คำนวณง่าย ๆ ในช่วง

ในเนื้อหาของระบบจำนวนจริง สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่ง topic หนึ่ง คือเรื่องราวเกี่ยวกับช่วง (class interval) อันเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงซึ่งมีทั้งช่วงเปิด(open interval) และช่วงปิด(close interval) ผู้เรียนต้องเข้าใจใน concept และจดจำข้อตกลงในการใช้สัญลักษณ์ให้ชัดเจนเพราะมิฉะนั้นจะเป็นอุปสรรคอย่างยิ่งในการสื่อความหมาย และไม่อาจใช้ช่วงแทนเซตคำตอบ(solution set) ของอสมการในบริบทของโจทย์ที่เผชิญอยู่ได้อย่างเหมาะสม และกระชับรัดกุม ซึ่งการเขียนเซตคำตอบในรูปช่วงนั้นจะดีกว่าการเขียนเซตคำตอบตามธรรมดาทั่วไป

ตามประเด็นของเรื่องที่ตั้งนั้นจะว่ากันถึงวิธีการในการวิเคราะห์ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของผลบวก ลบ คูณ และ หารของจำนวนจริงสองจำนวนโดยที่แต่ละจำนวนนั้นเลือกมาจากแต่ละช่วงที่กำหนดให้ ไม่ง่ายนาจะบอกให้ จะตายกันในห้องสอบเอาได้นาถ้าประมาท

จะยกกรณีศึกษาขึ้นมาพิจารณากันดังนี้

กำหนด A = [1, 8] และ B = [-1, 2] ข้อต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด

1. { x | x = a + b เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [0, 10]
2. { x | x = a - b เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [2, 6]
3. { x | x = ab เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [-8, 16]
4. { x | x = b/a เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [-1/8 , 2]

หลักคิด
ให้ใช้จุดปลายเป็นตัวแทนของสมาชิกในแต่ละช่วง แต่ถ้าในช่วงใดมี 0 เป็นสมาชิกอยู่ด้วย ต้องนำ 0 มาประกอบการพิจารณาด้วย
ในที่นี้ ในเซต A กำหนดสมาชิกที่เป็นตัวแทน a ได้เป็น a = 1 และ a = 8
ในเซต B กำหนดสมาชิก b ที่เป็นตัวแทนได้เป็น b = -1, 0 และ 2 จะได้

กรณี a + b
a = 1, b = -1 จะได้ a + b = 0* ........... ค่าต่ำสุด
a = 1, b = 0 จะได้ a + b = 1
a = 1, b = 2 จะได้ a + b = 3

a = 8, b = -1 จะได้ a + b = 7
a = 8, b = 0 จะได้ a + b = 8
a = 8, b = 2 จะได้ a + b = 10** .......... ค่าสูงสุด

ดังนั้น a + b อยู่ในช่วง [0, 10] แสดงว่า ข้อ 1 เป็นจริง


กรณี a - b
a = 1, b = -1 จะได้ a - b = 2
a = 1, b = 0 จะได้ a - b = 1
a = 1, b = 2 จะได้ a - b = -1 * .......... ค่าต่ำสุด

a = 8, b = -1 จะได้ a - b = 9** ..........ค่าสูงสุด
a = 8, b = 0 จะได้ a - b = 8
a = 8, b = 2 จะได้ a - b = 6

ดังนั้น a - b อยู่ในช่วง [-1, 9] แสดงว่า ข้อ 2 เป็น เท็จ


กรณี ab
a = 1, b = -1 จะได้ ab = -1
a = 1, b = 0 จะได้ ab = 0
a = 1, b = 2 จะได้ ab = 2

a = 8, b = -1 จะได้ ab = -8* .......... ค่าต่ำสุด
a = 8, b = 0 จะได้ ab = 0
a = 8, b = 2 จะได้ ab = 16 .......... ค่าสูงสุด

ดังนั้น ab อยู่ในช่วง [-8, 16] แสดงว่า ข้อ 3 เป็นจริง


กรณี b/a
a = 1, b = -1 จะได้ b/a = -1* ........... ค่าต่ำสุด
a = 1, b = 0 จะได้ b/a = 0
a = 1, b = 2 จะได้ b/a = 2** .......... ค่าสูงสุด

a = 8, b = -1 จะได้ b/a = -1/8
a = 8, b = 0 จะได้ b/a = 0
a = 8, b = 2 จะได้ b/a = 1/4

ดังนั้น b/a อยู่ในช่วง [-1, 2] แสดงว่า ข้อ 4 เป็นเท็จ


หวังว่า เกร็ดเล็ก ๆ ที่นำมาฝากนี้คงเป็นประโยชน์แก่ผู้อ่านอยู่บ้างนะครับ

ด้วยความปราถนาดี
ครูพี


"เมื่อสมหวังต้องรู้พอ
เมื่อผิดหวังต้องไม่ท้อ"

ในยามประสบโชคดีมีชื่อเสียงนั้นบ่อยครั้งจะนำโชคร้ายตามมาด้วย ดังนั้นเมื่อได้รับความสุขสมหวังแล้วต้องรู้จักความเพียงพอด้วย
ส่วนในยามที่ต้องประสบกับอุปสรรคหรือความพ่ายแพ้ บางทีมันกลับนำมาซึ่งสิ่งที่เป็นประโยชน์ต่อการได้รับความสำเร็จก็เป็นได้ ดังนั้นในขณะที่ต้องประสบกับความผิดหวังก็มิควรเลิกล้มความพยายามเสียง่าย ๆ


....จากคัมภีร์รากผัก

Blog ฟรี ๆ ดี ๆจากครูพี
เกร็ดพยากรณ์
คำศักดิ์สิทธิ
จิตหนึ่ง
ภูมิปัญญาลาว

พลิกสถานการณ์แล้วผ่านตลอด

วันนี้ครูพีของหยิบปัญหาค่าของฟังก์ชันที่อาจพากันสับสนได้ เพราะมันอาจไม่ง่ายอย่างที่คิด เราคงคุ้นชินจากตัวอย่าง หรือโจทย์ปัญหาในลักษณะ เช่น กำหนด f(x) = 5x - 3 จงหาค่าของ f(7x) , f(-2) ซึ่งง่ายมาก เพียงเราแทน x ด้วย 7x หรือ -2 ลงไปในสูตรหรือเงื่อนไขของฟังก์ชันก็หาคำตอบได้โดยพลันดังนี้
จาก f(x) = 5x - 3 จะได้ f(7x) = 5(7x) - 3 = 35x - 3
และ f(-2) = 5(-2) - 3 = -13 หมู ๆ ง่ายมากใช่ไหมล่ะ ?

เอาใหม่นะครับ สมมุติโจทย์กำหนด f(2x + 4) = 3x - 7 แล้ว ให้หา f(x) และ f(0) จะมีเทคนิควิธีในการคำนวณค่าได้อย่างไร บางคนอาจจะงงแล้วใช่ไหมล่ะ เอจะเอาไงดีเล่นบอกสูตรฟังก์ชันมาเป็นพวงอย่างนี้ ใจเย็น ๆ ทุกปัญหามีทางออกเสมอ

พิจารณา จากสูตร f(2x + 4) = 3x - 7 เรากำหนดตัวแปร A มารองรับ 2x + 4 นั่นคือ A = 2X + 4 แล้วแก้สมการโดยเขียน x ในรูป A จะได้ x = (A - 4)/2 จะได้ f(A) = 3[(A-4)/2] - 7 = (3A-12-14)/2 = (3A-26)/2 = (3/2)A - 13
นั่นคือ กำหนดสูตรหลักเป็น f(A) = (3/2)A - 13 จะได้ f(x) = (3/2)x -13 และ f(0) = (3/2)(0) - 13 = -13

หลักนี้สามารถนำไปประยุกต์หา function inverse ได้
ตัวอย่าง เช่น โจทย์กำหนด f(2x-3) = 4x+2 จงหา ฟังก์ชัน inverse ของ f ณ x
ในที่นี้ทำได้ 2 วิธี ดังนี้

วิธีที่ 1 หา f(x) ออกมาก่อน ดังนี้
ให้ A = 2x - 3 จะได้ x = (A+3)/2 ดังนั้น f(A) = 4[(A+3)/2] + 2 = 2A + 8
นั่นคือได้สูตรหลักเป็น f(A) = 2A + 8
จะได้ f(x) = 2x + 8 ให้ y = f(x)
y = 2x + 8
หา inverse โดยการสลับ x และ y จะได้ x = 2y + 8 จากนั้นแก้สมการโดยเขียน y ในรูป x จะได้ y = (x-8)/2 = x/2 - 4

นั่นคือฟังก์ชัน inverse ของ f ณ x เป็น x/2 - 4 นั่นเอง


วิธีที่ 2 จาก f(2x - 3) = 4x + 2 จะได้ ฟังก์ชัน inverse ณ 4x + 2 เท่ากับ
2x - 3
สมมุติให้ A = 4x + 2 จะได้ x = (A-2)/4 ดังนั้น จะได้ฟังก์ชัน inverse ณ A เป็น 2[(A-2)/4] - 3 = (A-8)/2 = A/2 - 4
นั่นคือฟังก์ชัน inverse ของ f ณ x เป็น x/2 - 4 นั่นเอง


ด้วยความปราถนาดี
ครู พี/

"นั่งสมาธิดูใจ ปรากฏทั้งความว่างและความฟุ้งซ่าน"

การนั่งสมาธิอยู่เพียงลำพังยามดึกสงัดเพื่อดูความเคลื่อนไหวส่วนลึกในใจนั้น ตอนแรกจะรู้สึกว่าความคิดฟังซ่านต่าง ๆ หายไป คล้ายว่าจิตเดิมแท้ปรากฏขึ้น และนำมาซึ่งความเข้าใจในสัจธรรมแห่งชีวิต แต่แล้วก็ต้องพบว่าจิตเดิมแท้นั้นเพียงแต่ปรากฏตัวออกมาชั่วขณะเท่านั้น ความคิดฟุ้งซ่านยังคงไม่สามารถถูกขจัดออกไปได้ คิดถึงตอนนี้แล้วให้รู้สึกละอายอย่างยิ่ง

....จาก คัมภีร์รากผัก

เชื่อมโยงสู่ง blog กรองธรรม


link บล็อก มนตรา


link บล็อก เกร็ดโหร







ครูพี/

ผิดนะคุณ ...Critical Thinking (ความคิดเชิงวิพากษ์)

บล็อกนี้ขอนำสิ่งดี ๆ เพื่อหมู่เฮาเพื่อนพ้องน้องพี่ชาวคณิตศาสตร์ที่รักทุกท่าน เมื่อวันวานเคยฝันว่าจะมีแหล่งข้อมูลดี ๆ ที่นำเสนอเกี่ยวกับข้อมูลในลักษณะ "อย่างนี้ผิดนะคุณ" เป็นการใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ดูมีความสมเหตุสมผล แต่ปนเปื้อนความผิดพลาด ต้องฉลาดมองว่าขัดข้องย้อนแย้งกับแหล่งนิยามหรือกฏเกณฑ์ใดต้องใจเย็น ๆ แล้วจะเห็น อ๋อมันเป็นเช่นนั้นเอง โดยจะค่อย ๆ นำเสนอไปเรื่อย ๆ ท่านใดที่สนใจโปรดลิงค์เข้ามาเปิดอ่านในบล็อกชื่อนี้ เขียนไปเรื่อย ๆ เหมือนรถขายโอ่งก็แล้วกัน เหนื่อยเมื่อไหร่ก็หยุดเมื่อนั้น ใช้ภาษิตว่า "หิวก็กิน อิ่มก็พอ ท้อก็พัก หนักก็วาง " แก่แล้วฝืนสังขารก็คงไม่ไหว

ยกที่ 1
การพิสูจน์ 1 = 2

A^2 - A^2 = A^2 - A^2
A(A-A) = (A+A)(A-A)
A = A + A โดยกฎการตัดออก
A = 2A
ดังนั้น 1 = 2 โดยกฏการตัดออก #


เฉลย ผิดบรรทัด 3 และ 5 เนื่องจากกฏการตัดออกระบุไว้ว่า ถ้า xz = yz และ z ไม่เป็น 0 แล้ว x = y
บรรทัด 3 ผิด เพราะ z ในที่นี้คือ A-A = 0 เราใช้กฎนี้มิได้
บรรทัด 5 ผิด เพราะ z ในที่นี้คือ A = 0 ซึ่งเราไม่ทราบว่าเท่ากับ 0 หรือไม่ ดังนั้นจึงใช้กฎการตัดออกไม่ได้

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 2
" พิสูจน์ 2 = 3 "

กำหนด M = 5
10 + 8M = 15 + 7M
10 + 8M - 2M^2 = 15 + 7M - 2M^2
(2 + 2M)(5 - M) = (3 + 2M)(5 - M)
2 + 2M = 3 + 2M
จะได้ 2 = 3 #


เฉลย ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในขั้นตอนที่ 5 เนื่อจากการใช้ M - 5 = 0 หารตลอด หรือใช้กฎการตัดออกที่ไม่ถูกต้องนั่นเอง

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 3
"พิสูจน์ 2 = 3 อีกวิธี"

a = 5/2
4 - 4a = 9 - 6a
4 - 2a + a^2 = 9 - 6a + a^2
(2 - a)^2 = (3 - a)^2
2 - a = 3 - a
จะได้ 2 = 3 #


เฉลย ข้อผิดพลาดเกิดในบรรทัด 5 จากการถอดรากที่สอง เนื่องจาก
ถ้า x^2 = y^2 แล้ว เราจะสรุป x = y ไม่ได้ เช่น (-3)^2 = (3)^2 แต่ -3 ไม่เท่ากับ 3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 4
การพิสูจน์ 2 = -2

2 = sqr(2x2)
= sqr(4)
= sqr(-2 x -2)
= -2
ดังนั้น 2 = -2 #

เฉลย ผิดบรรทัด 4 เพราะ sqr(-2 x -2) = |-2| = 2 จะสังเกตเห็นว่า ถ้า y เป็นจำนวนจริงแล้ว sqr(y^2) ต้องเป็นจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียวและ sqr(y^2) |y|

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 5
การพิสูจน์ว่า { *, % } = { m. n}

เนื่องจาก 2 = { *, %} และ 2 = { m. n}
ดังนั้น { *, % } = { m. n} #

เฉลย ผิดบรรทัดแรก เนื่องจาก 2 เป็นจำนวน ย่อมไม่เท่ากับเซค

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 6
"รากของสมการกรณฑ์ที่สอง"

sqr(x-2) = -6
x - 2 = 36
x = 38
ดังนั้น x = 38 เป็นรากของสมการ sqr(x-2) = -6 #

เฉลย ผิดบรรทัด 4 เพราะในสามบรรทัดแรกระบุว่า ถ้า sqr(x-2) = -6 แล้ว x = 38 แต่มิได้บอกว่าบทกลับ คือ x = 38 แล้ว sqr(x-2) = -6 จะต้องเป็นจริง ดังนั้นเราต้องลองแทน x = 38 ลงไปใน sqr(x-2) ว่าจะได้ผลเท่ากับ -6 หรือไม่ ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อนำไปแทนค่าแล้วจะได้ sqr(x-2) = sqr(36) = 6 ดังนั้น 38 มิใช่รากของสมการ
sqr(x-2) = -6
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 7
"ลำดับของการคำนวณ"

ถ้า x = 1, y = -2 และ และ z = 3
จงหาค่าของ x – y (z + 3) – 2
วิธีทำ
x – y(z + 3) -2
= 1 – (-2)(3 + 3) -2 ......(1)
= 1 + 2(6) – 2 ......(2)
= 3(6) – 2 ......(3)
= 18 – 2 ......(4)
= 16 # ......(5)

เฉลย ผิดพลาด ณ (3) เพราะใช้ลำดับขั้นการคำนวณไม่ถูกต้อง ถ้าในนิพจน์มีทั้งการบวก ลบ คูณและหารโดยไม่มีวงเล็บกำกับของการคำนวณแล้ว จะต้องคำนวณคูณและหาร ก่อนบวกหรือลบ โดยดำเนินการจากซ้ายไปขวา


ยกที่ 8
"กรณฑ์ที่สองติดลบ"

[sqr(-25)][sqr(-4)] = sqr[(-25)(-4)]
= sqr(100)
= 10 #
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

เฉลย ผิดบรรทัดแรก เนื่องจากการใช้กฎ sqr(ab) = sqr(a)xsqr(b) ไม่ถูกต้อง กฏข้อนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ

ยกที่ 9
"อย่าด่วนสรุป"

จงพิจารณาว่าในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ พยายามทำโดยใช้ความรู้จากประสบการณ์จริง ๆ ของตนก่อนแล้วจึงค่อยดูเฉลย

กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ

1. ถ้า x^2 = y^2 แล้ว x = y

2. ถ้า x > y แล้ว 1/ x > 1/y

3. ถ้า x > y แล้ว 1/x <> y แล้ว -x > -y

5. sqr(x) sqr(y) = sqr(xy)

6. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนซึ่งมิใช่จำนวนตรรกยะ

ึ7. pi = 22/7


เฉลย
1. เป็นเท็จ เช่น ถ้าให้ x = 1 และ y = -1 \ จะได้ว่า x^2 = y^2 แต่ x ไม่เท่ากับ y
2. เป็นเท็จ เช่น ถ้าให้ x = 3 และ y = 2 จะได้ว่า 3 > 2 แต่ 1/3 < x =" 3" y =" -2"> -2 แต่ 1/3 > -1/2
4.เป็นเท็จ เช่น ถ้าให้ x = 3 และ y = 2 จะได้ว่า 3 > 2 แต่ -3 < -2 5. เป็นเท็จ เช่น ถ้าให้ x = -4 และ y = -4 จะได้ว่า sqr(x)sqr(y) = sqr(-4)sqr(-4) = (2i)(2i) = -4 sqr(xy) = sqr(-4x-4) =sqr(16) = 4 จะเห็นว่า sqr(x)sqr(y) ไม่เท่ากับ sqr(xy) 6. เป็นเท็จ เช่น 3 + 2i ไม่ใช่ทั้งจำนวนตรรกยะ และ อตรรกยะ 7. เป็นเท็จ เนื่องจาด pi เป็นจำนวนอตรรกยะ ย่อมไม่เท่ากับ 22/7 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ยกที่ 10
"จำนวนเซตย่อย"
โจทย์ จงหาเซตย่อยทั้งหมดของเซต { 0, 1 }
วิธีทำ { 0 }, { 1 }, { 0, 1 } #
เฉลย ผิดพลาดเพราะขาดไป 1 เซต คือ เซตว่าง
เพื่อไม่ให้ตกหล่น ยึดหลักเกณฑ์ว่า ถ้า A มีสมาชิก n ตัว แล้ว จะมีเซตย่อยทั้งหมด 2 ^ n เซต
ในที่นี้เซตที่กำหนดให้มีสมาชิก 2 ตัว ย่อมมีเซตย่อยทั้งหมด 2^2 = 4 เซต

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 11
"การแปรเปลี่ยนเครื่องหมายและ/หรือ ลำดับการคำนวณ"

โจทย์ จงทำให้ 4[-(2 - x) - (1 + 2x)] ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
วิธีทำ
4[-(2-x) -(1+2x)]
= 4[-2-x-1+2x] ..........(1)
= 4[-3 + x] ..........(2)
= 4 - 3 + x ..........(3)
= 1 + x ..........(4) #

เฉลย ผิดใน (1) เนื่องจากการเคลื่อนไปของเครื่องหมายลบเมื่อใช้กฏการแจกแจงผิดพลาด คือ -(2 - x) ต้องเป็น -2 + x และ -(1 + 2x) ต้องเป็น -1 - 2x
ผิดใน (3) จากความไม่ระวังในการดำเนินการ 4[-3 + x] ต้องเป็น 4(-3) + 4x นั้นคือต้องใช้กฎการแจกแจง
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 12
"การยกกำลังที่ติดลบ"
โจทย์ จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย [ (x^-2)y]^-3
วิธีทำ
[ (x^-2)y]^-3
= [ 1 / [(x^2)y]^3 ..........(1)
= [ 1 / [(x^5)(y^3)] ..........(2)

เฉลย ผิด ณ บรรทัด (1) เพราะต้องเท่ากับ [ 1 / [(x^-2)y]^3
และ บรรทัด (2) ต้องเท่ากับ [ 1 / [(x^5)(y^3]

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 13
"กำลังสองสมบูรณ์"
โจทย์ จงหาค่าของ (x + 3)^2
วิธีทำ (x + 3)^2
= x^2 + 3^2 ..........(1)
= x^2 + 9 ..........(2) #

เฉลย ผิดบรรทัด (1) เพราะใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์ไม่ถูกต้อง (a + b)^2 ต้องเท่ากับ a^2 + 2ab + b^2 ดังนั้น (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 14
"ผลบวกกำลังสาม"
โจทย์ จงแยกตัวประกอบ x^3 + 8
วิธีทำ
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 + 4x + 4 #

เฉลย ผิดเนื่องจากใช้สูตรผลบวกกำลังสามผิด สูตรระบุว่า (a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
ดังนั้น x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 15
"ผิดพลาดจากการจัดกลุ่ม"
โจทย์ จงแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่มนิพจน์ r^2 - s^2 - r - s
วิธีทำ
r^2 - s^2 - r - s
= (r^2 -s^2) - (r - s) ..........(1)
= (r - s)(r + s) - (r - s) ..........(2)
= (r - s)(r + s -1) ..........(3) #

เฉลย ผิดบรรทัด (1) จากการจัดกลุ่มและไม่ระวังในการใช้เครื่องหมาย -(r-s) ต้องเป็น -(r+s)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 16
"ผิดพลาดจากการถอดกรณฑ์"
โจทย์ จงหาระยะทางจากจุด (4, 6) และ (1, 2)
วิธีทำ
d = sqr[(4-1)^2 + (6-2)^2 ] .......... (1)
= sqr(3^2 + 4^2) ..........(2)
= 3 + 4 ..........(3)
= 7 # ..........(4)
เฉลย ผิดบรรทัด (3) เนื่องจาก sqr(a + b) ไม่เท่ากับ sqr(a) + sqr(b)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 17
"ผิดพลาดจากการเทียบเทอม"
โจทย์ จากสมการวงกลม x^2 + 2x + y^2 = 11 - 4y จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมี
วิธีทำ
x^2 + 2x + y^2 + 4y = 11 ..........(1)
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 11 + 1 + 4 ..........(2)
(x+1)^2 + (y + 2)^2 = 16 ..........(3)
จุดศูนย์กลาง คือ (1, 2) และ รัศมี 16 ..........(4)

เฉลย ผิดบรรทัด 4 เพราะรูปมาตรฐานของวงกลมคือ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 ดังนั้น จุดศูนย์กลาง (h, k) = (-1, -2)
และ รัศมี = 4 #

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 18
"พิสูจน์ 2 = 1 อีกสักครั้ง"
โจทย์

ให้ x = y
x^2 = xy ( นำ x มาคูณทั้งสองข้าง)
x^2 - y^2 = xy - y^2 (นำ y^2 ลบออกทั้งสองข้าง)
(x - y)(x + y) = (x - 2)y ( แยกตัวประกอบ)
x + y = y (เอา x - y หารทั้งสองข้าง)
y + y = y (แทน x ด้วย y)
2y = y
จะได้ 2 = 1 (เอา y หารทั้งสองข้าง #

เฉลย ผิดเนื่องจากเอา x - y หารทั้งสองข้าง เพราะว่าเมื่อกำหนด x = y แล้ว x - y = 0

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 19
"พิสูจน์ 4 = 2 "
ให้ a - 1 = 2 ..........(1)
(a - 1)(a - 5) = 2(a - 5)
a^2 - 6a + 5 = 2a - 10
(a^2 - 6a + 5) - (a - 7) = (2a - 10) -(a - 7)
a^2 - 7a + 12 = x - 3
(a - 3)(a - 4) = (a - 3)
a - 4 = 1
a = 5
แทนค่า a = 5 ใน (1) จะได้ 5 - 1 = 2
ดังนั้น 4 = 2 #

เฉลย ผิดที่เอา a - 3 หารทั้งสองข้าง เนื่องจาก a - 1 = 2 จะได้ a - 3 = 0 #
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 20
"พิสูจน์ 1= -1 "
ให้ a/b = c/d โดยที่ b และ c ไม่เป็น 0
เพราะฉะนั้น (a/b) - 1 = (c/d) - 1 ..........(1)
(a/b) + 1 = (c/d) + 1
[(a+b)/b] = [(c+d)/d] ..........(2)
(1) หารด้วย (2)
(a-b)/(a+b) = (c-d)/(c+d)
(a-b)(c+d) = (a+b)(c-d)
ac + ad - bc - bd = ac - ad + bc - bd
ad - bc = -(ad - bc)
เอา ฟd - bc หารทั้งสองข้าง
จะได้ว่า 1 = -1 #

เฉลย ผิดที่เอา ad - bc หารทั้งสองข้าง เพระว่า เมื่อกำหนด a/b = c/d ย่อมจะได้ ad = bc ดังนั้น ad - bc = 0 #

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 21
จงหาผลต่างและเขียนผลที่ได้ในรูปที่ง่ายที่สุด
(p - 3)/(p + 1) - (2p - 1)/(p + 2)

วิธีทำ
(p - 3)/(p + 1) - (2p - 1)/(p + 2)
= (p - 3 - 2p + 1) / (p + 1)(p + 2) .......... (1)
= (-p - 2) / (p + 1)(p + 2) .......... (2)
= -(p + 2) / (p + 1)(p + 2) ..........(3)
= -1 / (p+1) .......... (4) #
เฉลย ผิด ณ (1) เนื่องจาก เศษส่วนมีส่วนต่างกัน จะนำเศษมาลบกันเลยไม่ได้ ผิดหลักการ นั่นคือ a/b - c/d = (ad - bc)/bd #

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 22
ถ้าเป็นไปได้ จงหาผลบวกของ 2sqr(3) - 4sqr(2) โดยใช้สมบัติการแจกแจง
วิธีทำ 2sqr(3) - 4sqr(2)
= (2-4)(sqr(3) - sqr(2) ) .......... (1)
= (-2)(sqr(1)) ..........(2)
= -2 ..........(3) #

เฉลย ผิด บรรทัด (1) ใช้สมบัติการแจกแจงไม่ได้เพราะในโครงสร้างของเทอมไม่มีตัวประกอบร่วม
และผิดบรรทัด (2) เพราะ sqr(3) - sqr(2) ไม่เท่ากับ sqr(3 - 2)


----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 23
จงแก้อสมการ 9 + 2x < style="font-weight: bold;">วิธีทำ 2x < -4 ; 4 - 1 < style="font-weight: bold;">เฉลย ผิดในบรรทัดสุดท้าย เพราะการกำหนดเงื่อนไขของคำตอบ คือ 3 <> 3 ในขณะที่ x < -2 เซตคำตอบที่ถูกต้อง คือ { x | x < -2 หรือ x > 3 }

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 24 ถ้า f(x) = x^2 - 1 และ g(x) = sqr(x - 3) จงหาค่าของ f(g(7))
วิธีทำ f(g(7)) = ( 7^2 - 1)(sqr(7 - 3) )
= (48)(2)
= 96 #
เฉลย ผิดบรรทัดแรก ใช้วิธีการหาค่าฟังก์ชันประกอบไม่ถูกต้อง
ที่ถูกต้องเป็น f(g(7)) = f(sqr(7 - 3)) = f(4) = 4^2 - 1 = 15

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 25 จงเขียนสมการเส้นตรงให้อยู่ในรูปมาตรฐาน เมื่อเส้นตรงมีระยะตัดแกน X เป็น 3 และ ระยะตัดแกน Y เป็น -2
วิธีทำ ความชัน m = (-2)/3 = -2/3
y - (-2) = (-2/3)(x - 3)
3(y + 2) = -2(x - 3)
3y + 6 = -2(x - 3)
3y + 6 = -2x + 6
2x + 3y = 0 #

เฉลย ผิดบรรทัดแรก เพราะหาความชันผิด ด้วยเหตุที่เส้นตรงผ่านจุด (3, 0) และ (0, -2) ดังนั้น m = (-2)/(-3) = 2/3

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 26
โจทย์ ในห้องหนึ่งมีนักศึกษาเก่า 10 คน และนักศึกษาใหม่ 8 คน โดยจะมีการเลือกประธาน 1 คน และเลขานุการ 1 คน จะสามารถทำได้กี่วิธี ถ้าประธานและเลขานุการไม่ใช่คนเดียวกัน และประธานต้องเป็นนักศึกษาเก่า
วิธีทำ เนื่องจากประธานต้องเป็นนักศึกษาเก่า จะเลือกประธานได้ 10 วิธี และเลือกเลขานุการจากนักศึกษาใหม่ได้ 8 วิธี ดังนั้นจะมี 10x8 = 80 วิธี ที่จะเลือกประธาน 1 คน และเลขานุการ 1 คน #

เฉลย ผิด ตรงที่จำนวนวิธีการเลือกเลขานุการ ซึ่งเลือกได้ถึง 17 วิธี ( นักศึกษาเก่า 9 วิธี รวมกับนักศึกษาใหม่อีก 8 วิธี )
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด จึงเป็น 10x17 = 170 วิธี

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 27 ในการวิ่งแข่งขันของนักวิ่ง 8 คน จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้กี่วิธีที่จะได้ผลลัพธ์เป็นผู้เข้าเส้นชัยอันดับหนึ่ง 1 คน อันดับสอง 1 คน และอันดับสาม 1 คน
วิธีทำ เราจะนับจำนวนวิธีที่นักวิ่ง 3 คน จาก 8 คน วิ่งเข้าเส้นชัยสามคนแรก C8,3 = 8! / (3!)(5!) = 56 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ #
เฉลย ลักษณะโจทย์ปัญหาเป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยน มิใช่วิธีจัดหมู่ เนื่องจากยึดลำดับเป็นสำคัญ ดังนั้น ผลลัพธ์ที่ได้เป็น P8,3 = 8!/5! = 8x7x6 = 448 ผลลัพธ์

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 28 จงหาพจน์ที่สามในการกระจาย (x - 2y)^9
วิธีทำ (C9,3)(x^6)[(2y)^3] = 672(x^6)(y^3) #

เฉลย ผิด T3 = T(2 + 1) ดังนั้น r ในที่นี้เป็น 2 มิใช่ 3 เทอมในรูป combination ต้องเป็น C9,2 #

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 29 จงเขียน (2x - 4) / [(x - 1)^2](x + 1) ในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย
วิธีทำ เนื่องจากตัวส่วนประกอบด้วยตัวประกอบเชิงเส้น ดังนั้นเราจะเขียน
(2x - 4) / [(x - 1)^2](x + 1) = A/(x-1) + B/(x + 1) .......(1)
หรือ 2x - 4 = A(x + 1) + B(x - 1)
ถ้า x = 1 แล้ว B = 3 และ A = -1 ถ้า x = -1 แล้ว -6 = B(-2) และ B = 3 ดังนั้นเศษส่วนย่อยแยกออกได้เป็น
(2x - 4) / [(x - 1)^2](x + 1) = - 1/(x-1) + 3/(x+1) #

เฉลย ผิดที่ (1) เนื่องจาก ตัวส่วนเป็นตัวประกอบเชิงเส้นที่มีเทอมซ้ำ ดังนั้น ต้องสมมุติในรูป
(2x - 4) / [(x - 1)^2](x + 1) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x+1)

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 30 ถ้าผลรวมของอนุกรมต่อไปนี้มี จงหาผลรวมนั้น
2/3 - 1 + 3/2 - 9/4 + ...
วิธีทำ เนื่องจาก a1 = 2/3 และ r = -3/2 หาค่าผลรวมได้โดยแทนลงไปในสูตร ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์
a1/(1-r) = (2/3) / [1 - (-3/2) ] = (2/3) / (5/2) = 4/15 #

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ยกที่ 31 ขึ้นไป ถ้าท่านสนใจโปรดลิงค์ไปที่เอกสาร Google



ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/



"ยามว่างอย่าเย็นใจ
ยามยุ่งอย่าร้อนใจ"

ความสงบนิ่งของฟ้าดินนั้น ดูราวกับว่าไม่ได้มีอะไรเปลี่ยนแปลง แต่แท้จริงแล้วมีความเคลื่อนไหวของทุกอณูอยู่ภายในอย่างมิหยุดยั้งเลย ดวงอาทิตย์กับดวงจันทร์หมุนเวียนสลับเปลี่ยนกันเป็นกลางวันกลางคืนมิได้หยุดหย่อนโดยที่แสงสว่างยังคงสาดส่องมิได้หยุดยั้ง
ด้วยเหตุนี้ในยามว่างบัณฑิตจงมีจิตใจกระตือรือร้นและควรมีความรู้สึกสงบปล้่อยวางในยามที่มีภารกิจยุ่งเหยิง


......ข้อคิดดี ๆ จากคัมภีร์รากผัก

อ่านบล็อกฟรี ๆ จาก ครูพี
กลั่นคำธรรมะ
สัตตเลข
มนตรา

ภาคผนวกบวกอะไร

มีลูกศิษย์ระดับมหาบัณฑิตคณิตศาสตร์ศึกษาหลายท่านที่ทยอยกันส่งรายงานวิทยานิพนธ์ 5 บท พร้อมส่วนประกอบต้นและปลาย ครบถ้วนกระบวนความพร้อมขึ้นสู่เวทีการสอบปากเปล่าที่แสนจะเร้าความเครียด เพราะตื่นเต้นไม่เป็นอันกินอันนอน แต่จำต้องถูกต้อนขึ้นเวที และเวทีแห่งนี้ก็ไร้พี่เลี้ยงที่คอยแบ่งปันและช่วยเหลือ ซะด้วยซิ เฮอะน่า! อย่างน้อยก็มีอาจารย์ที่ปรึกษาที่คอยจ้องตาให้กำลังใจบอกใบ้อยู่มั้ง อย่าหวั่นไหวไปซิ สู้โว้ย! เราก็หนึ่งในตองอู งานนิพนธ์เรื่องนี้เราทำมันมากับมือไม่ได้ซื้อหรือจ้างวานใครให้เสีย self เรารู้ดีกว่าใคร ๆ ถามมา!? ข้าพร้อมตอบ แต่อย่าหมอบกลางเวทีซะล่ะ! เตรียมตัวให้พร้อมอาจน้อมใจแผ่เมตตา สวดคาถาชินบัญชรเพื่อให้ขลังสร้างพลังใจ โอมเพี้ยง! เจ้าพ่อเจ้าแม่ช่วยลูกช้างด้วย .... เอ๊! อะไรวะนี่ตู นักวิจัยผู้ยิ่งใหญ่กลับใช้สิ่งนอกตัว ...เฮ้อเอาก็เอาวะ ... เพี้ยงขอให้ผ่าน E...Excellent มิใช่ E...End จบเห่ ด้วยเทอญ สาธุ!!!

