสิ่งเร้าที่เป็นส่วนรวมได้ดีกว่าส่วนย่อย

3) การเรียนรู้เกิดขึ้นได้ 2 ลักษณะ คือ

3.1) การรับรู้ (Perception) การ รับรู้เป็นกระบวนการที่บุคคลใช้ประสาทสัมผัสรับสิ่งเร้าแล้วถ่ายโยงเข้าสู่ สมองเพื่อผ่านเข้าสู่กระบวนการคิด สมองหรือจิตจะใช้ประสบการณ์เดิมตีความหมายของสิ่งเร้าและแสดงปฏิกิริยาตอบ สนองออกไปตามที่สมอง/จิต ตีความหมาย

3.2) การหยั่งเห็น (insight) เป็น การค้นพบหรือการเกิดความเข้าใจในช่องทางแก้ปัญหาอย่างฉับพลันทันที อันเนื่องจากผลการพิจารณาปัญหาโดยส่วนรวม และการใช้กระบวนการทางความคิดและสติปัญญาของบุคคลนั้น

4) กฎการจัดระเบียบการรับรู้ (perception) เป็นการแปลความหมายจากการสัมผัสด้วยอวัยวะสัมผัสทั้ง 5 ส่วน คือ หู ตา จมูก ลิ้น และผิวหนัง การรับรู้ทางสายตาจะประมาณร้อยละ 75 ของการรับรู้ทั้งหมด ดังนั้น กลุ่มทฤษฎีเกสตัลท์จึงจัดระเบียบการรับรู้โดยการแบ่งเป็น 7 กฎ ดังนี้

4.1) กฎการรับรู้ส่วนรวมและส่วนย่อย (Law of Pragnanz) ประสบการณ์ เดิมมีอิทธิพลต่อการรับรู้ของบุคคล การรับรู้ของบุคคลต่อสิ่งเร้าเดียวกันอาจแตกต่างกันได้ เพราะการใช้ประสบการณ์เดิมมารับรู้ส่วนรวมและส่วนย่อยต่างกัน

4.2) กฎแห่งความคล้ายคลึง (Law of Similarity) สิ่งเร้าใดที่มีลักษณะเหมือนกัน หรือคล้ายคลึงกัน บุคคลมักรับรู้เป็นพวกเดียวกัน

4.3) กฎแห่งความใกล้เคียง/ใกล้ชิด (Law of Proximity) สิ่งเร้าที่มีความใกล้เคียงกันบุคคลมักรับรู้เป็นพวกเดียวกัน และถ้าทุกสิ่งทุกอย่างเท่ากัน สิ่งที่อยู่ใกล้ชิดกันจะถูกรับรู้ด้วยกัน

4.4) กฎแห่งความสมบูรณ์ (Law of Closure) แม้สิ่งเร้าที่บุคคลรับรู้จะยังไม่สมบูรณ์ แต่บุคคลสามารถรับรู้ในลักษณะสมบูรณ์ได้ ถ้าบุคคลมีประสบการณ์เดิมในสิ่งเร้านั้น

4.5) กฎแห่งความต่อเนื่อง สิ่งเร้าที่มีความต่อเนื่องกัน หรือมีทิศทางไปในแนวเดียวกัน บุคคลมักรับรู้เป็นพวกเดียวกัน หรือเรื่องเดียวกัน หรือเป็นเหตุเป็นผลกัน

4.6) บุคคลมักมีความคงที่ในความหมายของสิ่งที่รับรู้ตามความเป็นจริง กล่าวคือ เมื่อบุคคลรับรู้สิ่งเร้าในภาพรวมแล้วจะมีความคงที่ในการรับรู้สิ่งนั้นใน ลักษณะเป็นภาพรวมดังกล่าว ถึงแม้ว่าสิ่งเร้านั้นจะได้เปลี่ยนแปรไปเมื่อรับรู้ในแง่มุมอื่น เช่น เมื่อเห็นปากขวดกลมเรามักจะเห็นว่ามันกลมเสมอ ถึงแม้ว่าในการมองบางมุม ภาพที่เห็นจะเป็นรูปวงรีก็ตาม

4.7) การรับรู้ของบุคคลอาจผิดพลาด บิดเบือน ไปจากความเป็นจริงได้ เนื่องมาจากลักษณะของการจัดกลุ่มสิ่งเร้าที่ทำให้เกิดการลวงตา

5) การเรียนรู้แบบหยั่งเห็น (insight) ของโคห์เลอร์ (Wolfgang Kohler) โดยได้ทำการทดลองขังลิงชิมแพนซีที่ชื่อ “สุลต่าน”ไว้ในกรงพร้อมท่อนไม้ขนาดสั้นยาวต่าง ๆ กัน นอกกรงได้แขวนกล้วยไว้หวีหนึ่งไกลเกินกว่าที่ลิงจะเอื้อมหยิบได้ ซึ่งลิงก็ได้ใช้วิธีการต่าง ๆ เพื่อให้ได้กินกล้วย เช่น เอื้อมมือหยิบ ส่งเสียงร้อง เขย่ากรง ปีนป่าย จนกระทั่งการหยิบไม้มาเล่น ในที่สุดลิงก็สามารถใช้ไม้สอยกล้วยมากินได้ สรุปได้ ว่า ลิงมีการเรียนรู้แบบหยั่งเห็น เป็นการค้นพบหรือเกิดความเข้าใจในช่องทางแก้ปัญหาอย่างฉับพลันทันที อันเนื่องมาจากผลการพิจารณาปัญหาโดยส่วนรวมและการใช้กระบวนการทางความคิดและ สติปัญญาของอบุคคลนั้นในการเชื่อมโยงประสบการณ์เดิมกับปัญหาหรือสถานการณ์ ที่เผชิญ ดังนั้น ปัจจัยสำคัญของการเรียนรู้แบบหยั่งเห็นก็คือประสบการณ์ หากมีประสบการณ์สะสมไว้มาก การเรียนรู้แบบหยั่งเห็นก็จะเกิดขั้นได้มากเช่นกัน

ข. หลักการจัดการศึกษา / การสอน

1) กระบวน การคิดเป็นกระบวนการสำคัญในการเรียนรู้ การส่งเสริมกระบวนการคิดจึงเป็นสิ่งจำเป็นและเป็นสิ่งสำคัญในการช่วยให้ผู้ เรียนเกิดการเรียนรู้

2) การสอนโดยการเสนอภาพรวมให้ผู้เรียนเห็นและเข้าใจก่อนการเสนอส่วนย่อยจะช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ได้ดี

3) การส่งเสริมให้ผู้เรียนมีประสบการณ์มาก ได้รับประสบการณ์ที่หลากหลายจะช่วยให้ผู้เรียนสามารถคิดแก้ปัญหาและคิดริเริ่มได้มากขึ้น

4) การจัดประสบการณ์ใหม่ ให้มีความสัมพันธ์กับประสบการณ์เดิมของผู้เรียนจะช่วยให้ผู้เรียนสามารถเรียนรู้ได้ดีและง่ายขึ้น