อยากขอฝากการจัดระบบข้อมูลในภาคผนวกว่าจะใส่อะไรเข้าไปดี เอ! อ.พี แกบอกไว้นี่หว่าให้ใช้หลัก C แอนด์ D ดูจากรุ่นพี่ ๆ ที่ทำผ่านมาก็แล้วกัน แต่ก็อาจสับสนงุนงงสงสัยได้เพราะงานแต่ละชิ้นอาจเหลื่อมล้ำแตกต่างกัน เอากันยังไงนี่จะซี้แล้วซิเรา ลำดับดี ๆ เรื่องนี้ที่เป็นมาตรฐานมีหลักการอย่างไรกัน

ภาคผนวกเป็นส่วนเนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับเนื้อเรื่องในวิทยานิพนธ์ที่ผู้วิจัยนำมาแสดงประกอบไว้เพื่อให้วิทยานิพนธ์มีความสมบูรณ์ยิ่งขึ้น ภาคผนวกจะมีหรือไม่นั้นขึ้นอยู่กับความจำเป็นในบริบทที่นำเสนอ

ในเรื่องนี้ อ. พี ขอชี้แจงว่า การจัดระบบข้อมูลในภาคผนวกนี้ ถ้ามีภาคผนวกมากกว่า 1 ชุด ให้มีแผ่นกั้นกลางหน้ากระดาษ และพิมพ์คำว่าภาคผนวกไว้ตรงกลางหน้ากระดาษ และต้องนับเลขหน้าต่อจากหน้าสุดท้ายของบรรณานุกรมแต่ไม่ต้องเขียนเลขหน้าลงไป ต่อจากนั้นนับเลขหน้าต่อไปเรื่อย ๆ จากภาคผนวก ก ภาคผนวก ข ภาคผนวก ค ตามลำดับเช่นนี้เรื่อยไป

โดยทั่วไปแล้ว
ภาคผนวก ก จะเป็นเครื่องมือวิจัยหรือแบบสอบถาม
ภาคผนวก ข รายนามผู้ทรงคุณวุฒิที่ตรวจสอบเครื่องมือ
ภาคผนวก ค เป็นค่าสถิติต่าง ๆ ที่ไม่อยู่ในบทที่ 4 เช่น ค่าดัชนีความสอดคล้อง (IOC) ค่าความเชื่อมั่น (Reliabjlity) และค่าสถิติปลีกย่อยอื่น ๆ

ปัจฉิมกถาที่ฝากมาย้ำเตือนว่าอย่าประมาทกับข้อมูลในภาคผนวก โดยเฉพาะในส่วนที่แสดงการคำนวณเชิงสถิติ ต้องตรวจสอบความถูกต้องสมเหตุสมผลของตัวเลข มีความรู้สึกเชิงจำนวนว่าตัวเลขที่นำเสนอไว้นั้นถูกต้องหรือไม่ เป็นไปได้หรือไม่ อย่าเชื่อมั่นหรือตกเป็นทาสของเครื่องคำนวณมากนักเพราะเราอาจพลั้งพลาดในการ ป้อนข้อมูลลงไป จะกลายเป็นเรื่องใหญ่ที่ต้องมาตายกันตอนจบ ตรวจสอบให้รอบคอบ ข้อสอบหรือแบบสอบถามที่ใช้ต้องอยู่ในรูปแบบที่ดีที่สุด ไม่มีข้อบกพร่องตกหล่นอันใดปรากฏอยู่ เพราะเครื่องมือเหล่านี้ผ่านกระบวนการในการตรวจสอบ และการใช้มาแล้ว มิฉะนั้นแล้วมันอาจย้อนกลับไปถึงความไม่สมเหตุสมผลของข้อมูลที่เราเก็บรวบรวมมาว่าเชื่อถือได้หรือไม่



ด้วยความปราถนาดี
อ.พี/


"รสจืดคือรสแท้ มนุษย์ที่แท้คือคนสามัญ"

สุราหอมกรุ่น เนื้อติดมัน รสชาติเผ็ดร้อน หรือหวานมัน รสชาติเหล่านี้ล้วนมิใช่รสชาติที่ดีแท้ รสชาติที่ดีแท้ คือ รสจืด
คนที่มีบุคคลิกท่วงท่าดูเป็นคนพิเศษก็มิใช่เป็นคนที่กอปรด้วยคุณงามความดี ที่แท้ คนที่กอปรด้วยคุณงามความดีที่แท้นั้น คือคนที่ปฏิบัติตนเยิ่ยงคนธรรมดาสามัญ

.... ของฝากดี ๆ จากคัมภีร์รากผัก

เชิญเยี่ยมชมบล็อก

เกร็ดธรรมะ
โหราศาสตร์
เวทย์มนตร์

สอนคณิตศาสตร์อย่างไรให้ประสบผลสำเร็จ

คณิตศาสตร์ เป็น ศาสตร์แห่งการคิดคำนวณบนเส้นทางอันงดงามของกระบวนการคิดเชิงนามธรรมแห่งตรรกะที่ประณีต ลึกซึ้ง และสมเหตุสมผล เป็นเครื่องมือในการเรียนรู้ศาสตร์สาขาอื่นโดยเฉพาะอย่างยิ่งด้านวิทยาศาสตร์ ถึงกับมีคำกล่าวว่า

"คณิตศาสตร์เป็นราชินีของวิทยาศาสตร์(Mathematics is a Queen of Sciences)"

ซึ่งบ่งชี้ให้เห็นความสำคัญดังกล่าวนี้ จึงไม่น่าแปลกใจที่ไอน์สไตน์นักฟิสิกส์ผู้ยิ่งใหญ่ หนึ่งในยอดอัจฉริยะผู้ได้รับรางวัลโนเบลไพรม์ที่ข้างกายมักมี สเตราส์ นักคณิตศาสตร์ผู้รู้ใจอยู่ร่วมด้วยเสมอ ทฤษฎีสัมพัทธภาพ ที่โด่งดัง โดดเด่นที่ชี้ให้เห็นถึงการแปรเปลี่ยนระหว่างมวลสารกับพลังงาน สื่อความหมายให้เข้าใจได้อย่างชัดเจนกระชับรัดกุม ด้วยสมการทางคณิตศาสตร์ง่าย ๆ ในรูป E = MC^2 แสดงให้เห็นว่านักวิทยาศาสตร์มีความจำเป็นอย่างยิ่งที่ต้องใช้คณิตศาสตร์เพื่อการสื่อสารความเชิงนามธรรมนำมาใช้อธิบายข้อค้นพบซึ่งเป็นความจริงเชิงกายภาพของปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่ซับซ้อนอย่าหลีกเลี่ยงมิได้ โลกยุคไอที (Information Technology) ในปัจจุบันอันเป็นสังคมฐานความรู้(Knowledge Base) โดยมีคอมพิวเตอร์เป็นปัจจัยสำคัญอันทรงพลังสนับสนุนในการค้นหา รวบรวม ประมวลผลและสื่อสารข้อมูลที่เป็นองค์ประกอบสำคัญของการตัดสินใจเป็นไปอย่างไร้ข้อจำกัด ทำให้มีการเคลื่อนไหล(flow) ถ่ายเทและเปลี่ยนผ่านข้อมูลได้อย่างรวดเร็วฉับพลันทั้งในเชิงปริมาณและคุณภาพ การนำข้อมูลเชิงตัวเลขมาใช้บริหารจัดการองค์กรทั้งภาครัฐ และเอกชนเป็นไปอย่างกว้างขวางในหลายมิติ จึงจำเป็นต้องอาศัยบุคลากรที่มีพื้นฐานทางด้านคณิตศาสตร์ สถิติ อย่างเพี่ยงพอเท่านั้นจึงจะสามารถ วิเคราะห์และสังเคราะห์ข้อมูลได้อย่างถูกต้อง มีประสิทธิภาพ และก่อประสืทธิผลสูงสุดแก่องค์กร

ด้วยความสำคัญดังกล่าวนี้การพัฒนาคนทางด้านคณิตศาสตร์จึงมีความจำเป็นและสำคัญอย่างเร่งด่วน แต่มีข้อสังเกตที่น่าเป็นห่วงอย่างยิ่งว่าผลการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ในภาพรวมของผู้เรียนในประเทศไทยเรากลับตกต่ำลงไปเรื่อย ๆ และต่ำกว่าในรายวิชาอื่น ๆ ในทุกระดับ

สภาพข้อเท็จจริงที่ผู้เขียนซึ่งสอนในระดับอุดมศึกษาประสบอยู่จริง ณ ปัจจุบัน คือยังมีผูเรียนที่ขาดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นอันจะนำไปใช้เชื่อมโยงความรู้ในเนื้อหาที่จะเรียนได้ การแก้สมการ การแยกตัวประกอบ แม้กระทั่งการบวก ลบ คูณและหารเกี่ยวกับเศษส่วน อันเป็นเรื่องง่าย ๆ กลับกลายเป็นอุปสรรคในการเรียนในระดับมหาวิทยาลัย อะไรจะขนาดนั้น ไม่น่าเชื่อว่าความมืดบอดของแนวคิดเหล่านี้ก็เกิดในกลุ่มพวกเรียนสาขาทางด้านวิทยาศาสตร์แม้นกระทั่งผู้เรียนคณิตศาสตร์เองก็ตาม วิกฤตความรู้เหล่านี้เกิดขึ้นแล้วจริง ๆ ในบ้านเมืองเรา ปัญหาเหล่านี้จักต้องร่วมมือกันแก้ไขอย่างเร่งด่วน

หลักธรรมในพุทธศาสนาที่ว่าด้วย บาทฐานแห่งฤทธิ์และพลังอำนาจที่จะก่อให้เกิดความสำเร็จแก่บุคคลในการกระทำกิจการงานใด ๆ ให้ลุล่วงสำเร็จตามที่ประสงค์จำนงหมายที่ดั้งไว้ คือหลักธรรมแห่ง "อิทธิบาท 4" ซึ่งประกอบด้วย

1. ฉันทะ คือ ความรักในงานที่ทำ
2. วิริยะ คือ ความขยันหมั่นเพียร : กำลังกาย
3. จิตตะ คือ ความใส่ใจ : กำลังจิต (สมาธิ)
4. วิมังสา คือ ความไตร่ตรอง : กำลังปัญญา

ซึ่งผู้เขียนเห็นว่า "ฉันทะ" ซึ่งเป็นความรักที่แท้จริงและบริสุทธิ์ใจในสิ่งที่ทำนั้นเป็นปัจจัยนำสำคัญที่สุดอันจะผลักดันให้กระทำพฤติกรรมในข้ออื่น ๆ ที่เหลืออย่างประสานกลมกลืนกัน " ครูคณิตศาสตร์ที่รัก และศรัทธาในความเป็นครูคณิตศาสตร์เท่านั้นจึงจะสร้างความรักและศรัทธาให้เกิดแก่ผู้เรียนคณิตศาสตร์ได้ "

ในกระบวนการเรียนคณิตศาสตร์หรือวิชาอื่น ๆ นั้นผู้เรียนจะเก่งได้ก็ต้องใช้หลัก สุ จิ ปุ ลิ หรือ ฟัง คิด ถาม เขียน อันเป็นหลักทั่วไปในการเรียนให้เก่ง ที่เรียกกันว่า "หัวใจนักปราชญ์" มาประกอบด้วย จะทำให้เกิดความเข้าใจ รู้แจ้งและรู้จริงในสิ่งที่เรียน สิ่งนี้ทุกท่านรู้กันอยู่แล้วเพราะต่างก็เคยท่องกันมาในสมัยเรียนหนังสือ แต่หลักการอะไรก็ตามจะดีวิเศษเพียงใดเมื่อไม่นำมาปฏิบัติย่อมไม่ก่อให้เกิดประโยชน์ต่อชีวิตตนเองได้

จากประสบการณ์การสอนคณิตศาสตร์มามากว่า 25 ปี เคยเป็นครูสอนคณิตศาสตร์มาทุกระดับ ทั้งประถมฯ มัธยมฯ อาชีวะ และอุดมศึกษา เป็นผู้สอนติวนักเรียน นักศึกษาเพื่อการสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ ผู้เขียนพอที่จะประมวลองค์ปรกอบที่เป็นปัจจัยสำคัญแห่งความสำเร็จในการสอนคณิตศาสตร์ดังนี้

(1) ครูเก่ง
(2) เด็กเก่ง
(3) ครูและเด็กเก่ง
(4) การจัดกระบวนการเรียนการสอนมีประสิทธิภาพ
(5) สิ่งแวดล้อมเอื้ออำนวย

ในที่นี้ผู้เขียนขอนำเสนอเฉพาะครูอันเป็นปัจจัยหลัก คณิตศาสตร์จะบรรลุวัตถุประสงค์การเรียนการสอนหรือไม่นั้นผู้ที่มีบทบาทอย่างยิ่งก็คือครู ถ้าผลการเรียนของนักเรียนส่วนใหญ่ไม่ดี ผู้ต้องสงสัยคือครู นักเรียนชอบหรือไม่ชอบคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่เหตุปัจจัยมาจากครู ครูเป็นตัวแปรที่จะทำให้นักเรียนชอบหรือไม่ชอบคณิตศาสตร์
เคยมีผลการสำรวจความคิดเห็นของนักเรียนระดับประถมศึกษาที่สอบได้ 50 อันดับแรกของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทยฯ และนักเรียนที่ได้รับคัดเลือกเข้าสอบชิงทุน "คณิตศาสตร์สู่โอลิมปิก" จำนวน 73 คนจากทุกจังหวัด กว่าร้อยละ 80 ต้องการครูคณิตศาสตร์ที่มีสมบัติดังนี้

อันดับ 1 มีความรู้ดี
อันดับ 2 ขยันสอนและมีความเอาใจใส่
อันดับ 3 หาโจทย์แปลก ๆ หรือข้อสอบอื่น ๆ มาให้ทำ
อันดับ 4 ตรวจการบ้านสม่ำเสมอ
อันดับ 5 สอนเข้าใจง่าย
อันดับ 6 สอนสนุก

และจากการทดลองให้นักเรียนระดับชั้นประถมปีที่ 6 และระดับมัธยมปีที่ 1-3 ในโรงเรียนชั้นนำแห่งหนึ่งจัดอันดับพฤติกรรมของครูคณิตศาสตร์ที่นักเรียนไม่ต้องการเพื่อนำมาปรับปรุงการเรียนการสอนของครู พบว่า 5 อันดับแรกที่น่าสนใจเป็นดังนี้

ระดับประถมปีที่ 6
อันดับ 1 ให้การบ้านเยอะ
อันดับ 2 จู้จี้ ขี้บ่น
อันดับ 3 สอนไม่รู้เรื่อง
อันดับ 4 เจ้าระเบียบ
อันดับ 5 ดุ

ระดับมัธยมปีที่ 1 - 3
อันดับ 1 ให้การบ้านเยอะ
อันดับ 2 จู้จี้ ขี้บ่น
อันดับ 3 ดุ
อันดับ 4 ลำเอียง ไม่ยุติธรรม
อันดับ 5 ประจานข้อบกพร่องของนักเรียน

จากข้อมูลที่กล่าวมานี้จะเห็นว่าคุณลักษณะของครูคณิตศาสตร์ที่นักเรียนจะชอบหรือไม่ชอบนั้น แบ่งได้เป็นสองด้าน คือ ด้าความรู้ และด้านคุณธรรม ซึ่งด้านคุณธรรมนั้นจะต้องนำด้านความรู้เสมอจึงจะทำให้เกิดบรรยากาศแห่งความสงบเย็นเป็นสุขแก่ทั้งผู้สอนและผู้เรียน

ด้านคุณธรรม นั้นผู้เขียนเห็นว่า ความเป็นผู้มีสติรู้ตัวทั่วพร้อมเสมอ เป็นองค์ธรรมที่สำคัญที่สุดที่จะคุ้มครองตนของครูคณิตศาสตร์ เพราะธรรมชาติวิชาที่เป็นนามธรรม การนำเสนอแนวคิดและหลักทฤษฎีต่าง ๆ แก่ผู้เรียนเป็นเรื่องยากต้องเชื่อมโยงกระบวนการคิดต่าง ๆ อย่างเป็นขั้นตอนที่สมเหตุสมผล ผู้สอนต้องมีความตั้งใจ มีสมาธิ มีวิริยะอุตสาหะ อดทนและต้องทนให้ได้กับความไม่รู้ของคนซึ่งอาจทำให้ลุแก่โทสะได้ตลอดเวลา ต้องใช้สติอย่างสูงยิ่ง