5) การจัดระเบียบสิ่งเร้าที่ต้องการให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ได้ดี คือ การจัดกลุ่มสิ่งเร้าที่เหมือนกันหรือคล้ายคลึงกันไว้เป็นกลุ่มเดียวกัน

6) ในการสอน ครูไม่จำเป็นต้องเสียเวลาเสนอเนื้อหาทั้งหมดที่สมบูรณ์ ครูสามรรถเสนอเนื้อหาแต่เพียงบางส่วนได้ หากผู้เรียนสามารถใช้ประสบการณ์เดิมมาเติมให้สมบูรณ์

7) การเสนอบทเรียนหรือเนื้อหาควรจัดให้มีความต่อเนื่องกันจะช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ได้ดี และรวดเร็ว

8) การส่งเสริมให้ผู้เรียนได้รับประสบการณ์ที่หลากหลาย จะช่วยให้นักเรียนเกิดการเรียนรู้แบบหยั่งเห็นได้มากขึ้น

ทฤษฎีสนาม (Field Theory)

จากทฤษฎีเกสตอลท์ได้จัดตั้งกฎของการจัดระบบอย่างสมบูรณ์แบบเกสตอลท์ คือ กฎ ของ Figure – Ground ซึ่งเป็นทฤษฎีสนามของการรับรู้ โดย เคิร์ท เลวิน (Kurt Lewin) เป็นผู้ริเริ่มทฤษฎี

“Figure” เป็นสิ่งที่เราเห็นหรือรับรู้ เป็นศูนย์กลางของโฟกัส

“ground” คือ พื้นอยู่ข้างหลังของรูป ที่เราเห็นหรือรับรู้

กฎของ (Figure - Ground) กล่าวว่า สนามของการรับรู้ (Perceptueld) แบ่งเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนที่อยู่ข้างหน้า (Foreground) และส่วนที่อยู่ข้างหลัง (Background) ในการมองสิ่งแวดล้อม ถ้ารับรู้อย่างหนึ่งเป็นรูปอีกอย่างหนึ่งก็จะเป็น ground “Figure” และ (Ground) จะผลัดเปลี่ยนกัน ตัวอย่างเช่น การมองภาพรูป “หน้าคนแก่” และ “หน้าหญิงสาว”

ก. ทฤษฎีการเรียนรู้

1) พฤติกรรมของคนมีพลังและทิศทาง สิ่งใดที่อยู่ในความสนใจและความต้องการของตนจะมีพลังเป็น + สิ่งที่นอกเหลือจากความสนใจ จะมีพลังเป็น - ในขณะใดขณะหนึ่งคนทุกคนจะมี “โลก” หรือ ”อวกาศชีวิต” (Life space) ของตน ซึ่งจะประกอบไปด้วย สิ่งแวดล้อมทางกายภาพ (physical environment) ซึ่ง สถานที่ สิ่งแวดล้อมอื่น ๆ และสิ่งแวดล้อมทางจิตวิทยา (phychological environment) ซึ่งได้แก่ แรงขับ (drive) แรงจูงใจ (motivation) เป้าหมายหรือจุดหมายปลายทาง (goal) รวมทั้งความสนใจ (interest)

2) การเรียนรู้เกิดขึ้นเมื่อบุคคลมีแรงจูงใจหรือแรงขับที่จะกระทำให้ไปสู่จุดหมายปลายทางที่ตนต้องการ

ข. หลักการจัดการศึกษา / การสอน

1) การช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ จำเป็นต้องอาศัยการทำความเข้าใจ “โลก” ของผู้เรียนว่า ผู้เรียนมีจุดมุ่งหมายและความต้องการอะไร อะไรเป็นพลัง + และอะไรเป็นพลัง - ของเขา และพยายามจัดสิ่งแวดล้อมที่เหมาะสมที่จะช่วยให้ผู้เรียนไปสู่จุดหมาย

2) การจัดการเรียนรู้ให้เข้าไปอยู่ใน “โลก” ของผู้เรียน โดยการจัดสิ่งแวดล้อมทั้งทางกายภาพและจิตวิทยาให้ดึงดูดความสนใจและสนองความต้องการของผู้เรียน เป็นสิ่งจำเป็นในการจัดการเรียนการสอน

3) การสร้างแรงจูงใจ และ/หรือแรงขับที่จะทำให้ผู้เรียนไปสู่ทิศทางหรือจุดหมายที่ต้องการ เป็นสิ่งที่จำเป็นในการช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้

ทฤษฎีเครื่องหมาย (Sign Theory)

ทอลแมน (Tolman) กล่าวว่า “การเรียนรู้เกิดจากการใช้เครื่องหมาย เป็นตัวชี้ทางให้แสดงพฤติกรรมไปสู่จุดหมายปลายทาง” ทฤษฎีของทอลแมนสรุปได้ดังนี้

ก. ทฤษฎีการเรียนรู้

1) ในการเรียนรู้ต่าง ๆ ผู้เรียนมีการคาดหมายรางวัล (reward expentancy) หากรางวัลที่คาดว่าจะได้รับไม่ตรงตามความพอใจและความต้องการ ผู้เรียนจะพยายามแสวงหารางวัลหรือสิ่งที่ต้องการต่อไป

2) ขณะที่ผู้เรียนพยายามจะไปให้ถึงจุดหมายปลายทางที่ต้องการ ผู้เรียนจะเกิดการเรียนรู้เครื่องหมาย สัญลักษณ์ สถานที่ (place learning) และสิ่งอื่น ๆ ที่เป็นเครื่องชี้ทางตามไปด้วย

3) ผู้ เรียนมีความสามารถที่จะปรับการเรียนรู้ของตนไปตามสถานการณ์ที่เปลี่ยนไป จะไม่กระทำซ้ำ ๆ ในทางที่ไม่สามารถสนองความต้องการหรือวัตถุประสงค์ของตน

4) การเรียนรู้ที่เกิดขึ้นในบุคคลใดบุคคลหนึ่งนั้น บางครั้งจะไม่แสดงออกในทันที อาจจะแฝงอยู่ในตัวผู้เรียนไปก่อนจนกว่าจะถึงเวลาที่เหมาะสม หรือจำเป็นจึงจะแสดงออก (latent learning)

ข. หลักการจัดการศึกษา / การสอน

1) การสร้างแรงขับ และ/หรือแรงจูงใจให้เกิดขึ้นกับผู้เรียนจะกระตุ้นให้ผู้เรียนพยายามไปให้ถึงจุดมุ่งหมายที่ต้องการ

2) ในการสอนให้ผู้เรียนบรรลุจุดมุ่งหมายใด ๆ นั้น ครูควรให้เครื่องหมาย สัญลักษณ์ หรือสิ่งอื่น ๆ ที่เป็นเครื่องชี้ทางควบคู่ไปด้วย

3) การปรับเปลี่ยนสถานการณ์การเรียนรู้ สามารถช่วยให้ผู้เรียนปรับเปลี่ยนพฤติกรรมของตนได้

4) การ เรียนรู้บางอย่างอาจยังไม่สามารถแสดงออกได้ในทันที การใช้วิธีการทดสอบหลาย ๆ วิธี ทดสอบบ่อย ๆ หรือติดตามผลระยะยาว จึงเป็นสิ่งจำเป็นในการวัดและประเมินผลการเรียนรู้ในลักษณะนี้

ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญา (Intellectual Development Theory)

1. ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของเพียเจต์

เพียเจต์ (Piaget) ได้ศึกษาเกี่ยวกับพัฒนาการทางด้านความคิดของเด็กว่ามีขั้นตอนหรือกระบวนการ อย่างไร ทฤษฎของเพียเจต์ตั้งอยู่บนรากฐานของทั้งองค์ประกอบที่เป็นพันธุกรรม และสิ่งแวดล้อม เขาอธิบายว่า การเรียนรู้ของเด็กเป็นไปตามพัฒนาการทางสติปัญญา ซึ่งจะมีพัฒนาการไปตามวัยต่าง ๆ เป็นลำดับขั้น พัฒนาการเป็นสิ่งที่เป็นไปตามธรรมชาติ ไม่ควรที่จะเร่งเด็กให้ข้ามจากพัฒนาการขั้นหนึ่งไปสู่อีกขั้นหนึ่ง เพราะจะทำให้เกิดผลเสียแก่เด็ก แต่การจัดประสบการณ์ส่งเสริมพัฒนาการของเด็กในช่วงที่เด็กกำลังจะพัฒนาไปสู่ ขั้นที่สูงกว่า สามารถช่วยให้เด็กพัฒนาไปอย่างรวดเร็ว อย่างไรก็ตาม เพียเจต์เน้นความสำคัญของการเข้าใจธรรมชาติและพัฒนาการของเด็กมากกว่าการ กระตุ้นเด็กให้มีพัฒนาการเร็วขึ้น เพียเจต์ สรุปว่า พัฒนาการของเด็กสามารถอธิบายได้โดยลำดับระยะพัฒนาทางชีววิทยาที่คงที่ แสดงให้ปรากฏโดยปฏิสัมพันธ์ของเด็กกับสิ่งแวดล้อม

ก. ทฤษฎีการเรียนรู้

ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของเพียเจต์ มีสาระสรุปได้ดังนี้ (Lall and Lall, 1983:45-54)

1) พัฒนาการทางสติปัญญาของบุคคลเป็นไปตามวัยต่าง ๆ เป็นลำดับขั้น ดังนี้

1.1) ขั้นรับรู้ด้วยประสาทสัมผัส (Sensorimotor Period) เป็น ขั้นพัฒนาการในช่วงอายุ 0-2 ปี ความคิดของเด็กวัยนี้ขึ้นกับการรับรู้และการกระทำ เด็กยึดตัวเองเป็นศูนย์กลาง และยังไม่สามารถเข้าใจความคิดเห็นของผู้อื่น

1.2) ขั้นก่อนปฏิบัติการคิด (Preoperational Period) เป็น ขั้นพัฒนาการในช่วงอายุ 2-7 ปี ความคิดของเด็กวัยนี้ยังขึ้นอยู่กับการรับรู้เป็นส่วนใหญ่ ยังไม่สามารถที่จะใช้เหตุผลอย่างลึกซึ้ง แต่สามารถเรียนรู้และใช้สัญลักษณ์ได้ การใช้ภาษา แบ่งเป็นขั้นย่อย ๆ 2 ขั้น คือ

2.1.1) ขั้นก่อนเกิดความคิดรวบยอด (Pre-Conceptual Intellectual Period) เป็นขั้นพัฒนาการในช่วงอายุ 2-4 ปี

2.1.2) ขั้นการคิดด้วยความเข้าใจของตนเอง (Intuitive Thinking Period) เป็นพัฒนาการในช่วงอายุ 4-7 ปี

1.3) ขั้นการคิดแบบรูปธรรม (Concrete Operational Period) เป็น ขั้นพัฒนาการในช่วงอายุ 7-11 ปี เป็นขั้นที่การคิดของเด็กไม่ขึ้นกับการรับรู้จากรูปร่างเท่านั้น เด็กสามารถสร้างภาพในใจ และสามารถคิดย้อนกลับได้ และมีความเข้าใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของตัวเลขและสิ่งต่าง ๆ ได้มากขึ้น

1.4) ขั้นการคิดแบบนามธรรม (Formal Operational Period) เป็นขั้นพัฒนาการในช่วงอายุ 11-15 ปี เด็กสามารถคิดสิ่งที่เป็นนามธรรมได้ และสามารถคิดตั้งสมมติฐานและใช้กระบวนการทางวิทยาศาสตร์ได้

2) ภาษาและกระบวนการคิดของเด็กแตกต่างจากผู้ใหญ่

3) กระบวนการทางสติปัญญามีลักษณะดังนี้

3.1) การซึมซับหรือการดูดซึม (assimilation) เป็นกระบวนการทางสมองในการรับประสบการณ์ เรื่องราว และข้อมูลต่าง ๆ เข้ามาสะสมเก็บไว้เพื่อใช้ประโยชน์ต่อไป

3.2) การปรับและจัดระบบ (accommodation) คือ กระบวนการทางสมองในการปรับประสบการณ์เดิมและประสบการณ์ใหม่ให้เข้ากันเป็น ระบบหรือเครือข่ายทางปัญญาที่ตนสามารถเข้าใจได้ เกิดเป็นโครงสร้างทางปัญญาใหม่ขึ้น

3.3) การเกิดความสมดุล (equilibration) เป็นกระบวนการที่เกิดขึ้นจากขั้นของการปรับ หากการปรับเป็นไปอย่างผสมผสานกลมกลืนก็จะก่อให้เกิดสภาพที่มีความสมดุลขึ้น หากบุคคลไม่สามารถปรับประสบการณ์ใหม่และประสบการณ์เดิมให้เข้ากันได้ ก็จะเกิดภาวะความไม่สมดุลขึ้น ซึ่งจะก่อนให้เกิดความขัดแย้งทางปัญญาขึ้นในตัวบุคคล

ข. หลักการจัดการศึกษา / การสอน

1) ในการพัฒนาเด็ก ควรคำนึงถึงพัฒนาการทางสติปัญญาของเด็ก และจัดประสบการณ์ให้เด็กอย่างเหมาะสมกับพัฒนาการนั้น ไม่ควรบังคับให้เด็กเรียนในสิ่งที่ยังไม่พร้อม หรือยากเกินพัฒนาการตามวัยของตน เพราะจะก่อให้เกิดเจตคติที่ไม่ดีได้

1.1) การจัดสภาพแวดล้อมที่เอื้อให้เด็กเกิดการเรียนรู้ตามวัยของตนสามารถช่วยให้เด้กพัฒนาไปสู่พัฒนาการขั้นสูงขึ้นได้