การฝึกสติ สมาธิ ตามแนวทางสติปัฎฐานสี่ของพุทธศาสน์อย่างถูกต้องและจริงจังเป็นความจำเป็นอย่างยิ่งที่ครูควรทุ่มเทและฝึกฝน เพราะสิ่งนี้จะทำให้เราสามารถดำรงสถานภาพของความเป็นครูคณิตศาสตร์ที่ดีได้อย่างแท้จริง เมื่อผู้สอนเป็นผู้เปี่ยมสติ ย่อมเสริมสร้างความมีสติให้แก่ผู้เรียนได้ เมื่อสติมาปัญญาย่อมเกิดโดยธรรมชาติของความเป็นเหตุและผล การใช้ความคิดอย่างมีคุณภาพย่อมเกิดขึ้น การวิเคราะห์ สังเคราะห์ แนวคิด หลักทฤษฎีที่เป็นนามธรรมย่อมเป็นไปอย่างมีประสิทธิผล สงบเย็นและเป็นบรรยากาศแห่งความอบอุ่น รักเอื้ออาทร ให้โอกาส และให้อภัย ใจเปิดกว้าง

ด้านความรู้ ครูคณิตศาสตร์จะต้อง รู้แจ้ง และรู้จริงในสิ่งที่สอน จึงจะเกิดความมั่นใจ ทำให้แกล้วกล้าร่าเริงในการสอน สร้างศรัทธาน่าเชื่อถือให้แก่ผู้เรียน เมื่อผู้เรียนศรัทธาในตัวผู้สอนแล้ว การนำเสนอสาระอะไรแม้นจะยากก็จะดูเหมือนง่าย และสามารถนำพาผู้เรียนไปสู่ความสำเร็จตามเป้าหมายได้ ในบริบทของการสอนนั้นครูคณิตศาสตร์ที่ดีควรสอนอย่างมีชีวิตชีวา คล่องแคล่ว กระฉับกระเฉง กระตือรือร้น ไม่เอื่อยเฉื่อย ครูไม่ควรนั่งสอน บ่น ดุ มีอาการซังกะตาย ดูถูกนักเรียน ขาดการเตรียมการ และไม่ฉลาด

ผู้เขียนมีหลักส่วนตัวบางประการในการเตรียมการสอนดังนี้
(1) ศึกษาหลักสูตร จุดประสงค์ คำอธิบายเนื้อหาในประเด็นพื้นฐานที่ผู้เรียนควรมี การเชื่อมโยงเนื้อหาที่สัมพันธ์กับรายวิชาที่สูงขึ้นเพื่อไม่ให้เป็นปัญหาต่อผู้เรียนเมื่อไปเรียนวิชาที่สูงขึ้น
(2) เตรียมเนื้อหาสาระที่จะสอนในแต่ละครั้ง ดังนี้
(2.1) นิยาม บทนิยามต้องกระชับรัดกุม เตรียมตัวอย่างประกอบนิยาม คัดเลือกตัวอย่างที่เหมาะสมที่สุด ตัวอย่างถูกจะต้องครอบคลุมและหลากหลาย ที่สำคัญควรมีตัวอย่างผิดประกอบในการสอนด้วย
(2.2) ทฤษฎีบท ตรวจสอบข้อความในตัวทฤษฎีบทให้รอบคอบ เงื่อนไขต้องไม่บกพร่องตกหล่น เลือกสรรแนวทางที่ดีที่สุดในการพิสูจน์เพื่อนำเสนอแก่ผู้เรียนเตรียมตัวอย่างประกอบทฤษฎีให้เหมาะสม และเพียงพอ
(2.3) เตรียมแบบฝึกหัด โดยคัดเลือกแบบฝึกหัดที่เหมาะสม สอดคล้องกับวัตถุประสงค์และเนื้อหาที่สอน ไม่มากหรือน้อยเกินไป ทั้งนี้โดยใช้ดุลยพินิจตามประสบการณ์
(2.4) เตรียมแบบทดสอบ และ/หรือ ข้อสอบที่เคยใช้ทดสอบ หรือสอบแข่งขันในเรื่องที่สอนนั้นโดยพิจารณาคัดสรรอย่างเหมาะสมที่จะช่วยเติมเต็มแนวคิดแก่ผู้เรียนให้เห็นแนวการประยุกต์มากยิ่งขึ้น
(3) วางแผนการดำเนินการสอนโดยมีหลักการให้ผู้เรียนมีส่วนร่วมมากที่สุด เมื่อผู้เรียน รู้ และเข้าใจในแนวคิด หลักการตามเป้าหมายที่ตั้งไว้แล้ว ต้องให้โอกาสแก่ทุกคนได้ฝึกทักษะในการคิดโจทย์จากแบบฝึกหัด แบบทดสอบหรือข้อสอบ และให้ทราบผลจากการทำโจทย์นั้นในทุกครั้งที่มีการสอน
(3) ให้แบบฝึกหัดเป็นการบ้านโดยเลือกสรรข้อที่เหมาะสม ตรวจและให้คำแนะนำ
(4) กำหนดเวลาที่ผู้เรียนจะพบเพื่อปรึกษาถึงปัญหาต่าง ๆ เกี่ยวกับการเรียนคณิตศาสตร์ในรายวิชาที่สอน
(5) นำเสมอและเก็บรวบรวมข้อบกพร่องต่าง ๆ ในแนวคิดของเนื้อหาสาระที่เกิดขึ้นกับผู้เรียนเพื่อใช้เป็นข้อมูลในการป้องกัน และแก้ไขข้อผิดพลาดในลักษณะต่าง ๆ ที่อาจเกิดขึ้นซ้ำอีกได้
(6) เนื้อหาใดที่เกี่ยวข้องกับนิยามหรือทฤษฎีที่สามารถสร้างรูปแบบความคิดเชิงวิพากษ์ (Critical Thinking) ที่เรียกว่า "อย่างนี้ผิดนะคุณ" ก็จัดเตรียมไว้นำเสนอในจังหวะที่เหมาะสมเพื่อให้ข้อคิดแก่ผู้เรียนได้เป็นอย่างดี

เนื้อหาคณิตศาสตร์นั้นมีความสัมพันธ์เชื่อมโยงกันเป็นลำดับอย่างชัดเจนเสมือนลูกโซ่ ถ้าโซ่ข้อที่ 6 ขาดไปก็มิอาจดำเนินข้อ 7 ต่อไปได้ เมื่อพื้นฐานคณิตศาสตร์ในระดับประถมศึกษาย่อมมีผลกระทบต่อการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษา และอุดมศึกษาอย่างหลีกเลี่ยงไม่พ้น ดังนั้นครูคณิตศาสตร์ในระดับประถมศึกษาจึงเป็นผู้ที่มีความสำคัญที่สุดเพราะเป็นผู้วางรากฐานอันสำคัญที่สุด ถ้าท่าปลูกฝังพื้นฐานและเจตคติที่ดีต่อการเรียนคณิตศาสตร์ให้ลูกศิษย์ท่านได้ ก็จะก่อกุศลผลบุญอันยิ่งใหญ่ มิเช่นนั้นแล้วก็จะเป็นการกลบฝังเขาให้ผจญกับวิบากกับความขลาดเขลาสะดุ้งผวาต่อศาสตร์แห่งการคำนวณอันเป็นสุดยอดทักษะขีวิตไปอย่างน่าเสียดาย

" ปากเป็นเอก เลขเป็นโท หนังสือเป็นตรี ชั่วดีเป็นตรา" คำกล่าวนี้เป็นที่รู้กันดีในวงการศึกษาของไทย แต่ทำไม ตัวเลข จึงเป็นไม้เบื่อไม้เมาสร้างความชลาดเขลาให้ผู้เรียนมาตลอด "วิชามันยาก หรือเพราะอะไรกันแน่" แล้วแก้กันไม่ได้จริง ๆ หรือ ก็แล้วทำไม เด็นที่เรียนคณิตศาสตร์ได้ดีแล้วจึงถึงกับหลงในมนต์เสน่ห์ของตัวเลขเป็นอย่างยิ่ง โดยไม่ต้องอาศัยสิ่งล่อ หรือสิ่งเร้า ภายนอกไปกระตุ้นแต่อย่างไร มันแปลกเหมือนกัน ... มีคำกล่าวขานที่ผ่านมาว่า "สุขใดจะเสมือนกับแสงสว่างแห่งปัญญาไม่มีอีกแล้ว" ถ้าครูคณิตศาสตร์ที่รักและเชื่อมั่นศรัทธาในวิชาชีพแห่งตนได้แสวงหาหนทางที่สร้างพลังที่จะปลูกเร้ากระแสความรัก ใฝ่เรียน ใฝ่รู้ ในศาสตร์แห่งปัญญาที่นอนนิ่งในจิตใต้สำนึกของศิษย์ให้ลุกโชนขึ้นมาได้ย่อมก่อประโยชน์สุขอันยิ่งใหญ่ และเป็นมูลฐานที่สำคัญยิ่งต่อการพัฒนากายและจิต สังคม บ้านเมืองต่อไป

โจทย์ใหญ่ในใจท่านลองถามดูถี " ท่านจะเป็นผู้ปลูกต้นไม้ในใจเด็กให้งอกงามเติบโต หรือจะเป็นผู้กลบฝังต้นไม้ต้นไม้ในใจเขาให้อับเฉาและร่วงโรยแล้วตายไปในที่สุด "

ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/

ความสงบสุขสันต์
ธรรมชาติกับมนุษย์ต่างหมายปอง

พายุฝนที่บ้าคลั่งทำให้สรรพสัตว์ต่างเศร้าหมองระทมทุกข์ แต่แสงแดดและสายลมโชยพลิ้วผ่านทำให้พืชพันธุ์ชื่นบาน ตื่นตัวมีชีวิตชีวา ฟ้าดินมิอาจไร้ความราบเรียบได้แม้สักวัน จิตใจคนเราก็เช่นกันมิอาจไร้ความสุขสบายใจได้แม้สักวัน

....จากคัมภีร์รากผัก

Link เข้าบล็อกดี ๆ ของครูพี ฟรี ฟรี
ธรรมะ
โหราศาสตร์







ด้วยความปราถนาดี
ครูPEE/

จำนวนจิตวิญญาณ...มหัศจรรย์แห่งชีวิต

ปีทาโกรัส แห่งซามอส ยอดนักปรัชญาชาวกรีกซึ่งถือว่าเป็น ํบิดาแห่งวิชาคณิตศาสตร์" อันเป็นศาสตร์เอกแห่งการคิดและการคำนวณ ได้กล่าวถึงอิทธิพลของจำนวนที่มีผลต่อการเรียนรู้เรื่องราวของธรรมชาติไว้ว่า

"การเรียนรู้เรื่องของจำนวนก็คือการเรียนรู้เรื่องราวต่าง ๆ ของธรรมชาตินั่นเอง"

ปีทาโกรัสสนใจในคณิตศาสตร์เนื่องด้วยความเชื่อที่ว่า จำนวนมีความสัมพันธ์เชื่อมโยงกับศาสตร์ทุกศาสตร์ ท่านได้ให้มุมมองเพิ่มเติมในเรื่องเหล่านี้ว่า

" จำนวนเป็นสิ่งที่มีระเบียบแบบแผนอันเป็นหลักของธรรมชาติ ศาสตร์เกี่ยวกับระบบจำนวนนั้นมีประโยชน์อย่างยิ่งต่อการดำรงชีวิตของมนุษย์ การทำงานทุกชนิดต้องมีเรื่องของจำนวนเข้ามาเกี่ยวข้องด้วยเสมอ"

Numerology หรือศาสตร์แห่งจำนวนนั้นเป็นศาสตร์สากลที่มีมานานมากกว่าพันปี กำเนิดขึ้นจากการเก็บรวบรวมข้อมูลเชิงสถิติ เป็นการศึกษาเรียนรู้ตามหลักวิทยาศาสตร์ มีการประมวลผลไว้เป็นหลักฐานเพื่อการอ้างอิงสืบค้นถ่ายทอดต่อเนื่องกันมา

ปัจจัยที่ทำให้จำนวนมาเชื่อมสัมพันธ์กันกับ "โหราศาสตร์" ซึ่งเป็นศาสตร์แห่งดวงดาวที่โบราณจารย์คิดค้นขึ้นมานั้น ก็โดยอาศัยพลังแห่งการดูดผลักจากดวงดาวที่สถิตบนฟากฟ้าที่เฝ้ามองดูชีวิตแต่ละชีวิตในสนามพลังงานแห่งจักรวาลที่ดำเนินไปบนวิถีต่าง ๆ มานานนับเป็นเวลากว่าสองพันปีจนในที่สุดก็สามารถจำแนกกรรมของแต่ละคนนั้นว่ามีอยู่ เป็นอยู่อย่างไร และนำเข้ามาอยู่ในกรอบที่สามารถจะนำมาตรวจดูได้ การทดลองสังเกต และบันทึกมาด้วยเวลาอันยาวนานผ่านมาด้วยความมีน้ำอดน้ำทนด้วยจิตใจใฝ่รู้อย่างน่าสรรเสริญจนได้หลักการอันเป็นเกณฑ์ที่จะใช้กลั่นกรองวิเคราะห์ชีวิตของผู้คนได้อย่างแม่นยำเป็นการเปิดอ่านสมุด "ชะตาชีวิต" หรือ "กรรมเก่า" ที่ติดตัวมาของแต่ละคนจากแต่ละภพชาติที่วาดไว้ในสมุดบันทึกที่ไม่อาจมองเห็นความเป็นมีได้ ของใครของมัน มีเพียงโหราศาสตร์ หรือ ศาสตร์อันมหัศจรรย์นี้เท่านั้นที่จะเปิดเผยความลี้ลับนี้ได้ อันจะทำให้เจ้าของดวงชาตานั้นรู้และเข้าใจตนเอง และประยุกต์เป็นยุทธวิธีในการนำชี้ปรุงแต่งครรลองวิถีชีวิตได้อย่างเหมาะสม และมีประสิทธิภาพ เรียนรู้ เข้าใจ และไม่ประมาท

นักพยากรณ์ศาสตร์จะต้องมีพื้นฐานความรู้เกี่ยวกับดวงดาวแต่ละดวง และกำหนดเป็นตัวเลขที่สัมพันธ์กับดวงดาวนั้นไว้อย่างชัดเจนเพื่อความแม่นยำกับคำทำนาย

ในบล็อกนี้ผู้เขียนจะขอนำเสนอเฉพาะบทบาทของจำนวนจิตวิญญาณ(Soul Number) ซึ่งเป็นเพียงเกร็ดเล็ก ๆ เกร็ดหนึ่งเพื่อให้ผู้อ่านได้ทึ่งใจในความมหัศจรรย์อันน่าพิศวงที่เชื่อมโยงระหว่างจำนวนกับจิตวิญญาณแห่งตนเอง

เนื่องจากคนแต่ละคนต้องมีตัวเลขประจำดวงชีวิตของตนซึ่งแต่ละคนก็มีแตกต่างกันไป นั่นคือจำนวนที่กำหนดจาก วัน เดือน ปี ที่เกิด สิ่งเหล่านี้จะเป็นตัวบ่งชี้คุณลักษณะจำเพาะของดวงดาวประจำชีวิตของคนคนนั้น ๆ อันจะส่งผลให้วิถีชีวิตดำเนินไปภายใต้เงื่อนไขที่แตกต่างกัน

การถอดรหัสค่าของจำนวนเฉพาะของแต่ละคนแล้วนำมาใช้เป็นหลักในการพยากรณ์จัดว่าเป็นศาสตร์แห่งจำนวนตามหลักสากล เป็นศาสตร์ที่เกี่ยวข้องและสัมพันธ์กันทั้งในทางวิทยาศาสตร์ ดาราศาสตร์ ปรัชญา และจิตวิทยาโดยรวมซึ่งเรียกว่า ศาสตรแห่งตัวเลข(Astrology Numerology)

จำนวนที่ส่งอิทธิพลกับชาตาชีวิตของคนเรามีหลายรูปแบบ เช่น จำนวนประจำวันเกิด(Personal Number) จำนวนประจำวันเดือนปีเกิด(Soul Number) เป็นต้น

เนื่องจากจำนวนประจำวันเดือนปีเกิด ซึ่งในที่นี้จะเรียกว่า "จำนวนจิตวิญญาณ" นั้นเป็นปัจจัยสัมพันธ์ และสำคัญเชื่อมโยงกับชีวิตเรามากที่สุด จำนวนดังกล่าวนี้จะคอยชี้และติดตามชีวิตเราไปในหลากหลายรูปแบบ การขับเคลื่อนชีวิตไปในทิศทางใดย่อมได้รับพลังจากจำนวนนี้อย่างไม่อาจหลีกเลี่ยงได้ ดังนั้นเราควรศึกษาและถอดรหัสชีวิตเพื่อทราบเป็นพื้นฐานแห่งดวงชาตาว่าตกอยู่ภายใต้อิทธิพลแห่งดาวดวงใด

จำนวนจิตวิญญาณในที่นี้จะแทนด้วยสัญลักษณ์ SN เพื่อความสะดวกต่อการอ้างอิง ด้วยเหตุที่ SN นั้นเป็นจำนวนที่ถอดรหัสจากวัน เดือน และปีเกิด (ค.ศ.) การถอดรหัสพิจารณาได้ในตัวอย่างต่อไปนี้

ผู้ที่มี วัน เดือน และปีเกิด เป็น วันที่ 13 เดือน มีนาคม ปี พ.ศ. 2525 มีวิธีคำนวณจำนวน SN ดังนี้
เปลี่ยน พ.ศ. เป็น ค.ศ. โดยใช้ 543 ไปหักออก จะได้ 2525 - 543 = 1982
พิจารณา
13 (วันที่ ที่เกิด) + 3 (เดือนที่เกิด) + 1982 (ปี ค.ศ.ที่เกิด) กระจายเป็น
1 + 3 + 3 + 1 + 9 + 8 + 2 = 27
นำ 27 มากระจายเป็น 2 + 7 = 9
ดังนั้นบุคคลนี้มีรหัสจำนวนจิตวิญญาณ(SN) เป็น 9