1.2) เด็กแต่ละคนมีพัฒนาการแตกต่างกัน ถึงแม้อายุจะเท่ากัน แต่ระดับพัฒนาการอาจไม่เท่ากัน ดังนั้นจึงไม่ควรเปรียบเทียบเด็ก ควรให้เด็กมีอิสระที่จะเรียนรู้และพัฒนาความสามารถของเขาไปตามระดับพัฒนาการ ของเขา

1.3) ในการสอนควรใช้สิ่งที่เป็นรูปธรรม เพื่อช่วยให้เด็กเข้าใจลักษณะต่าง ๆ ได้ดีขึ้น แม้ในพัฒนาการช่วงการคิดแบบรูปธรรม เด็กจะสามารถสร้างภาพในใจได้ แต่การสอนที่ใช้อุปกรณ์ที่เป็นรูปธรรมจะช่วยให้เด็กเข้าใจแจ่มชัดขึ้น

2) การให้ความสนใจและสังเกตเด็กอย่างใกล้ชิด จะช่วยให้ได้ทราบลักษณะเฉพาะตัวของเด็ก

3) ในการสอนเด็กเล็ก ๆ เด็กจะรับรู้ส่วนรวม (Whole) ได้ดีกว่าส่วนย่อย (part) ดังนั้น ครูจึงควรสอนภาพรวมก่อนแล้วจึงแยกสอนทีละส่วน

4) ในการสอนสิ่งใดให้กับเด็ก ควรเริ่มจากสิ่งที่เด็กคุ้นเคยหรือมีประสบการณ์มาก่อนแล้วจึงเสนอสิ่งใหม่ ที่มีความสัมพันธ์กับสิ่งเก่า การทำเช่นนี้จะช่วยให้กระบวนการซึมซับและจัดระบบความรู้ของเด็กเป็นไปด้วยดี

5) การ เปิดโอกาสให้เด็กได้รับประสบการณ์ และมีปฏิสัมพันธ์กับสิ่งแวดล้อมมาก ๆ ช่วยให้เด็กดูดซึมข้อมูลเข้าสู่โครงสร้างทางสติปัญญาของเด็กอันเป็นการส่ง เสริมพัฒนาการทางสติปัญญาของเด็ก



2. ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของบรุนเนอร์

บรุนเนอร์ (Bruner) เป็นนักจิตวิทยาที่สนใจและศึกษาเรื่องของพัฒนาการทางสติปัญญาต่อเนื่องจาก เพียเจต์ บรุนเนอร์เชื่อว่ามนุษย์เลือกที่จะรับรู้สิ่งที่ตนเองสนใจและการเรียนรู้ เกิดจากกระบวนการค้นพบด้วยตัวเอง (discovery learning) แนวคิดที่สำคัญ ๆ ของบรุนเนอร์ มีดังนี้ (Brunner,1963:1-54)



ก. ทฤษฎีการเรียนรู้

1) การจัดโครงสร้างของความรู้ให้มีความสัมพันธ์ และสอดคล้องกับพัฒนาการทางสติปัญญาของเด็ก มีผลต่อการเรียนรู้ของเด็ก

2) การจัดหลักสูตรและการเรียนการสอนให้เหมาะสมกับระดับความพร้อมของผู้เรียน และสอดคล้องกับพัฒนาการทางสติปัญญาของผู้เรียนจะช่วยให้การเรียนรู้เกิด ประสิทธิภาพ

3) การคิดแบบหยั่งรู้ (intuition) เป็นการคิดหาเหตุผลอย่างอิสระที่สามารถช่วยพัฒนาความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ได้

4) แรงจูงใจภายในเป็นปัจจัยสำคัญที่จะช่วยให้ผู้เรียนประสบผลสำเร็จในการเรียนรู้

5) ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของมนุษย์แบ่งได้เป็น 3 ขั้นใหญ่ ๆ คือ

5.1) ขั้นการเรียนรู้จากการกระทำ (Enactive Stage) คือ ขั้นของการเรียนรู้จากการใช้ประสาทสัมผัสรับรู้สิ่งต่าง ๆ การลงมือกระทำช่วยให้เด็กเกิดการเรียนรู้ดี การเรียนรู้เกิดจากการกระทำ

5.2) ขั้นการเรียนรู้จากความคิด (Iconic Stage) เป็นขั้นที่เด็กสามารถสร้างมโนภาพในใจได้ และสามารถเรียนรู้จากภาพแทนของจริงได้

5.3) ขั้นการเรียนรู้สัญลักษณ์และนามธรรม (Symbolic Stage) เป็นขั้นการเรียนรู้สิ่งที่ซับซ้อนและเป็นนามธรรมได้

6) การเรียนรู้เกิดขึ้นได้จากการที่คนเราสามารถสร้างความคิดรวบยอด หรือสามารถจัดประเภทของสิ่งต่าง ๆ ได้อย่างเหมาะสม

7) การเรียนรู้ที่ได้ผลดีที่สุด คือ การให้ผู้เรียนค้นพบการเรียนรู้ด้วยตนเอง (discovery learning)



ข. การจัดการศึกษา / การสอน

1) กระบวนการค้นพบการเรียนรู้ด้วยตนเอง เป็นกระบวนการเรียนรู้ที่ดีมีความหมายสำหรับผู้เรียน

2) การวิเคราะห์และจัดโครงสร้างเนื้อหาสาระการเรียนรู้ให้เหมาะสมเป็นสิ่งที่จำเป็นที่ต้องทำก่อนการสอน

3) การจัดหลักสูตรแบบเกลียว (Spiral Curriculum) ช่วย ให้สามารถสอนเนื้อหาหรือความคิดรวบยอดเดียวกันแก่ผู้เรียนทุกวัยได้ โดยต้องจัดเนื้อหาความคิดรวบยอดและวิธีสอนให้เหมาะสมกับขั้นพัฒนาการของผู้ เรียน

4) ในการเรียนการสอนควรส่งเสริมให้ผู้เรียนได้คิดอย่างอิสระให้มากเพื่อช่วยส่งเสริมความคิดสร้างสรรค์ของผู้เรียน

5) การสร้างแรงจูงใจภายในให้เกิดขึ้นกับผู้เรียน เป็นสิ่งจำเป็นในการจัดประสบการณ์การเรียนรู้แก่ผู้เรียน

6) การจัดกระบวนการเรียนรู้ให้เหมาะสมกับขั้นพัฒนาการทางสติปัญญาของผู้เรียน จะช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ได้ดี

7) การสอนความคิดรวบยอดให้แก่ผู้เรียนเป็นสิ่งจำเป็น

8) การจัดประสบการณ์ให้ผู้เรียนได้ค้นพบการเรียนรู้ด้วยตนเอง สามารถช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ได้ดี

3. ทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของกาเย่

แม้ กาเย่ จะมิใช่นักจิตวิทยากลุ่มพุทธินิยมโดยตรง แต่ผลงานของเขาส่วนใหญ่ได้เน้นให้เห็นถึงความเชื่อและแนวคิดของกลุ่มพุทธิ นิยม กาเย่ใช้โมเดลการเรียนรู้สะสมเป็นตัวอธิบายความเจริญทางสติปัญญาและพัฒนาการ ของความสามารถใหม่ ๆ ที่มีผลมาจากการเรียนรู้

จาก ทัศนะของกาเย่ เด็กพัฒนาเนื่องจากว่า เขาได้เรียนรู้กฎเกณฑ์ที่ซับซ้อนขึ้นเรื่อย ๆ พฤติกรรมที่อาศัยกฎที่ซับซ้อนเกิดขึ้นเพราะเด็กได้มีกฎง่าย ๆ ที่จำเป็นมาก่อน ในระยะเริ่มแรกเด็กจะได้รับนิสัยง่าย ๆ ที่ช่วยทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้น เพื่อให้ได้มาซึ่งกลไกพื้นฐาน และการตอบสนองทางคำพูด ต่อมาก็จะเป็นการจำแนกความคิดรวบยอดเป็นกฎง่าย ๆ และในที่สุดก็จะเป็นกฎที่ซับซ้อน

การ พัฒนาทางสติปัญญา จึงได้แก่การสร้างความสามารถในการเรียนรู้สิ่งที่ซับซ้อนเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ระยะหรือขั้นของการพัฒนาการดูเหมือนว่าจะสัมพันธ์กับอายุของเด็ก เนื่องจากการเรียนรู้ต้องใช้เวลา มีข้อจำกัดทางสังคมเป็นตัวกำหนด หรือกฎเกณฑ์เกี่ยวกับอัตราความเร็วในการให้ความรู้และข่าวสารแก่เด็ก สำหรับกาเย่แล้ว ความสามารถในการเรียนรู้อาจต้องรอการฝึกฝนที่เหมาะสม

การถ่ายทอดในแนวตั้งและแนวนอน กาเย่ได้แบ่งวิธีการที่ประสบการณ์เดิมถ่ายโอนผลของมันไปสู่พฤติกรรมในอนาคตเป็น 2 วิธี

1) การถ่ายโอนในแนวนอน ซึ่งได้แก่ ปฏิสัมพันธ์ของเนื้อหาที่เรียนรู้จากสาขาหนึ่งกับวิธีการใหม่ ๆ ที่ใช้กับสาระในสาขาวิชาที่สัมพันธ์กัน ยกตัวอย่างเช่น นักปรัชญาที่คุ้นเคยกับการนำไปสู่ความไม่มีเหตุผล (Reduction to Absurdity) ในลักษณะที่เป็นสื่อในการพิสูจน์ข้อความต่าง ๆ (ว่าไม่ถูกต้อง) สามารถที่จะนำความรู้นี้ไปใช้กับการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ที่เขาเผชิญได้

2) การถ่ายโอนในแนวตั้ง ได้แก่ การเรียนความรู้บางอย่างมาก่อนที่มีความจำเป็นต่อการเรียนความรู้อื่นๆ ในสาขาวิชาเดียวกัน ยกตัวอย่างเช่น การจะเรียนการคูณโดยไม่มีความรู้ในเรื่องการบวกมาก่อนจะยากมาก

การจัดลำดับการเรียนรู้ทางการศึกษา ความ คิดของกาเย่ในเรื่องนี้มีแนวปฏิบัติโดยตรงต่อการศึกษาในโรงเรียนหลายประการ การศึกษาในโรงเรียนไม่เพียงแต่จะสามารถทำให้เกิดผลด้านอัตราการพัฒนาสติ ปัญญาเท่านั้น แต่จะต้องแสดงบทบาทที่สร้างอิทธิพลในเรื่องนี้อย่างชัดเจน หมายความว่า เด็ก ๆ จะต้องพัฒนาให้เร็วที่สุดทันทีที่เราสามารถสอนเขาได้

จาก รูปแบบการเรียนรู้สะสมของกาเย่ ความพร้อมในการเรียนของนักเรียนมิได้ขึ้นอยู่กับองค์ประกอบภายในทางชีววิทยา เท่านั้น แต่ขึ้นอยู่กับการจัดให้งานด้านทักษะมีความเหมาะสม และนิสัยที่จำเป็นสำหรับการเรียนทักษะใหม่ ๆ ที่ซับซ้อนมากขึ้นตามที่เราต้องการจะพัฒนา นอกจากนี้ถ้าเด็กไม่สามารถจะเรียนรู้ทักษะเฉพาะบางอย่าง เช่น การอ่าน ก็จะมีการกำหนดให้ครูตรวจสอบขั้นตอนย้อนหลัง เพื่อหาสิ่งที่จำเป็นต้องเรียนรู้มาก่อนการเรียนรู้สิ่งเหล่านั้นแล้วเริ่ม สอนอ่านใหม่

วิธี ของกาเย่อาจจะขัดกับแบบรูปของเพียเจต์ ซึ่งครูมีหน้าที่คอยดูว่าเด็กมีความสามารถทางด้านใดเมื่อไร แล้วเตรียมการให้เด็กได้เรียนรู้และมีประสบการณ์ในเรื่องนั้น ๆ เพื่อให้สอดคล้องกับความสามารถของเขาในแต่ละระยะ และนำไปสู่พัฒนาการที่สูงขึ้นในทางการใช้ความคิดและสติปัญญา ตามนัยของกาเย่ครูสามารถสอนการคงที่ของปริมาณ (Conservation) หรือการอ่าน หรือนามธรรมที่ต้องใช้ความคิด โดยการกำหนดลำดับขั้นตอนของประสบการณ์การเรียนเรียนรู้ที่จะนำไปสู่พัฒนาการ ทางสติปัญญาของเด็ก

กาเย่ มีความเชื่อว่าความสามารถในการเรียนรู้ของมนุษย์มี 5 ด้าน คือ

1) ลักษณะด้านสติปัญญา (Intellectual Skills)

2) กลยุทธ์ทางความคิด (Cognitive Strategies)

3) ข่าวสารจากคำพูด (Verbal Information)

4) ทักษะทางกลไก (Motor Skills)

5) เจตคติ (Attitudes)

กา เย่ มีความเชื่อต่อไปอีกว่า การเรียนรู้และความจำที่เกิดขึ้นในโครงสร้างของสมองมนุษย์เปรียบเทียบได้ หรืออธิบายได้โดยทฤษฎีการจัดระบบข้อมูล (Information-Processing Theories) กล่าวคือ เมื่อเราได้รับข้อมูลจากภายนอก สมองของเราก็จะรับรู้และบันทึกเอาไว้ บางเรื่องก็เก็บเอาไว้ในความทรงจำระยะสั้น ถ้าเรื่องนั้น ๆ มีความสำคัญสมองก็จะบันทึกไว้ในความทรงจำระยะยาว เปรียบเสมือนส่วนที่เก็บบันทึกข้อมูลของเครื่องสมองกล เมื่อถึงคราวที่จะใช้ข้อมูลที่บันทึกไว้นี้ สมองก็จะส่งข้อมูลออกมาในรูปของความจำ หรือการระลึกได้ แล้วนำข้อมูลนั้น ๆ ไปใช้ตามที่ต้องการ

ทฤษฎีการเรียนรู้อย่างมีความหมาย (A Theory of Meaningful Verbal Learning)

เดวิด ออซูเบล เชื่อว่า การเรียนรู้จะมีความหมายแก่ผู้เรียน หากการเรียนรู้นั้นสามารถเชื่อมโยงกับสิ่งใดสิ่งหนึ่งที่รู้มาก่อน (Asubel,1963:77-97)

ทฤษฎีของออซูเบล เน้นความสำคัญของการเรียนรู้อย่างมีความเข้าใจและมีความหมาย การเรียนรู้เกิดขึ้นเมื่อผู้เรียนได้รวม หรือเชื่อมโยง (Subsume) สิ่งที่เรียนรู้ใหม่ซึ่งอาจจะเป็นความคิดรวบยอด Concept หรือความรู้ที่ได้รับใหม่ในโครงสร้างทางสติปัญญา (Cogmitive Sttructure) กับความรู้เดิมที่อยู่ในสมองผู้เรียนอยู่แล้ว ทฤษฎีของออซูเบล บางครั้งเรียกว่า Subsumption Theory

ออซูเบล บ่งว่า ผู้ เรียนเรียนรู้ข้อมูลข่าวสารด้วยการรับหรือการค้นพบและวิธีที่เรียนอาจจะเป็น การเรียนรู้ด้วยความเข้าใจอย่างมีความหมายหรือเป็นการเรียนรู้โดยการท่องจำ โดยไม่คิด ออซูเบล จึงแบ่งการเรียนรู้ออกเป็น 4 ประเภท ดังต่อไปนี้

1. การเรียนรู้โดยการรับอย่างมีความหมาย (Meaningful Reception Leaning)

2. การเรียนรู้โดยการรับแบบท่องจำโดยไม่คิดหรือแบบนกแก้วนกขุนทอง (Rote Reception Leaning)

3. การเรียนรู้โดยการค้นพบแบบท่องจำโดยไม่คิด หรือแบบนกแก้วนกขุนทอง(Meaningful Discovery Leaning)

4. การเรียนรุ้โดยการค้นพบแบบท่องจำโดยไม่คิด หรือแบบนกแก้วนกขุนทอง (Rote Discovery Leaning)

ออซูเบลสนใจที่จะหากฎเกณฑ์และวิธีการสอนการเรียนรู้อย่างมีความหมาย ไม่ว่าจะเป็นโดยการรับหรือค้นพบ เพราะ ออซูเบลคิดว่าการเรียนรู้ในโรงเรียนส่วนมากเป็นการท่องจำโดยไม่คิดจะขอ อธิบายเพียงการเรียนรู้อย่างมีความหมายทั้งโดยการรับและค้นพบ

สรุป

จาก การศึกษาเนวคิดของการเรียนรู้กลุ่มพุทธินิยม พบว่า นักจิตวิทยาในกลุ่มนี้ได้อธิบายการเรียนรู้จากความเชื่อและหลักการอันเดียว กัน คือ มนุษย์เรียนรู้ได้โดยใช้สติปัญญาและเหตุผล แต่การอธิบายในรายละเอียดและจุดเน้นแตกต่างกันไปบ้าง เป็นต้นว่า นักจิตวิทยากลุ่มเกสตัลท์ได้ อธิบายรวม ๆ ว่า การเรียนรู้เกิดจากความเข้าใจ หรือรู้แจ้งแทงตลอดในสิ่งนั้น ๆ และได้กำหนดศัพท์เฉพาะสำหรับกระบวนการการใช้สติปัญญาลักษณะนี้ว่า “การหยั่งรู้” (Insight) ซึ่งเป็นแม่บทของจิตวิทยากลุ่มนี้ เพียเจต์ บรุนเนอร์ และกาเย่ ได้เน้นถึงพัฒนาการการใช้ความคิดและสติปัญญาของเด็ก ซึ่งเป็นประโยชน์ต่อการจัดประสบการณ์การเรียนรู้ให้แก่เด็ก เคิร์ท เลวิน ใช้ทฤษฎีสนาม โดยใช้พลังของความต้องการและความสนใจของผู้เรียนเป็นหลัก ทอลแมน ได้ใช้ทฤษฎีเครื่องหมาย กระตุ้นผู้เรียนและเป็นตัวชี้ทางให้แสดงพฤติกรรมไปสู่จุดประสงค์การเรียนรู้ ส่วนออซูเบล ได้ ให้ความสำคัญกับทฤษฎีการเรียนรู้อย่างมีความหมาย โดยให้มีการนำเข้าสู่บทเรียนก่อนการสอน จะสามารถช่วยให้ผู้เรียนเรียนรู้ได้เร็วยิ่งขึ้น แม้ว่าบุคคลดังกล่าวจะแบ่งระยะของพัฒนาการทางสติปัญญา และลักษณะหรือเงื่อนไขของการเรียนรู้แตกต่างกันไปบ้าง ก็จะต้องยอมรับว่าพวกเขามองสิ่งเดียวกันในแง่มุมต่าง ๆ กัน ซึ่งทำให้แนวความคิดของจิตวิทยาพุทธินิยมลึกซึ้งและสมบูรณ์มากขึ้น

อ้างอิง


ทิศนา แขมมณี, ศาสตร์การสอน. กรุงเทพ : จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2545



สุนีย์ ภู่พันธ์, แนวคิดพื้นฐานการสร้างและการพัฒนาหลักสูตร. เชียงใหม่ : The Knowledge Center, 2546



สุรางค์ โค้วตระกูล, จิตวิทยาการศึกษา. กรุงเทพฯ : จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2548

หลักการสอนคณิตศาสตร์

หลักการสอนคณิตศาสตร์
กระบวนการที่ใช้ในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน มีหลายกระบวนการด้วยกัน
แต่ที่เหมาะสมกับสาระกลุ่มคณิตศาสตร์มีดังนี้
- ให้นักเรียนมีความพร้อมก่อนที่จะสอน
- สอนจากสิ่งที่นักเรียนมีประสบการณ์ หรือได้พบเห็นอยู่เสมอ ได้คิด ได้ทำ ทำให้เด็กเข้าใจ และได้เร็วขึ้น
- สอนให้นักเรียนเข้าใจ และมองเห็นความสัมพันธ์ระหว่างส่วนย่อยกับส่วนย่อย และส่วนย่อย กับส่วนใหญ่ เช่น 4+5 = 5+4 หรือ 18 = 10+8
- สอนจากง่ายไปหายาก
- ให้นักเรียนได้ฝึกหัดทำซ้ำ ๆ จนกว่าจะคล่อง และมีการทบทวนอยู่เสมอ
- ต้องให้เรียนรู้จากรูปธรรมไปหานามธรรม
- ให้กำลังใจ
- คำนึงถึงความแตกต่างระหว่างบุคคล
- จัดกิจกรรมการสอนที่มีการยืดหยุ่นได้ ให้นักเรียนได้มีโอกาสเลือกทำกิจกรรมได้ตามความพอใจ และมีความสนุกสนาน
- การประเมินผลการเรียนการสอนเป็นกระบวนการต่อเนื่อง และเป็นส่วนหนึ่งของการเรียนการสอน
- ฝึกให้นักเรียนรู้จักตรวจสอบคำตอบตนเอง

คณิตศาสตร์แนว WHY ?

พิจารณาโจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ต่อไปนี้

" ในสวนสัตว์มียีราฟและนกยูงรวมกัน 25 ตัว นับขาได้ 68 ขา จงแสดงว่ามียีราฟกี่ตัว ?"

หากถามโจทย์คณิตศาสตร์นี้กับผู้ใหญ่ หลายคนคงเริ่มหยิบกระดาษดินสอ และแทนค่าสมการด้วยตัวแปร x และ y กันอย่างสนุกมือ แต่หากต้องการนำโจทย์นี้ไปถามกับเด็กประถม ผู้ใหญ่หลายคนอาจส่ายหน้าด้วยความคิดที่ว่า ยังเร็วเกินไปสำหรับการสอนเด็กในช่วงชั้นดังกล่าวให้รู้จักกับสมการ หรือตัวแปร x y z เพื่อไขคำตอบจากโจทย์ดังกล่าว

แต่เชื่อหรือไม่ว่า แม้ไม่รู้จักการแทนค่าตัวแปร x y z เด็กในประเทศที่มีอันดับคะแนนคณิตศาสตร์สูงเป็นอันดับหนึ่งของโลกอย่าง เกาหลีใต้ก็สามารถแก้โจทย์ดังกล่าวได้ตั้งแต่ชั้นประถม 3 !!!!

ข้อความข้างต้นไม่ใช่เรื่องเหลือเชื่อ หรือเกิดจากการเรียนที่หนักกว่าปกติของเด็กเกาหลี แต่เกิดจากรูปแบบการเรียนการสอนที่ให้เด็กคิดผ่านการตั้งคำถามของคุณครู ว่าต้องทำอย่างไรจึงจะหาคำตอบของโจทย์ข้อนี้ได้

ผลที่ได้จากการสอนในลักษณะดังกล่าว นอกจากจะทำให้พบวิธีพัฒนาเด็กในด้านคณิตศาสตร์แล้ว ยังเป็นการปลุกศักยภาพในตัวของเด็กที่มีไม่จำกัดออกมาได้เป็นอย่างดี และยังทำให้ค้นพบว่าวิธีในการตอบโจทย์ดังกล่าวยังมีอีกมากมายนับสิบวิธี มีแม้กระทั่งใช้การวาดภาพเพื่อหาคำตอบ ซึ่งเป็นวิธีคิดง่ายๆ สไตล์เด็ก ป.3 นั่นเอง
เมื่อห้องเรียนเปิดโอกาสให้แสดงความคิดสร้างสรรค์ จึงไม่แปลกที่ความชอบและความถนัดด้านคณิตศาสตร์ของเด็กเกาหลีใต้จะถูกดึงออก มาใช้อย่างต่อเนื่อง และทำให้อันดับในการวัดผลทางด้านคณิตศาสตร์จากโครงการ PISA (Program for International Student Assessment) และโครงการศึกษานานาชาติ Trends in International Mathematics and Science Study หรือ TIMSSของเยาวชนเกาหลีใต้นั้นติดอันดับ 1 ของโลกมายาวนานนับ 10 ปี (สำหรับประเทศไทยอยู่ในอันดับที่ 33 จากทั้งหมด 40 อันดับ)

มร.ปาร์ค มยุง จุน (Park Myung Jun) อดีตคุณครูคณิตศาสตร์ผู้คิดค้นและพัฒนาหลักสูตรการเรียนการสอนคณิตศาสตร์แนว ใหม่ โดย มร.ปาร์คเล่าถึงประสบการณ์ในการสอนอันยาวนานซึ่งเป็นที่มาของหลักสูตร KingMath ที่เขาคิดค้นขึ้นว่า

“เทคนิคการแก้โจทย์คณิตศาสตร์ ก็เหมือนกับการจับปลา ปลาแต่ละชนิดมีวิธีจับมากกว่าหนึ่งวิธี โจทย์คณิตศาสตร์เองก็เช่นกัน อาจกล่าวได้ว่าการกระตุ้นให้เด็กคิด และมีส่วนร่วมในชั้นเรียนเป็นสิ่งสำคัญมาก สำหรับการเรียนคณิตศาสตร์ เพราะเรามีโอกาสค้นพบเทคนิคใหม่ ๆ การคิดใหม่ ๆ ได้มากมาย เพียงแค่ครูให้คำชี้แนะกับเด็กว่าโจทย์รูปแบบนี้ควรจะต้องทำอย่างไร แล้วเด็กจะมีความคิดที่หลากหลายพรั่งหรูออกมา ซึ่งโดยปกติแล้ว หากเด็กทำได้ดี คุณครูควรมีรางวัลให้เด็กด้วย เพื่อเป็นแรงจูงใจให้เด็กชอบคณิตศาสตร์มากยิ่งขึ้น”

จากโจทย์ : ในสวนสัตว์มียีราฟและนกยูงรวมกัน 25 ตัว นับขาได้ 68 ขา จงแสดงว่ามียีราฟกี่ตัว?

วิธีคิดของเด็กประถม 3 : จึงอาจเป็นการวาดภาพนก 25 ตัว ซึ่งเด็กจะพบว่า ขาได้ถูกใช้ไปเพียง 50 ขาเท่านั้น (25 x 2) เหลือขาที่ยังไม่ได้ใช้อีกตั้ง 18 ขา (68 - 50) เด็กก็จะเอาขาที่เหลือนั้นไปใส่ให้กับนกทีละ 2 ขา เพื่อเปลี่ยนให้นกกลายเป็นยีราฟ เมื่อทำไปเรื่อยๆ เด็กก็พบว่ามีสัตว์อยู่ 9 ตัวที่มีขา 4 ข้าง ส่วนอีก 16 ตัวนั้นมีขา 2 ข้าง นั่นคือที่มาของคำตอบว่า มีนกยูง 16 ตัว และมียีราฟ 9 ตัว ในสวนสัตว์แห่งนี้