เลข SN ที่กำหนดได้จะเป็นไปได้ตั้งแต่ 1 ถึง 9 เมื่อคำนวณเลข SN แล้วก็นำไปตรวจสอบคุณลักษณะจากฝอยคำทำนายดังต่อไปนี้

(1) ผู้มี SN เป็น 1
" ความสำเร็จทั้งมวลล้วนขึ้นอยู่กับความมุ่งมั่นฟันฟ่า ด้วยหนึ่งสมองและสองมือของตนล้วน ๆ"

คุณเป็นคนที่ทั้งชีวิตจะต้องทำทุกอย่างด้วยตนเอง ถึงแม้นจะรำรวยมีเงินทองไม่ขาดมือก็ตามแต่ก็ยังต้องทำงาน สามารถทำงานที่มีเกียรติ และอยู่ในตำแหน่งหน้าที่การงานที่สูงเหนือคนอื่นได้ มีสัญชาตญาณในการมองคนได้ลึกซึ้งถึงแก่นแท้ ถ้าทำงานด้านการเมืองการปกครองจะโดดเด่นโดยเฉพาะหากเป็นผู้เกิดในเดือนมกราคม หรือตุลาคมด้วยแล้วล่ะก็ขะมีชื่อเสียง อำนาจ และอิทธิพลในสิ่งแวดล้อมของตัวเองอย่างมาก มีดวงในการเปลี่ยนแปลงบ่อย ๆ มีการเดินทางเสมอ ๆ กล่าวได้ว่าไม่อยู่นิ่งติดที่ บางคนร้อนที่อยู่กว่าจะลงหลักปักฐานที่ใดที่หนึ่งได้ก็โยกย้ายเสียจนเหนื่อยล้าแล้วดวงชาตาของคุณถึงแม้นไม่ได้เกิดมาในครอบครัวที่ร่ำรวย แค่ก็สามารถสร้างหลักฐานของตนได้อย่างเป็นปึกแผ่นมั่นคงได้ และมักทะเยอทะยานไม่ค่อยพอใจในสิ่งที่ตัวเองมีอยู่ทำให้ต้องแสวงหาเพิ่มขึ้นอยู่เรื่อย ๆ ไม่ควรร่วมหุ้นลงทุนกับญาติพี่น้องเพราะจะมีการทะเลาะเบาะแว้งแตกหักกันได้ ควรจะทำเองคนเดียวเพราะโชคลาภเงินทองนั้นมาจากสติปัญญาและความสามารุถของคุณเองอยู่แล้ว มีข้อเสียอยู่บ้างคือมักดื้อรั้นมิค่อยยอมรับฟังใคร สิ่งที่ต้องระวังในโชคชะตาคือ อารมณ์ความรู้สึก และวิธีคิดประเภท คิดเร็ว ทำเร็ว หุนหันพลันแล่น หากจะสูญเสียผิดพลาดก็เพราะตัวเองนั่นแหละเป็นคนทำ แต่อย่างไรเสียเงินทองจะมีพอใช้ไม่ขาดมือ ระวังแต่ว่าคุณเองจะรู้สึกว่าเงินนั้นหามาง่ายจึงใช้จ่ายสุรุ่ยสุร่ายไม่มีเหลือเก็บ

ด้านความรัก ครอบครัวนั้นมักไม่ค่อยมีความสุขแท้จริงนัก คุณเองชอบทำตัวเป็นผู้นำ กดดันและเอาแต่ใจกับคู่ครองคนรักจึงมักทำให้เกิดความรุ่มร้้อนหม่นไหม้ในครอบครัวอยู่เสมอ มีดวงอย่าร้างกับคนรักด้วยเหตุเพราะอารมณ์ตนนั่นแหละ ส่วนใหญ่มักแต่งงานมากกว่าหนึ่งหน ทำให้ตนต้องเปล่าเปลียวเดียวดายในบั้นปลายชีวิต อ้างว้างโดดเดี่ยวเพราะสมบัติมากแต่หลากเศร้าเพราะเหงาหงอย
บั้นปลายชีวิตคุณจะสมบูรณ์พร้อม คุณเป็นคนที่มีสิ่งศักดิ์สิทธิ์คุ้มครองดี ถ้าคิด พูด และทำดีก็จะเกิดความสุขกับชีวิตมากมายทีเดียว ปล่อยวางเสียบ้างทุกอย่างอย่าเอาแต่ใจตัวมากไปจะได้ใช้ชีวิตบั้นปลายอย่างเป็นสุขและสนุกกับความรักได้อย่างมั่นคง


(2) ผู้มี SN เป็น 2
" เสน่ห์และความนุ่มนวลอ่อนหวานจะนำความชื่นบานมาให้ "

คุณเป็นคนมีนิสัยอ่อนนอกแข็งใน ภายนอกดูนุ่มนวลมีเสน่ห์ แต่ภายในซับซ้อนเข้าใจยาก เป็นคนถือดีและถือตัวเองเป็นใหญ่ ถ้าปักใจเชื่อสิ่งใดแล้วยากที่จะเปลี่ยนใจ ชอบสร้างชีวิตด้วยลำแข้ง น้ำพักน้ำแรง และฝ่าฟันอุปสรรคด้วยตนเอง มีความสามารถรอบตัว ถึงแม้นจะไม่โดดเด่นด้านใดด้านหนึ่งเป็นพิเศษ แต่ก็จะประสบความสำเร็จได้ดี เมื่อเล็ก ๆ มีบ่อยครั้งที่ต้องหยุดเรียนเสียกลางครันแต่อย่างไรก็จะเอาดีจนได้ เพราะแรงทะเยอทะยาน อนาคตจะดีหรือร้ายขึ้นกับใจของเจ้าของ การทำงานจะก้าวหน้าด้วยมันสมอง และความอุตสาหะที่ดีเยี่ยมของตนเอง เป็นคนมีความคิดสร้างสรรค์ด้านการสร้างสิ่งแปลกใหม่ อาชีพการงานก้าวหน้าไปข้างหน้าอย่างช้า ๆ แต่มั่นคง งานราชการจะเหมาพมาก หากทำธุรกิจของตนเองจะไม่ค่อยมั่นคงมากนัก มีงานให้ทำมากมาย สามารถมีหน้าที่การงานใหญ่โต แต่ควรระวังการดื้อรั้นไม่เชื่อฟังคำใครเอาไว้บ้าง เพราะจะทำให้การงานหยุดชะงัก หรือเจ้านายไม่ส่งเสริมช่วยเหลือก็อาจเป็นได้
เป็นคนใช้เงินแบบประหยัดจนอาจเรียกได้ว่า ตระหนี่ แต่จะใช้จ่ายในเรื่องการเดินทางเสียมากชนิดที่เมื่อชอบซะอย่างถึงไหนถึงกัน มีเงินเดือนประจำดีกว่ามีเงินได้จากการค้าขาย โดยพื้นฐานดวงชาตาแล้วอาจมีเหตุผิดพลาดทางการเงินเกิดขึ้นได้ อาจต้องขึ้นโรงขึ้นศาล และมีเรื่องต้องเสียเงินเพราะลูกน้องหรือบริวาร ให้ความช่วนเหลือจุนเจือพ่อแม่พี่น้องอย่างสมำ่เสมอ ญาติพี่น้องจะได้พึ่ง และอนาคตอาจได้ดีในที่ไกลบ้าน
มีความรักมากมายไม่รู้จบ ลุ่มหลงในเสน่ห์ของเพศตรงข้ามเสมอ แต่ความสัมพันธ์ไม่เคยหยุดลงตรงคนใดคนหนึ่ง เป็นคนโลเลเปลี่ยนใจง่าย มากรักและมากเรื่องกับความรัก การแต่งงานและการครองคู่เอาแน่นอนอะไรไม่ได้ อาจหย่าร้างและเสมือนเป็นบาดแผลของชีวิตรักถ้าพ่อแม่หย่าร้างกันในวัยเด็ก ด้วยความรักที่ขาดหายจะทำให้ไว้ใจใครมากนักมิได้ การอยู่ร่วมกันกับใครเป็นเรื่องยาก เจ็บช้ำคร่ำครวญแต่กับอดีต ผลสุดท้ายคนที่รักไม่ได้ คนที่ได้ก็ไม่ได้รัก จะรู้จักความรักที่แท้จริงเมื่อเข้าสู่วัยกลางคนแล้ว มักมีปัญหาเรื่องภูมิแพ้ เป็นหวัดง่าย แพ้อากาศเสมอ มีโอกาสที่จะได้รับมรดกเป็นอสังหาริมทรัพย์ที่คุณจะพอใจ ไม่ค่อยจะมีโชคลาภแบบฟลุค ๆ ที่ชัดเจนคือเป็นคนมีดวงทางการเดินทางตลอดเวลา เดินทางไปไกลได้มากเทาไหร่ยิ่งดี ไปในทิศตะวันออกจะได้รับสิ่งแปลกใหม่ จะได้ประโยชน์จากการเดินทาง การประกอบอาชีพเกี่ยวกับน้ำ หรืออยู่อาศัยใกล้ ๆ น้ำจะนำลา่ภผลทางการเงินมาให้

(3) ผู้มี SN เป็น 3
" พลังแห่งการสร้างสรรค์ และความเชื่อมั่นศรัทธาจะนำพาคุณไปสู่ความสำเร็จ "

คุณเป็นคนฉลาด สติปัญญาดี มีไหวพริบทันคน แก้ไขสถานการณ์เฉพาะหน้าได้อย่างฉับไว แต่มักจะมั้่นใจในสติปัญญาของตนมากจนเกินไป จนบางครั้งไม่ยอมรับฟังความคิดเห็นของคนอื่น ข้อดีคือชอบศึกษาความรู้หลาย ๆ ด้าน เป็นคนเรียนรู้เร็ว ความรู้ความสามารถที่มีจะช่วยได้ยามคับขัน แต่ควรระวังว่าชีวิตมักจะมีมุมหักเหได้ง่ายจะเกิดเหตุการณ์ที่เปลี่ยนแปลงชีวิตจากหน้ามือเป็นหลังมือก็ได้ดังนั้นควรเรียนรู้ไว้ทั้งวิชาการและวิชาชีพจะช่วยได้มาก หากรู้ด้านใดด้านหนึ่งเพียงอย่างเดียวจะกลายเป็นความรู้ท่วมหัวเอาตัวไม่รอด โดยดวงชาตาแล้วสามารถเป็นใหญ่ได้เป็นโตได้ เป็นครู เป็นนักกฎหมายจะเหมาะมากเพราะเป็นคนที่ไม่ได้ต้องการสีสันของชีวิตมากนัก มีความสามารถในการสั่งสอนอบรมหรือให้คำปรึกษา หรือนักจิตวิทยาก็ได้ และสามารถใช้ไหวพริบในการประกอบอาชีพได้ดี ถ้าเป็นอาจารย์สอนภาษาต่างประเทศ หรือเป็นอาจารย์แนะแนว
เป็นคนรักพวกพ้องลูกน้องและบริวาร มีแต่คนรักคนเกรงแม้ว่าจะรักสันติและรักความยุติธรรม แต่ชอบเข้าไปยุ่งเกี่ยวกับผู้มีอิทธิพล ชอบแก้ปัญหายุ่งยากของใครต่อใครให้ผ่านพ้น ชอบจัดระบบระเบียบชีวิตของตนเองและผู้อื่น มีความเชื่อมั่นศรัทธาในศาสนาค่อนข้างมาก เป็นคนซื่อตรง แต่ไม่เด็ดขาด ทำให้มีข้อเสียคือระมัดระวังในการตัดสินใจเรื่องสำคัญ ๆ มากเกินไปซึ่งบางครั้งทำให้เริ่มต้นช้ากว่าคนอื่น แต่โชคดีคือผู้ใหญ่มักให้การสนับสนุน
เป็นคนเก็ยเงินอยู่มือ และจับอะไรเป็นเงินเป็นทอง หาเงินคล่อง มีนิสัยขี้เหนี่ยวไม่ชอบใช้เงินมากนัก ค่อนข้างรักอิสระ ฉะนั้นงานที่เหมาะคืองานธุรกิจที่จะทำเงินได้คล่อง หรืองานพิเศษที่ทำเป็นครั้งคราวก็จะได้เงินค่อนข้างมาก ชาตาด้านการเงินค่อนข้างขึ้น ๆ ลง ๆ


(4) ผู้มี SN เป็น 4
" ชีวิตจะมีความมั่นคงได้โดยไม่จำเป็นต้องตีกรอบ หรือล้อมคอกสิ่งใด ๆ เลย"


คุณเป็นคนเหมาะที่จะทำมาหากินด้านการพูด การเขียน และการใช้จินตนาการ เป็นคนสนใจเรียนรู้สภาพสังคมและสิ่งต่าง ๆ รอบ ๆ กาย รอบรู้ ชอบวิจัย วิจารณ์ และวิเคราะห์หาเหตุผลอยู่ร่ำไป เป็นคนมีเสน่ห์ นุ่มนวล อยากให้คนอื่นเห็นคุณค่าและความสามารถ จิตใจดีแต่ค่อนข้างอ่อนไหว รักตัวเอง จนบางครั้งต้องชิงทำร้ายจิตใจคนอื่นเสียก่อนเพราะความหวาดเกรงว่าคนอื่นจะทำให้เสียใจ
มีข้อเสียด้านอาชีพการงาน คือ มักไม่ค่อยพอใจกับตำแหน่งหน้าที่ของตนเอง แต่จะชื่นชมกับชื่อเสียงและรางวัลที่ได้ ทำอะไรที่ไม่ได้เงินก็ไม่เป็นไรแต่ขอให้ได้ชื่อเสียงเกียรติยศก็พอ อันที่จริงเป็นคนที่มีความสามารถเพียงพอที่จะทำงานหรือเป็นผู้นำ แต่มักไม่ค่อยมั่นใจกับตัวเอง อาชีพทางด้านช่าง นักแกะสลักผลไม้ ครูอาจารย์สอนศิลปะจะสามารถทำได้ดี ดวงชาตาจะต้องทำงานไปตลอด อนาคตจะก้าวหน้าทางการงานอย่างเด่นชัดเป็นการก้าวไปอย่างช้า ๆ งดงาม และมั่นคง
เป็นคนหาเงินเก่ง แต่มักใช้จ่ายสุรุ่ยสุร่ายไม่ระวัง มีทางที่เงินทองจะรั่วไหลไปบ้างเพราะตัดสินใจผิดพลาด ถ้าประมาทในการใช้เงินจะเดือดร้อนวิ่งเต้นดิ้นรนหลายครั้ง บั้นปลายชีวิตจะสุขสบาย โอกาสจะร่ำรวยได้มากน้อยเพียงใดขึ้นอยู่กับตนเองเป็นสำคัญ
คนรหัสนี้มักมีจิตใจโลเลไม่ค่อยเข้าใจตนเอง ยากที่คนอยู่ใกล้จะเข้าใจความรู้สึกนึกคิด มีนิสัยอ่อนไหว โลเล ไม่มั่นใจ ถ้าแต่งงานแล้วจะมีความสุขในระยะ 2- 3 ปีแรกเท่านั้น มีอยู่มากที่คนรหัสนี้ต้องพบกับการหย่าร้างเพราะความไม่เข้าใจในตนเอง และคู่ครองคนรักก็ดูแลความรู้สึกให้ไม่ไหว บั้นปลายชีวิตค่อนข้างเงียบเหงาต้องเดียวดาย ถ้าไม่ระวังใจตนให้ปกติก็จะเป็นคนซึมเศร้าเงาหงอยขาดกำลังใจไร้ชีวิตชีวา
สุขภาพร่างกายที่ต้องระวัง คือ การปวดศรีษะ ไมเกรน ภูมิแพ้ และความเรียด ไม่ค่อยมีดวงทางโชคลาภ ต้องทำเองจะพึ่งพาคนอื่นมิค่อยได้


(5) ผู้มี SN เป็น 5
"ในความไม่มั่นคงของบางสิ่ง แต่มันกลับเป็นความมั่นคงของชีวิตคุณ"