After School แปลกที่แตกต่าง

จากคำบอกเล่าของ มร.ปาร์ค ยังทำให้ทราบอีกด้วยว่า ค่านิยมด้านการเรียนวิชาต่างๆ ของครอบครัวชาวเกาหลีใต้มีสิ่งที่แตกต่างจากประเทศไทยหลายประการ หนึ่งในนั้นก็คือ การมีโรงเรียนในรูปแบบ After School สำหรับเด็กๆ ซึ่งอาจแตกต่างไปจากโรงเรียนกวดวิชาสไตล์ไทยๆ โดยโรงเรียนแนว After School นั้นเริ่มรับเด็กตั้งแต่ชั้นอนุบาล มีหลายวิชาให้เลือกเรียน ทั้งคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ภาษาเกาหลี ภาษาอังกฤษ ฯลฯ แต่การสอนจะใช้ภาษาที่เข้าใจง่าย และสอนเพื่อสร้างความเข้าใจในวิชานั้นๆ แต่จะไม่เน้นเรื่องเทคนิคการทำคะแนนให้ได้มากๆ เพื่อการสอบเข้า เช่น การตัดตัวเลือกที่ไม่น่าจะเป็นคำตอบของโจทย์ แบบที่โรงเรียนกวดวิชาบางแห่งนิยมฝึกเด็ก

ทั้งนี้ ต้นกำเนิดของโรงเรียนในรูปแบบ After School มาจากปัญหาในระบบการเรียนการสอน ที่ทุกประเทศต่างพบเจอนั่นก็คือ การที่ให้เด็กเก่งและเด็กไม่เก่งเรียนคละกัน

“เด็กอ่อนต้องเรียนร่วมกับเด็กเก่ง ดังนั้น หากคุณครูสอนไว เด็กที่เข้าใจช้าก็จะตามไม่ทัน แต่ถ้าสอนช้า เด็กที่หัวไวก็จะเบื่อ เพราะเรียนไม่สนุก นอกจากนั้น ในการเรียนคณิตศาสตร์ (รวมถึงการเรียนในทุกวิชา) ยังขาดระบบประเมินผลเด็กว่ามีจุดอ่อนในด้านใด ครูและผู้ปกครองอาจทราบแค่เพียงว่าเด็กคนนี้อ่อนคณิตศาสตร์ แต่อ่อนตรงไหน อย่างไร ไม่มีใครทราบ ดังนั้นจึงไม่สามารถแก้ไขปัญหาให้เด็กได้อย่างถูกจุด”

โรงเรียนแนว After School จึงเข้ามารับปัญหานี้ไปแก้ไข โดยการจัดการสอนสำหรับเด็กตามกลุ่มความสามารถ เด็กเก่งได้เรียนเทคนิคแนวคิดใหม่ ๆ เด็กเรียนช้าได้มีเวลาปูพื้นฐานให้แน่น และมีการจัดทำระบบประเมินผลเด็ก หาจุดอ่อนของเด็กเพื่อทำการแก้ไข

“เพราะเด็กๆ มีความสามารถทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน จึงควรมีการประเมินความรู้พื้นฐานทางคณิตศาสตร์ และจัดบทเรียนให้เหมาะสมกับระดับความรู้ เมื่อเริ่มต้นเรียนคณิตศาสตร์อาจเริ่มต้นจากการเรียนทฤษฎี การแก้โจทย์ปัญหาทางคณิตศาสตร์ ฝึกความแม่นยำ และนำมาประเมินความสามารถเพื่อวิเคราะห์จุดอ่อนจุดแข็งของเด็ก” มร.ปาร์คกล่าว

คณิตศาสตร์แนว Why ?

อย่างไรก็ดี ปัญหาที่เกิดขึ้นทั่วโลกเกี่ยวกับการเรียนคณิตศาสตร์ในปัจจุบันยังมีอยู่ อย่างต่อเนื่อง โดยปัญหาหลักที่พบยังคงเป็นเรื่องของจำนวนเด็กๆ ที่ไม่ชอบเรียนวิชาคณิตศาสตร์มีเพิ่มขึ้น ซึ่งปัญหาเหล่านี้ส่งผลกระทบต่อการพัฒนาศาสตร์ต่างๆ ของโลก โดยเฉพาะศาสตร์บางแขนงที่มีวิชาคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐาน เช่น วิศวกรรมศาสตร์ แพทยศาสตร์ วิทยาศาสตร์ การขาดบุคลากรจึงทำให้การต่อยอดความรู้ในสาขาต่างๆ ต้องน้อยลงตามไปด้วย ซึ่งสาเหตุที่ทำให้เด็กรุ่นใหม่เมินคณิตศาสตร์นอกจากจะเกิดขึ้นจากการเรียน คละกันตามที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว อีกส่วนหนึ่งยังเกิดจาก “ความไม่เข้าใจ” ถึงความจำเป็นในการเรียนคณิตศาสตร์ด้วย

“สิ่งที่ผิดพลาดของการเรียนคณิตศาสตร์ในอดีตอาจเป็นเรื่องของการใช้คำถาม What ? ไปถามเด็ก ปฏิบัติกับเด็กเป็นเหมือนเครื่องมือหรืออุปกรณ์อย่างหนึ่งในการหาคำตอบออกมา แต่แนวทางในการสอนคณิตศาสตร์ของเราที่คิดค้นขึ้นและใช้สอนกับเด็กๆ ในเกาหลีใต้ก็คือ เราจะไม่ถามคำถาม What ? กับเด็ก เพราะคำถาม What ? เราสามารถหาคำตอบได้จากเครื่องคิดเลข คอมพิวเตอร์ เนื่องจากอุปกรณ์เหล่านี้ถูกออกแบบมาให้ตอบคำถาม What ?”

“สิ่งที่เราจะถามกับเด็กคือ Why ? เห็นได้จากโจทย์คณิตศาสตร์ของเราคือ Why ? เด็กมีโอกาสได้คิดถึงกระบวนการในการหาคำตอบ ได้มีการเชื่อมโยงข้อมูลต่างๆ เข้าด้วยกัน ได้คิด วิเคราะห์ หาเหตุผลมาตอบคำถาม ซึ่งจุดนี้เป็นสิ่งที่เครื่องจักรทำไม่ได้”

ซึ่งก่อนจะจากกัน มร.ปาร์คได้กล่าวถึงความสำเร็จของเกาหลีใต้ในอุตสาหกรรมโลกเอาไว้ประการหนึ่ง มีใจความว่า

“เกาหลีใต้มีบริษัทอย่างแอลจี ซัมซุง เพราะเรามีทรัพยากรมนุษย์ที่มีความรู้ความสามารถ ซึ่งรากฐานของการก่อตั้งบริษัทที่ผลิตสินค้าเทคโนโลยีเหล่านี้ล้วนแล้วต้อง อาศัยความเข้าใจเรื่องคณิตศาสตร์ หากเยาวชนในประเทศมีพื้นฐานทางด้านคณิตศาสตร์ดี มีความเข้าใจ ก็จะทำให้เกิดวิศวกรที่ดีตามมา และสามารถพัฒนาเทคโนโลยีขั้นสูงเหล่านี้ได้”


อ้างอิง:
KingMath เทคนิคคณิตศาสตร์แนว Why? จากแดนโสม
By OopZzzaa • Apr 1st, 2009 • Category: Featured Articles, blog social