คุณเป็นผู้มีบุคลิกดี มั่นคง สง่างาม และมักแสดงออกอย่างชัดเจนว่าตัวเองมีความเหนือชั้นกว่าผู้อื่น นิสัยไม่ยอมแพ้ใคร ชอบเอาชนะในทุกเรื่อง มีอารมณ์ขัดแย้งในตนเอง ท่าทางภายนอกดูนุ่มนวลสุขุมแต่ด้านในเต็มไปด้วยความแข็งกร้าว บางครั้งอาจถึงกับมุทะลุดุดัน ถือทิฐิมานะอัตตาสูง มีสติปัญญาดี ฉลาดหลักแหลม เวลาดีก็ดีใจหายแต่เมื่อร้ายก็ร้ายสุด ๆไปเลย สนใจการศึกษาเรียนรู้ และอยากเรียนรู้ให้สูง ๆ เพื่อเอาชนะเหนือผู้อื่น
อาชีพที่เหมาะกับคุณ คือ ทหาร ตำรวจ ช่างทุกสาขา วิศวกร ผู้รับเหมาก่อสร้าง หรือไม่ก็เป็นครูหรือพยาบาล เป็นนักประชาสัมพันธ์ เป็นผู้ที่เรียนเก่งหาตัวจับยาก ชอบการทำงานหลายอย่างพร้อม ๆ กัน ถ้าทำธุรกิจส่วนตัวจะไปได้ไกล ถือกำเนิดในเรือนทรัพย์ เงินทองจะไหลมาเทมา เป็นคนหาเงินคล่องตัว แต่อาจจะผิดพลาดถึงกับทำให้ต้องล้มละลายได้เพราะตัวเองเป็นเหตุ เป็นคนอยู่เฉยไม่ได้อยากทำโน่นทำนี่มีนิสัยชอบเสี่ยงทางการเงิน การลงทุน เป็นคนกล้าได้กล้าเสียทุกเรื่องและค่อนข้างมือเติบ เสียเงินเพราะคนอื่นบ่อย ๆ แต่ดวงชาตาแบบนี้อนาคตจะมีเงินเยอะ
เป็นคนตกหลุมรักคนง่าย ถือความรักเป็นใหญ่มีอารมณ์เร่าร้อนรุนแรงด้านความรัก เวลาดีพอใจในคนรักก็มักเอาอกเอาใจไม่เคยห่าง ซื้อหาข้าวของมากำนัล แต่ในยามโกรธหรือไม่พอใจขึ้นมาก็มักจะกลายเป็นอีกคนหนึ่ง ตัดเยื่อใยไม่แยแสในความรู้สึกของคนอื่นด้วยซ้ำไป มีมากที่จะได้คู่ครองที่ผ่านการมีครอบครัวมาแล้ว ส่วนใหญ่จะเป็นคนเจ้าชู้มากรัก จุดอ่านของชีวิตคือความรักและกามรมณ์นี้แหละ และในวันกลางคนควรระวังเรื่องอื้อฉาวคาวโลกีย์หนี้รักเอาไว้ด้วย
ไม่ว่าชายหรือหญิงที่มีหมายเลข SN เป็น 5 มักหนีไม่พ้นคนทำให้เสียชื่อด้วยอวดดื้อถือมีมีมานะอหังการ์ของตน อาจประเมินคนและสถานการณ์ผิดพลาดได้ จะเกิดเรื่องเดือดร้อนเพราะเพศตรงข้าม หรือคนที่คบหาแบบฉาบเฉย
ปัญหาด้านสุขภาพเอาแน่นอนไม่ได้ ระวังโรคอัมพาต ประสาทเสื่อมเสีย อ่อนเพลียนอนไม่หลับกระสับกระส่าย ในช่วงหนึ่งของชีวิตลิขิตให้พบสุขสนุกสบายบนกองเงินกองทอง ชาตาชีวิตมีโอกาสได้รับมรดกก้อนโต


(6) ผู้มี SN เป็นเลข 6
" ทุกย่างก้าวควรเป็นไปอย่างช้า ๆ แล้วความสำเร็จอย่างสง่างามกำลังรอคุณอยู่"

คุณเป็นคนมีความละเอียดอ่อน ช่างเอาอกเอาใจ มีมารยาทนุ่มนวล มีความสามารถในการโน้มน้างจิตใจผู้คน มีเสน่ห์ที่คำพูดเสมอ ทำไรมักผ่านการไตร่ตรอง สุขุมรอบคอบ มีเหตุมีผลให้กับทุกสิ่งเสมอ มีสติปัญญาเฉียบแหลม มีความรู้ด้านหนึ่งด้านใดเป็นพิเศษ การศึกษาจะมีความโดดเด่นมากทางด้านศิลปะ หากได้เรียนศิลปะแขนงใดก็ตามจะประสบความสำเร็จ เรียนด้านออกแบบผม แต่งหน้า เสริมสวยหรือออกแบบเสื้อผ้าก็จะมีชื่อเสียงโด่งดัง แต่หากเรียนด้านวิชาการก็จะเป็นผู้ที่รอบรู้เฉพาะด้านที่ตนเองสนใจเป็นพิเศษ
เป็นนักพูด นักเขียน หรือเป็นพรีเซ็นเตอร์สินค้าก็จะทำรายได้ให้มาก เพราะดวงชาตาเป็นผู้มีอิทธิพลต่อคนอื่น เมื่อไหร่ที่ใช้วาจาให้เป็นประโยชน์ก็จะมีคนเชื่อ ควรระวังอยู่เรื่องเดียวคือจะตกเป็นเหยื่อ หรือเป็นเครื่องมือของคนชั่วในการทำงานอย่างใดอย่างหนึ่งได้เพราะเป็นคนมองโลกในแง่ดีเกินไป หากเกิดในครอบครัวร่ำรวยก็จะนำความร่ำรวยมาสู่ครอบครัวยิ่ง ๆ ขึ้นไป หรือไม่ถ้าเกิดในครอบครัวที่จนยากก็ไม่ลำบากเดือดร้อนเรื่องเงินทอง มีคนอุปถัมภ์ค้ำจุนหนุนให้สุขสบาย อาจได้มรดกตกทอดจากพ่อแม่ ญาติมิตร ดวงเสียเงินเสียทองต้องมีแน่เพราะชอบแก้ไขช่วยเหลือเจือจานคนจนยากหรือคนที่ด้อยกว่า
เป็นผู้มีดวงชาตาที่ใครเห็นใครก็รัก ทั้งเพศเดียวกันหรือต่างเพศ ถ้าเป็นชายก็บอกได้ว่าดวงนารีอุปถัมภ์ ดังนั้นจะได้รับความรักมากมายจากคนอื่น ๆ ผู้มี SN เป็น 6 ทั้งชายและหญิง จะเป็นมิ่งขวัญคู่รัก คู่ครองที่ดี มีความรับผิดชอบต่อครอบครัว ใครได้ไปเป็นคู่ก็นับว่าโชคดีมากทีเดียว จะได้รับความรักแท้ ความปราถนาดี สามารถครองคู่ครองใจกันไปจนแก่เฒ่า บั้นปลายชีวิตไม่ลำบากอย่างแน่นอน คนรหัสนี้มีครรลองชีวิตเป็นที่อิจฉาของคนโดยทั่วไป อนาคตเป็นเศษฐีมั่งมีเงินทอง นั่งกินนอนกิน ปัญหาอย่างเดียวในชีวิตคือเรื่องสุขภาพ มักจะเป็นคนอ่อนแอ เจ็บป่วยเสมอ ดวงชาตาอาจได้รับการผ่าตัดหรือเข้าออกโรงพยาบาลประจำ ระวังโรคที่คนส่วนน้อยเท่านั้นจะเป็น เป็นคนมีมิตรแท้และมิตรดีมีน้ำใจ เพราะเป็นผู้ทำความดีกับคนอื่นเสมอ ความดีนั้นย่อมสนองตอบตน ศัตรูไม่มีจะมีอย่างเดียวคือโรคภัยไข้เจ็บมักเบียดเบียนเสมือนเจ้ากรรมนายเวรที่ติดตามทวงถามเอาคืน

(7) ผู้มี SN เป็น 7
" ศัตรู คือ ความผิดพลาดที่มีไว้ให้คุณหยุดคิดพิจารณา ชัยชนะจะได้มาด้วยการต่อสู้"

เป็นคนที่จะประมาทเอาแน่นอนกับชีวิตมิได้ ไม่ชอบการเผชิญหน้า หรือทะเลาะเบาะแว้งกับใคร แต่เป็นคนไม่ยอมคน มักมีอุปสรรคที่ทำให้อารมณ์แปรปรวนรวนเร เดี๋ยวดี เดี๋ยวร้ายอยู่เสมอ และชอบเก็บความทุกข์หมกไว้ในใจตนเอง
ดวงชาตาขึ้น ๆ ลง ๆ โดยเฉพาะด้านความรัก และการเงิน พูดจาแบบขวานผ่าซากตรง ๆ จิตใจมักไร้ความเมตตา ชอบหาความรู้ใหม่ ๆ เสมอ แต่ก็มักไม่รู้จริงหรือรู้ลึกสักเรื่อง จดจำเรื่องราวต่าง ๆ ได้แม่นยำ นิสัยทะเยอทะยานรักการต่อสู้ไม่ว่าจะเป็นหญิงหรือชาย เหมาะที่จะเรียนทางด้านฝีมือทุกประเภท หากเรียนวิชาการอาจพบอุปสรรคมักเลิกเรียนกลางครัน ให้เลี่ยงการศึกษาที่ต้องใช้การพูดจาในการทำงาน เพราะพูดคำหวานกับใครไม่เป็น
ในดวงชาตาจะต้องทำงานหลายอย่างพร้อม ๆ กัน มีมากมายหลายอาชีพในคนคนเดียวแต่ก็มักไม่ค่อยพอใจกับงานที่ทำมากนัก ชอบแสวงหาสิ่งใหม่ ๆ เปลี่ยนแปลงงานไปบ่อย ๆ แทบจำไม่ได้ว่าเคยทำอะไรมาบ้าง และ มักผิดพลาดเพราะการตัดสินใจในการเปลี่ยนแปลงนี่แหละ ไม่ค่อยเหมาะที่จะเป็นเจ้าของกิจการเองนักเพราะยิ่งจะทำให้ล้มลุกคลุกคลานไม่สิ้นสุด ควรเป็นลูกจ้างในองค์กรมากกว่า เพราะกว่าจะสำเร็จและบรรลุในสิ่งที่มุ่งหวังก็เหนื่อยสายตัวแทบขาด บางคนพลัดพรากจากเก้าอี้ตำแหน่งได้แบบไม่ได้ตั้งตัว ดวงชาตาจะผลักพาให้พบกับจุดวิกฤตในชีวิตหลายครั้งหลายคราว
สามารถสร้างหลักฐานให้ตัวเองมีเงินและฐานะได้แต่ก็เป็นผู้ทำลายมันซะเองแหละช่างน่าเจ็บใจชะมัด ระวังการตัดสินใจผิดพลาดด้านการงานอันจะส่งผลกระทบต่อความมั่นคงของงานหรือการเงิน แต่ถ้ารู้ระบบบริหารงานการเงินก็อาจรอดตัว ถ้าแต่งงานก็จะเป็นคู่ครองที่ไม่ค่อยจะเอาไหนสักเท่าไหร่ สามวันดีสี่วันร้ายภายใต้ความเป็นทาสของอารมณ์ อารมณ์เป็นใหญ่เป็นนายเหนือเหตุผล จะนำมาตัวเองเข้าสู่ปัญหาการอย่าร้างได้ อาจแต่งงานสองครั้ง สร้างครอบครัวสองหน หยิ่งในศักดิ์ศีจนบางครั้งต้องสูญเสียความรักไปด้วยเรื่องที่ไร้เหตุผลพาตนตกอับอาภัพโชคในเรื่องที่ดี ดี นี้ซิน่า
เป็นผู้ที่ไม่ค่อยเจ็บไข้ได้ป่วย นอกจากเครียด และวิตกกังวล และหากดื่มแอลกอฮอล์ คลอเคล้ากับยากล่อมประสาทอาจพบพาปัญหาได้ บั้นปลายชีวิตอาจเกิดเบื่อหน่ายสิ่งที่ได้ทำอยู่มาก ๆ จนหันหลังปลดวางไปใส่ใจในศาสนา

(8) ผู้มี SN เป็น 8
"การขยายตัวทุกสิ่งรอบกายคุณเป็นไปได้ทั้งความเจริญก้าวหน้าและความห่างเหิน"

คุณเป็นคนเฉลียวฉลาด มองกว้างคิดไกล วิสัยทัศน์แจ่มใส เข้าอกเข้าใจผู้อื่น มีมารยาทนุ่มนวล รสนิยมสูง ไม่ค่อยยอมแพ้พ่ายต่ออุปสรรคกีดขวาง แต่มักหงุดหงิรำคาญกับการไม่ตรงเวลาของใคร ๆ และความไร้ระเบียบของสังค แต่มิใช่คนก้าวร้าว ยอมรับนับถือในความคิดเห็นของผู้อื่น
มีอารมณ์รักในศิลปะ สามารถเรียนรู้วิชาด้านศิลปะไปพร้อมกับวิชาการด้านอื่น ๆ ได้ ด้านต่างประเทศษ ภาษาศาสตร์ และเศรษฐศาสตร์จะเหมาะกับบุคลิกลักษณะนิสัยมากทีเดียว เหมาะที่จะทำงานที่ต้องใช้ความสุขุมรอบคอบ หรือให้คำปรึกษาเกี่ยวกับบัญชีและที่ปรึกษากฎหมาย เป็นคนมีความเป็นผู้นำที่ดี มองการณ์ไกล ดังนั้นไม่ว่าจะทำงานอะไรก็มักไต่เต้าจนถึงตำแหน่งสูง ๆ ได้ แต่โดยดวงชาตามักเป็นคนหลงเชื่อคนง่ายอาจถูกหลอกลวงไปในทางเสื่อมเสียได้ต้องระวัง
ไม่ควรสนใจกับการลงทุนร่วมหุ้น หรือการงานที่จะสำเร็วแบบก้าวกระโดด เพราะจะทำให้เกิดความผิดพลาดอาจพบกับความล้มละลายทางการงานและการเงินได้ ถ้าสนใจเรื่องเงิน ๆ ทอง ๆ ควรทำงานในองค์กรที่เกี่ยวกับการเงิน การลงทุน จะดีกว่า การเงินส่วนตัวก็จะมั่นคงมากกว่าด้วย จะเสียเงินเพราะผู้มีอิทธิพล อันธพาลอยู่บ้าง ชอบช่วยเหลือคนมีปัญหาด้านการเงิน อาจมีเรื่องที่ต้องทำให้เสียเงินโดยไม่จำเป็นและไม่ได้อะไรกลับคืนมา เสียเงินโดยมีคนมารีดไถ ข่มขู่ หรือเพราะถูกหลอก แต่ในอนาคตก็จะสุขสบายไม่ลำบากอะไรมากนัก มีเงินเก็บและมีทรัพย์สมบัติมากมายพอใช้ เมื่อแต่งงานแล้วจะเป็นคนที่มีความรับผิดชอบครอบครัวดีแต่ไม่ค่อยมีเวลาให้ ความรักมักเคร่งครัดกับมันมากเกินไป ปฏิบัติกับคนรัก คู่ครองอย่างมีกฎระเบียบ และค่อนข้างห่างเหิน ผู้ชายจะบ้างาน ผู้หญิงก็มักทำงานนอกบ้าน ทั้งหญิงและชายมักมีรักแบบไม่เปิดเผยที่เรียกว่าชู้ทางใจ รักงานมากกว่าคู่ครอง คาดหวังที่จะให้คนรัก คู่ครองเข้าใจตน ความรักบางครั้งจึงไปไม่ถึงไหน มีทิฐิดื้อดึงถือตัว แม้แต่กับความรัก
จะมีปัญหาเรื่องสุขภาพเสมอแต่เป็นเพียงเล็กน้อยหากไม่ลุ่มหลงในอบายมุขย่อมไม่ตกในอันตราย ระวังอุบัติเหตุจากน้ำ การลัดตกหกล้มหรือตกน้ำเอาไว้ด้วย บั้นปลายชีวิตมักเจ็บออด ๆ แอด ๆ บ้างไม่ใหญ่โต โชคลาภมีแบบขึ้น ๆ ลง ๆ แต่โชคดีที่ผู้ใหญ่มักรัก สีสิ่งศักดิ์สิทธิ์คุ้มครองป้องภยดี หากไม่ทะเยอทะยานจนไม่ประมาณแล้วย่อมประสบความสำเร็จอย่างมั่นคงลงตัวแม้นจะช้ากว่าคนอื่นก็ตาม

(9) ผู้มี SN เป็น 9
" ไม่มีสิ่งดีพร้อมสมบูรณ์ไร้ที่ติ จงพอใจในสิ่งที่มี"

คุณเป็นคนอยู่ง่าย กินง่าย แต่มีกฎเกณฑ์ในการดำเนินชีวิต ซื่อสัตย์ ยุติธรรม เอาจริงเอาจังกับชีวิต วิตกกังวลกับทุกเรื่อง มุมานะและพยายามดี มีบางครั้งอาจตึงเกินไป เป็นคนรักความก้าวหน้าในการเรียน แต่มักมีเหตุให้หยุดเรียนกลางครัน ไม่ชอบเรียนในสถาบันการศึกษาแต่สนใจการศึกษาหาความรู้จากการอ่านหนังสือ มีสติในการแก้ไขปัญหา มีความมั่นคงในดวงชาตาอยู่แล้ว ชีวิตจะประสบความสำเร็จอย่างดี ถ้าตัดความวิตกกังวลที่เกินเหตุออกไป
ท่านเหมาะกับการทำงานด้านการใช้ความคืดสร้างสรรค์ ควรทำงานที่ต้องใช้แรงกาย ต้องลงมือลงแรงมากกว่านั่งโต๊ะจึงจะประสบความสำเร็จ มีอาชีพการงานที่มั่นคง สามารถสร้างความก้าวหน้าให้ตัวเองได้ แต่คนภายนอกมองเข้ามาดูเหมือนไม่มั่นคง อาชีพนักสำรวจ นักขุดเจาะ ช่างเทคนิคต่าง ๆ เหมาะสมมาก แม้นจะเป็นผู้หญิงก็ยังได้ทำงานด้านการผลิต ออกแบบ หรือเป็นผู้เชี่ยวชาญด้านใดด้านหนึ่งโดยเฉพาะ ในอนาคตอาจได้เป็นเจ้าของบริษัท ถ้าจะให้ดีต้องเกี่ยวกับการส่งออก
จะมีเงินจรแบบฟลุค ๆ เข้ามาเสมอ เกิดจากการทำงานหรือเงินรางวัล มีสมบัติหรือกิจการเป็นของตนเองได้ การเงินคล่องมือ หนักเอาเบาสู้ หาเงินคล่อง มีข้อดีคือ หากเห็นใครพยายามและอดทนทำงานแต่ขาดโอกาสจะเข้าช่วยเหลือเรื่องการเงินทันที แต่หากใครเข้ามาขอความช่วยเหลือพร่ำเพรื่อจะไม่ยอมให้เด็ดขาด
โดยดวงชาตาอาจสูญเสียคนรักไป เนื่องจากมีดวงพลัดพรากอยู่อันจะทำให้ชีวิตรักมักมีบาดแผลขื่นขมตรมอยู่กับความเศร้า ไม่ค่อยไว้วางใจใครนัก และไม่อยากรักใครให้มากเพราะเกรงการสูญเสีย เมื่อแตางงานแล้วไม่มีเรื่องสนุกสนานเฮฮา แต่สามารถประคับประคองครอบครัวไปได้ นอกจากคนรักหรือคู่ครองจะทนคุณไม่ได้ก็เป็นอีกเรื่องหนึ่ง
การหมกหม่นในความทุกข์ทำให้จิตใจไม่เบิกบานส่งผลให้สุขภาพจิตตกต่ำ บางคนอาจคุมตนเองไม่ได้ถึงอาจติดยาเสพติดพึงระวังให้ดี โรคที่ควรระวัง คือ ตับ ไต ปอด อายุมากขึ้นสุขภาพกลับย่ำแย่ไร้คนดูแลใกล้ชิด ศัตรูไม่มี แต่มีเจ้ากรรมนายเวรคอยติดตามทวงถามหนี้เก่า ๆ มีมิตรแท้ที่จริงจใจไม่กี่คน การเดินทางไกลไปจากครอบครัวมากเท่าไหร่ทำให้ชีวิตยิ่งพบความก้าวหน้า ดวงชีวิตคุณคือการเดินทางพบกับสิ่งแปลกใหม่ อยู่ร่วมกับคนแปลกหน้าต่างวัฒนธรรม ต่างท้องถิ่นจะดีที่สุด


จนกันสะทีบล็อกนี้กินเวลาซะเนิ่นนาน มหัศจรรย์เหมือนฝันไหมละครับ พิสูจน์วัดสัมผัสได้ด้วยครรลองชีวิตของตัวท่านเอง
แต่อย่างไรก็ตาม ดวงชาตาชีวิตก็ลิขิตมาสำหรับผู้ที่ไม่ฝึกจิตใจให้มีพลัง ที่จะควบคุมทิศทางชีวิตตนเองด้วยจิตปัจจุบันอันมั่นคงที่สูงส่งด้วยสติสัมปชัญญะอันเป็นความรู้สึกตัวสด ๆ เท่านั้นเองจริงไหมครับ .... ผู้มีสติปัญญาเป็นดวงประทีปย่อมหลุดพ้นจากบาปเคราะห์ทั้งปวง


ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/



" รู้จักฟังคำระคายหู ฝึกฝนตนด้วยเรื่องไม่สบายใจ "

คนที่สามารถฟังถ้อยคำที่ระคายหูได้มาก หรือคนที่ได้ประสบกับเรื่องไม่สบายใจเสมอ ๆ นั้น พึงทราบว่านี้แลคือเครื่องขัดเกลาจิตใจเพื่อยกระดับคุณธรรม หากว่าเราได้ยินได้ฟังแต่ถ้อยคำระรื่นหู ประสบพบเห็นแต่เรื่องชวนให้สบายใจแล้ว ชีวิตเช่นนี้ก็เมือนเมามายอยู่กับสุราอาบยาพิษนั้นแล.


....ข้อคิดดี ๆ จากคัมภีร์รากผัก


อมตะวาจาชวนศึกษา ลิงค์ไปที่ http://vimut.blogspon.com/

MIN. หรือ MAX. ก็แป๊กทั้งคู่

MIN. หรือ MAX. ก็แป็กทั้งคู่ เป็นประเด็นที่ครูผู้สอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเรื่องกำหนดการเชิงเส้นควรตระหนักรู้ เมื่อต้องพันตูกับโจทย์ข้อสอบแข่งขันที่ไม่เคยเจอในแบบฝึกหรือในเวทีการสอบต่าง ๆ ที่ผ่านมา
กำหนดการเชิงเส้น(Linear Programming) เป็นเนื้อหาสาระของคณิตศาสตร์ประยุกต์แขนงหนึ่งที่ปรากฏในวิชาการวิจัยขั้นดำเนินงาน (Operation Research) หรือ OR ในระดับอุดมศึกษาซึ่งเป็น เนื้อหาที่สำคัญสำหรับผู้เรียนสาขาเกี่ยวกับการนำคณิตศาสตร์ไปประยุกต์ใช้ เช่นคอมพิวเตอร์ สถิติ หรือการบริหารจัดการอันประกอบด้วยเทคนิคทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง ที่อ้างกันเสมอเช่นเทคนิค Simplex Method เป็นต้น เพื่อใช้ในการแก้สมการ และหรือ ระบบสมการ ซึ่งเป็นแบบจำลองแทนสถานการณ์ของปัญหาที่เกิดขึ้นอาจจะเป็นปัญหาทางธุรกิจ หรือวิทยาศาสตร์ และอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์หาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดตามสมการจุดประสงค์ (Objective Function) ที่ตั้งไว้ ภายใต้ทรัพยากรที่มีจำกัด
ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (ชั้น ม. 6) กำหนดการเชิงเส้นจะมีตัวแปรที่เกี่ยวข้องเพียง 2 ตัว เท่านั้น การหาคำตอบหาได้จากกราฟ เท่าที่สังเกตจากผู้เรียนในเนื้อหาสาระนี้ อุปสรรคที่ทำให้กระบวนการเรียนการสอนไม่ราบริ่น เนื่องจากผู้เรียนเขียนกราฟไม่เป็นสร้างโมเดลไม่ได้
ตัวแบบของกำหนดการเชิงเส้นนั้นประกอบด้วย ฟังก์ชันเชิงเส้น หรือฟังก์ชันจุดประสงค์ (constraints) กระบวนการในการจัดการกับปัญหาโดยวิธีกราฟมีวิธีการดังนี้

สมมุติฟังก์ชันจุดประสงค์เป็น P = ax + by เราต้องการหาค่า x และ y ที่จะทำให้ได้ค่า P สูงสุดหรือตา่ำำ่สุด ภายใต้เงื่อนไข หรือข้อจำกัดในรูปอสมการเชิงเส้นชุดหนึ่ง เรามีขั้นตอนดำเนินการดังนี้

1. เขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้
2. ผลลัพธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว คือจุดต่าง ๆ บนส่วนร่วม (Feasible Area) ของกราฟดังกล่าว
3. พิจารณาจุดมุมของกราฟในเซตของผลลัพธ์ตามข้อ 2
4. นำค่า x และ y ไปแทนในฟังก์ชันจุดประสงค์เพื่อคำนวณค่า P
5. เลือกค่า x และ y ที่ทำให้ได้ค่า P สูงสุด หรือต่ำสุด

หมายเหตุ ข้อสอบแข่งขันในเรื่องนี้ส่วนมากจะออกเพียง 1 ข้อเท่านั้น ซึ่งเป็นโจทย์ให้หาค่าสูงสุด หรือต่ำสุด ของฟังก์ชันจุดประสงค์ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรสองตัว

ตัวอย่าง และแบบฝึกหัดที่ปรากฏในหนังสือเรียน และ/หรือ ข้อสอบแข่งขันต่าง ๆ เกี่ยวกับเรื่องกำหนดการเชิงเส้นนี้ เมื่อมีการเขียนกราฟที่เกี่ยวข้องทั้งหมด และกำหนดบริเวณที่คำตอบตกอยู่ ก็จะนำจุดยอดมุมของรูปหลายเหลี่ยม (กรณีค่าสูงสุด) หรือจุดยอดซึ่งเป็นฐานของรูปเหลี่ยม (กรณีค่าต่ำสุด) ไปแทนในสมการจุดประสงค์แล้วพิจารณาค่าที่ได้ ก็จะสามารถตัดสินใจเหลือกจุดที่เหมาะสมตามจุดประสงค์ที่ต้องการได้

แต่ลองพิจารณาข้อสอบโควต้าเข้ามหาวิทยาลัยขอนแก่นข้อนี้

กำหนดสมการจุดประสงค์
z = 2x - 5y
อสมการข้อจำกัด คือ

2x + y >= 30
x + 3y >= 30
4x + y >= 40
x >= 0
y >= 0

พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าจริงหรือเท็จ

ก. จุด (x, y) ทุกจุดบนเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง z = 2x - 5y และตัดจุดมุม (0, 40) จะให้ค่า z ที่เหมือนกันและเป็นคำตอบที่ z มีค่าต่ำสุด

ข. จุด (x, y) ทุกจุดบนเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง z = 2x - 5y และตัดจุดมุม (30, 0) จะให้ค่า z ที่เหมือนกัน และเป็นคำตอบที่ z มีค่าสูงที่สุด

เมื่อเขียนกราฟที่สอดคล้องกับอสมการข้อจำกัดแล้วพิจารณาจุดยอดมุมที่เป็นฐานของบริเวณ Feasible Area จะได้จุดที่อาจให้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด 4 จุด คือ (30, 0), (0, 40), (12, 6) และ (5, 20) และเมื่อนำไปแทนในสมการจุดประสงค์แล้วก็สามารถเลือกจุดที่ทำให้ได้ค่า z ต่ำสุด และสูงสุดตามที่ต้องการได้เฉกเช่นเดียวกับโจทย์อื่น ๆ ที่พบมาในตัวอย่างหรือแบบฝึกหักทั่ว ๆ ไป แต่ขอโทษทีครับโจทย์ข้อนี้มิใช่ง่ายอย่างที่คิดจะตีกินด่วนสรุปเอาง่าย ๆ เช่นที่เห็นอย่างดาดดื่น เพราะถ้าเป็นเช่นนั้นคงไม่หยิบยกขึ้นมาเขียนในบล็อกนี้ให้เสียเวลาท่านผู้ชมหรอกจะบอกให้ ใจเย็น ๆ ท่านลองขยับจุดไปด้านขวา หรือ ด้านบนของบริเวณ Feasible Area ดูถีดูดีดีมีเฮแน่ ค่า z ที่ได้จากจุดที่ขยับกลับเหมาะสมกว่า และเลื่อนจุดไปได้เรื่อย ๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด นั่นคือในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดให้นี้ไม่มีจุดที่ให้ค่า z ต่ำสุด หรือสูงสุดได้ ถ้าด่วนตัดสินใจตามที่ใช้แบบเดิม ๆ ไม่ได้เพิ่มเติมแต้มได้อย่างแน่นอน ... เอ๊ะ ! แล้วเราจะมีหลักเกณฑ์ในการพิจารณาเรื่องเหล่านี้อย่างไร

หลักเกณฑ์ในการพิจารณามีดังนี้

กำหนดฟังก์ชันจุดประสงค์เป็น ax + by = c
เขียนเส้นตรง ax + by = c ผ่านบริเวณ Feasible Area

1) ถ้า b > 0 ค่า c ที่ทำให้เส้นตรง ax + by = c มี y-intercept สูงสุดจะเป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์ (ถ้าค่า c ดังกล่าวไม่มีจะไม่มีจก็จะไม่มีค่าสูงสุด)

2) ถ้า b < 0 ค่า c ที่ทำให้เส้นตรง ax + by = c มี y-intercept มากที่สุดจะเป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์ (ถ้าค่า c ดังกล่าวไม่มีจะได้ว่าไม่มีค่าต่ำสุด)


จากโจทย์ข้อสอบที่ยกมาข้างต้น เมื่อเขียนกราฟของเส้นจุดประสงค์ 2x - 5y = 0 โดยกำหนด c = 0 แล้วเลื่อนเส้นจุดประสงค์ผ่านบริเวณ Feasible Area พิจารณา y-intercept ซึ่งจะเห็นว่าไม่มีทั้งค่าสูงสุดและต่ำสุด นั่นคือ Min. หรือ Max ก็แป๊กทั้งคู่ กรณีตัวอย่างลักษณะนี้ ครูผู้สอนก็คงต้องหามาเสริมเพื่อเติมเต็มให้ลูกศิษย์นะครับ


ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/


" รู้จักฟังคำระคายหู ฝึกตนด้วยเรื่องไม่สบายใจ"

คนที่สามารถรับฟังถ้อยคำระคายหูได้มาก หรือคนที่ได้ประสบพบกับเรื่องไม่สบายใจเสมอ ๆ นั้น พึงทราบว่านี้แลคือเครื่องขัดเกลาจิตใจเพื่อยกระดับคุณธรรม หากว่าเราได้ยินได้ฟังแต่ถ้อยคำระรื่นหู ประสบพบเห็นแต่เรื่องชวนให้สบายใจแล้ว ชีวิตนี้ก็เสมือนเมามายอยู่กับสุราอาบยาพิษนั่นแล/ .... จากคัมภีร์รากผัก


ภาวนาคำศักดิ์สิทธิ์โปรดคลิก

สุดยอดองค์ความรู้ : กลั่นคำกลั่นใจ คลิก

KR 20/21 เสร็จแล้วเรา!

นักวิจัยมือใหม่อาจบื้อได้เมื่อใครถามว่าเครื่องมือวิจัยที่อุตส่าห์สร้างขึ้นมาได้เกือบตายจะมีอะไรบ่งชี้คุณภาพว่าเลิศหรู ดูดีมีชาติตระกูลเพียงใด ไม่ว่าจะเป็นแบบทดสอบ แบบสอบถาม หรือแบบวัดอื่นใดเพื่อใช้รวบรวมข้อมูลได้อย่างเที่ยงตรง คงความน่าเชื่อถือตามวัตถุประสงค์ที่มุ่งหวังอย่างตรงทิศตรงทาง จึงขอนำหลักการเพื่อสมานรอยบอดแห่งอวิชชาว่าจะตรวจสอบเครื่องมือวิจัยได้อย่างกระจ่างใจอย่างไร เพื่อมือใหม่ที่ไม่ได้เรียนมาทางด้านการวัดการประเมินผลโดยตรง จะหายงงกันซะทีว่าข้านี้ก็หนึ่งในตองอูเหมือนกัน โดยไม่พรั่นว่ามันจะเป็นอะไร KR20 หรือ KR 21 ไม่เสร็จแน่แก้ได้ว่า อะไร ทำไม และเท่าไหร่ดีจึงจะเหมาะสมเป็นที่นิยมใช้โดยทั่วไป

วิธีการทางสถิติที่ใช้ตรวจสอบคุณภาพของเครื่องมือ

ในการวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อตรวจสอบคุณภาพของเครื่องมือดำเนินการได้ใน 2 ลักษณะ คือ การวิเคราะห์รายข้อเพื่อตรวจสอบคุณภาพเป็นรายข้อ กับการวิเคราะห์รวมทั้งฉบับเพื่อประเมินคุณภาพโดยรวมของเครื่องมือ

การวิเคราะห์รายข้อ ใช้ในกรณีของแบบทดสอบ และแบบสอบถามแบบมาตราส่วนประเมินค่าด้วยการพิจารณาจาก ค่าความยาก(difficulty) สำหรับข้อสอบ และ อำนาจจำแนก(discrimination) สำหรับข้อสอบและข้อคำถามในแบบสอบถาม ซึ่งมีวิธีการพิจารณาดังนี้

1. ความยากของข้อสอบ ( item difficulty) หาจากสัดส่วนของผู้ที่ตอบถูกในข้อนั้นเมื่อเทียบกับผู้ตอบถูกทั้งหมด หรือเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้

p = (nx100)/N

เมื่อ p คือ ค่าความยาก (คิดเป็นร้อยละ)
n คือ จำนวนผู้ตอบข้อสอบข้อนั้นถูก
N คือ จำนวนผู้ตอบข้อสอบข้อนั้นทั้งหมด

ในกรณีแยกผู้ตอบออกเป็นกลุ่มสูง-กลุ่มต่ำ (โดยตัดกลุ่มตรงกลางทิ้งไป) ก็ใช้สูตรต่อไปนี้

p =[ (nH + nL)/(NH + NL)] x 100

เมื่อ NH, NL คือ จำนวนผู้ตอบทั้งหมดในกลุ่มสูงและกลุ่มต่ำ ตามลำดับ

การแปลความหมายของการวิเคราะห์ข้อมูลก็ดูจาก ค่าความยากที่ได้ ถ้าค่าใกล้เคียงร้อยละ 50 ก็แสดงว่า ข้อสอบข้อนั้นมีระดับความยากปานกลาง หรือยากง่ายพอเหมาะ ถ้าค่าสูงใกล้ไปทางร้อยละ 100 ก็แสดงว้าเป็นข้อสอบที่ง่าย แต่ถ้าใกล้มาทาง 0 ก็แสดงว่าเป็นข้อสอบยาก ซึ่งอาจแบ่งเป็นช่วงเพื่ออำนวยความสะดวกในการแปลความหมายได้ดังนี้

ร้อยละ 20 และต่ำกว่า ระดับความยาก ยากมาก
ร้อยละ 21 - 40 ระดับความยาก ยาก
ร้อยละ 41 - 60 ระดับความยาก ปานกลาง
ร้อยละ 61 - 80 ระดับความยาก ง่าย
ร้อยละ 81 - 100 ระดับความยาก ง่ายมาก

ข้อสอบที่ยอมรับว่าควรนำมาใช้ได้ คือ ข้อที่มีความยากอยู่ระหว่างร้อยละ 20 ถึง ร้อยละ 80


*** การแบ่งเป็นกลุ่มสูง และ กลุ่มต่ำนั้นหมายถึงการนำกลุ่มผู้สอบมาเรียงลำดับคะแนนรวมที่ได้จากการสอบทั้งฉบับแล้วจัดให้ ร้อยละ 25 ของกลุ่มผู้ได้คะแนนสูงสุด และร้อยละ 25 ของกลุ่มผู้ได้คะแนนต่ำสุดตามลำดับ ( ร้อยละ 50 ตรงกลางให้แยกไว้ต่างหาก )


2. อำนาจจำแนก (Discrimination) โดยแบ่งออกเป็น
1) อำนาจจำแนกของข้อสอบ หมายถึง การที่ข้อสอบข้อนั้นสามารถแยกกลุ่มที่ได้คะแนนสูงกับกลุ่มที่ได้คะแนนต่ำออกจากกันได้โดยอาศัยหลักการว่า ใครเก่งกว่าย่อมตอบข้อนั้นถูก ถ้าใครไม่เก่งก็ควรจะตอบข้อนั้นผิด ซึ่งจะต้องเป็นสถานการณ์ที่การให้คะแนนการตอบแต่ละข้อเป็น 0 เมื่อตอบผิด และเป็น 1 เมื่อตอบถูก
หลักการพิจารณาอำนาจจำแนกเป็นรายข้อนี้ ก็ใช้หลักเดียวกับการแบ่งกลุ่มดังที่กล่าวมาแล้วข้างต้น คือ เมื่อตรวจคำตอบและรวมคะแนนทั้งฉบับแล้วก็เอาคะแนนรวมมาเรียงจากน้อยไปมาก (หรือจากมากไปน้อยก็ได้) แล้วนับเอากระดาษคำตอบร้อยละ 25 ที่ได้คะแนนสูงสุด และร้อยละ 25 ที่ได้คะแนนค่ำสุด โดยกำหนดให้เป็นกลุ่มสูงและกลุ่มต่ำตามลำดับ
จากแต่ละกลุ่มที่แบ่งไว้แล้วก็มาตรวจสอบคำตอบทีละข้อ โดยพิจารณาว่าแต่ละคนตอบถูกหรือผิดในแต่ละข้อ จำแนกเป็นกลุ่มสูงและกลุ่มต่ำ แล้วคำนวณโดยใช้สูตรดังนี้

r = (nH - nL) x 100/NH หรือ NL

เมื่อ nH และ nL คือ จำนวนผู้ที่ตอบถูกในกลุ่มสูง และกลุ่มต่ำ
NH และ NL คือ จำนวนผู้ตอบทั้งหมดในแต่ละกลุ่ม (ซึ่งต้องเท่ากัน)

ผลที่ได้คือ อำนาจจำแนก การแปลความหมายจะแตกต่างจากค่าความยาก นั่นคือ ค่าอำนาจจำแนกนี้ถ้ามีค่ามาก แสดงว่ามีอำนาจจำแนกมากด้วย ค่ายิ่งมากย่อมมีอำนาจในการจำแนกกลุ่มสูงและต่ำออกจากกันได้ดี
ค่าอำนาจจำแนกที่ยอมรับได้ยึดตามเกณฑ์มาตรฐานร้อยละ 20 ขึ้นไป

ตัวอย่าง ในการสอบครั้งหนึ่ง เมื่อนำคะแนนรวมมาจัดลำดับ และจำแนกเป็นกลุ่มสูงและกลุ่มต่ำแล้วพบว่า ข้อสอบข้อหนึ่งมีจำนวนผู้ตอบถูกในกลุ่มสูงจำนวน 15 คน กลุ่มต่ำ 8 คน จากจำนวนในแต่ละกลุ่มที่มีกลุ่มละ 22 คน จะสามารถคำนวณค่าความยากและค่าอำนาจจำแนกของข้อสอบข้อนี้ได้ดังนี้
ค่าความยาก p = [(15 + 8)/(22 + 22)] x 100 = 52.3
ค่าอำนาจจำแนก r = [(15 -8)/22] x 100 = 31.82

เมื่อพิจารณาตามเกณฑ์แล้ว แสดงว่าข้อสอบข้อนี้มีความยากอยู่ในระดับปานกลาง และมีค่าอำนาจจำแนกอยู่ในระดับที่ใช้ได้ #

2) ค่าอำนาจจำแนกของแบบสอบถาม ถ้าเครื่องมือที่ใช้เป็นแบบสอบถามแบบมาตราส่วนประมาณค่า ซึ่งโดยทั่วไปจะให้คะแนนเป็น 1, 2, 3, 4, 5 ตามระดับความคิดเห็น หรือตามระดับความหนักเบาของคำตอบ (ขึ้นอยู่กับเรื่องที่ถาม) ในการหาอำนาจจำแนกของแบบสอบถามในลักษณะดังกล่าวนี้ต้องใช้วิธีที่แตกต่างไปจากการหาอำนาจจำแนกของข้อสอบเช่นที่กล่าวมาแล้ว แต่จะใช้การทดสอบความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยรายข้อของกลุ่มสูงและต่ำ โดยใช้การทดสอบที (t-Test) ตามสูตรดังนี้

t = ( MU - ML) / sqr[( S^2)H/nH + (S^2)L/nL]

t คือ ค่าที่จะใช้ตัดสินว่าข้อคำถามนั้นมีอำนาจจำแนกอยู่ในเกณฑ์ใช้ได้หรือไม่ (เกณฑ์ที่นิยมใช้ คือ มากกว่า 1.75)
MU และ ML คือ ค่าเฉลี่ยที่ได้จากกลุ่มสูงและกลุ่มต่ำ (เฉพาะข้อนั้น)
( S^2)H และ (S^2)L คือ ความแปรปรวนของคะแนนจากกลุ่มสูง และ กลุ่มต่ำ ตามลำดับ
ืnH และ nL คือ จำนวนผู้ตอบในกลุ่มสูงและต่ำตามลำดับ

ตัวอย่าง ในการทดลองสอบถามความคิดเห็นของนักศึกษากลุ่มหนึ่ง เมื่อนำผลการสอบถามมาจัดกลุ่มและพิจารณาค่าสถิติของข้อคำถามข้อหนึ่งปรากฏว่า กลุ่มสูงมีค่าเฉลี่ยเป็น 3.25 , S = 0.85 กลุ่มต่ำมีค่าเฉลี่ยเป็น 2.86, S = 0.93 จำนวนนักศึกษาในแต่ละกลุ่มมี 25 คน ต้องการทราบว่าค่าอำนาจจำแนกของข้อคำถามข้อนี้อยู่ในเกณฑ์ใช้ได้หรือไม่

วิธีทำ แทนค่าในสูตร t = (3.25 - 2.86) / sqr[(0.85)^2 /25 + (0.93)^2 / 25 ] = 1.548
จะเห็นว่าค่าอำนาจจำแนกที่คำนวณได้ต่ำกว่าเกณฑ์ที่กำหนด แสดงว่าคำถามข้อนี้มีอำนาจจำแนกต่ำกว่าเกณฑ์ที่จะยอมรับได้ ดังนั้นสมควรตัดทิ้งไปหรือไม่ก็ต้องปรับปรุงใหม่ให้ดีขึ้น #


3. ค่าความเชื่อถือได้ของเครื่องมือ (realiability of the test) เป็นค่าที่ใช้บ่งชี้ความเชื่อถือได้ของแบบทดสอบ หรือแบบสอบถามด้วยการพิจารณา "รวมทั้งฉบับ" มีวิธีทางสถิติในการคำนวณค่าความเชือถือได้ของเครื่องมือดังนี้

1) วิธีสอบซ้ำ(test - retest method) ด้วยการนำเครื่องมือไปสอบหรือวัดกลุ่มเดิมสองครั้ง โดยทิ่งช่วงห่างระหว่างการวัดครั้งแรกและครั้งที่สองพอสมควร ( เช่น 2 สัปดาห์ หรือ 1 เดือน) ทั้งนี้เพื่อมิให้ผลการวัดครั้งแรกมีผลกระทบต่อการวัดครั้งที่สองโดยตรง (เช่น ผู้ตอบอาจจำข้อสอบ หรือ ข้อคำถามได้) เมื่อวัดครบสองครั้งแล้วต่อจากนั้นก็นำผลจากการสอบวัดทั้งสองครั้งนั้นมาหาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์แบบเพียร์สัน ผลที่ได้ คือ ความเชื่อถือได้ของเครื่องมือฉบับนั้น (ตรวจสอบวิธีคำนวณในเรื่องสหสัมพันธ์แบบเพียร์สัน) วิธีการนี้ใช้ได้กับเครื่องมือทุกประเภท แต่มีข้อแม้ว่าผลการวัดโดยเครื่องมือเหล่านั้นต้องออกมาเป็นข้อมูลเชิงปริมาณ คือ ให้เป็นคะแนนได้ และข้อมูลที่จะใช้ได้ต้องครบถ้วนคือแต่ละรายจะต้องมีผลการวัดครบทั้งสองครั้ง

2) วิธีแบ่งครึ่ง (split half method) เป็นวิธีที่ดัดแปลงมาจากวิธีการสอบซ้ำ หรือวัดซ้ำ แต่แทนที่จะวัดสองครั้งกลับวัดเพียงครั้งเดียว แล้วนำคะแนนมาแบ่งเป็นสองส่วน (แต่ละส่วนควรเท่ากัน หรือใกล้เคียงกัน ) วิธีแบ่งนิยมทำกันสองแบบ คือ แบบข้อคู่และข้อคี่ แบบครึ่งแรกและครึ่งหลัง (ครึ่งละเท่า ๆ กัน) วิธีการคำนวณก็ใช้การหาค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เช่นเดียวกับวิธีสอบ/วัด ซ้ำ แต่ต้องคำนวณเพิ่มเติมอีกเล็กน้อย ดังนี้

rtt = 2rhh / (1 + rhh)

เมื่อ rtt คือ ค่าความเชื่อถือได้
rhh คือ สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ระหว่างสองครึ่งที่แบ่งไว้

ตัวอย่าง ในการนำแบบทดสอบที่จะสร้างขึ้นใหม่ฉบับหนึ่งไปทดลองทดสอบกับนักเรียนกลุ่มหนึ่ง เมื่อนำผลการทดสอบมาตรวจคะแนนโดยแบ่งเป็นข้อคู่และคี่แล้วหาสหสัมพันธ์ระหว่างคะแนนรวมข้อคู่กับคะแนนรวมข้อคี่ ได้ค่าสหสัมพันธ์ = 0.75 ต้องการทราบว่าแบบทดสอบฉบับนี้มีค่าความเชื่อถือได้เท่าไร

วิธีทำ แทนค่าในสูตร rtt = 2(0.75) / (1 + 0.75) = 0.857

สรุปได้ว่า ผลการทดสอบครั้งนี้อยู่ในเกณฑ์เชื่อมั่ืนได้สูง

3) วิธีของ คูเดอร์-ริชาร์ดสัน (Kuder - Richardson's method) เป็นวิธีที่ใช้หาความเชื่อถือได้สำหรับ "แบบทดสอบที่มีการให้คะแนนแต่ละข้อเป็นแบบ 0, 1" คือตอบถูกให้ 1 คะแนน ตอบผิด ให้ 0 คะแนน โดยอาศัยการวัดหรือการสอบเพียงครั้งเดียว วิธีการคำนวณมีสองแบบ

(1) ถ้ามีการวิเคราะห์หาค่าความยากรายข้อไว้แล้ว ใช้สูตร KR20 ดังนี้

rtt = [ k/(k-1)] [ 1 - (ผลรวม pq)/S^2 ]
เมื่อ k คือ จำนวนข้อ
p คือ ค่าความยากของแต่ละข้อ
q = 1 - p
S^2 คือ ความแปรปรวนของคะแนนรวมทั้งฉบับที่ได้จากการทดสอบ

(2) ถ้าไม่มีความยากรายข้อ ใช้สูตร KR21

rtt = [ k/(k-1)] [ 1 - MX(k - MX)/kS^2 ]
เมื่อ MX คือ คะแนนเฉลี่ยรวมทั้งฉบับ และสัญลักษณ์อื่นเหมือน KR20


ตัวอย่าง จากการทดลองใช้แบบทดสอบซึ่งมีจำนวน 40 ข้อ ได้ค่าเฉลี่ย 23.8 , S=8.6 จงหาค่าความเชื่อมั่นของแบบทดสอบฉบับนี้
วิธีทำ แทนค่าในสูตร KR21
rtt = [ 40/(40-1)][ 1 - 23.8(40 - 23.8) / 40(8.6)^2 ]
= 0.892
ผลจากการคำนวณพบว่า ได้ค่าความเชื่อถือได้ 0.892 สำหรับแบบทดสอบที่มีจำนวน 40 ข้อ ถือว่ามีความเชื่อถือได้อยู่ในระดับสูง

4) วิธีของ Cronbach เหมาะสำหรับเครื่องมือที่ให้คะแนนรายข้อมากกว่า 1 คะแนน เช่น แบบสอบถามชนิดมาตรส่วนประเมินค่า (Rating scale) ที่ให้คะแนนแต่ละข้อเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ ข้อสอบแบบอัตนัยที่ได้คะแนนเต็มข้อละ 10 คะแนน เป็นต้น ค่าความเชื่อถือได้จากวิธีการนี้เรียกว่า alpha coefficient มีสูตรในการคำนวณเป็น

alpha = [ k/(k-1) ] [ 1 - ผลรวมVi/Vt ]
เมื่อ alpha คือ ค่าความเชื่อถือได้
k คือ จำนวนข้อ
Vi คือ ความแปรปรวนของคะแนนแต่ละข้อ
Vt คือ ความแปรปรวนของคะแนนรวมทุกข้อ

ในการหาค่าความเชื่อถือได้ตามสูตรนี้ จะต้องนำคะแนนของแต่ละข้อมาหาความแปรปรวน และต้องหาความแปรปรวนของคะแนนที่รวมทุกข้อเข้าด้วยกัน

ตัวอย่าง ในการสำรวจเจตคติครั้งหนึ่ง ได้มีการสร้างแบบวัดจำนวน 10 ข้อ แล้วนำไปทดลองให้กลุ่มตัวอย่างที่เลือกเป็นกลุ่มทดลองเครื่องมือจำนวนหนึ่งตอบ เมื่อนำผลมาคำนวณรายข้อ ได้ค่าความแปรปรวนของคะแนนแต่ละข้อดังนี้ 0.98, 1.02, 0.63. 0.75, 0.68, 1.05, 0.98, 0.92, 0.94, 1.05 และเมื่อคำนวณความแปรปรวนของคะแนนรวมได้เท่ากับ 25.87 จงคำนวณค่าความเชื่อถือได้ของแบบสอบถามฉบับนี้

วิธีทำ ผลรวม Vi = .98 + 1.02 + ... + 1.05 = 9 , Vt = 25.87 แทนค่าในสูตร
alpha = [ 10 / (10 - 1) ] [ 1 - 9/25.87 ] = (10/9)(0.652) = 0.725
ค่าความเชื่อถือได้ = 0.725 สำหรับแบบสอบถามที่มีจำนวนข้อเพียง 10 ข้อ ถือว่าความเชื่อถือได้อยู่ในเกณฑ์ที่ยอมรับได้ #

การคำนวณค่าความเชื่อถือได้ของเครื่องมือที่ใช้ในการวิจัยมีอีกหลายวิธี แค่ละวิธีที่เหมาะสำหรับเครื่องมือแต่ละประเภทเท่าที่กล่าวมานั้น ก็เพียงพอต่อการวิจัยที่ใช้เครื่องมือประเภทแบบทดสอบ หรือแบบสอบถาม เอวังก็มีด้วยประการฉะนี้แล้ว


สวัสดี
ครู PEE/

ของฝากดีดีจาก...คัมภีร์รากผัก

"ไม่แปดเปื้อนความโสโครก ไม่ยอมใช้เล่ห์เพทุบาย"

ท่ามกลางความวุ่นวายสับสนของผู้คนในโลกที่มุ่งแต่จะแสวงหาลาภยศชื่อเสียงด้วยหนทางมิชอบนั้น ผู้ไม่ยอมเข้าใกล้ย่อมเป็นคนมีจิตใจสะอาดบริสุทธิ์ ผู้ที่ได้ใกล้ชิดแต่กลับไม่ถูกทำให้จิตใจไขว้เขวไป ย่อมนับว่ามีจิตใจสูงส่งยิ่งกว่า
การเล่นเล่ห์เพทุบายตลอดจนกลโกงสกปรกทั้งหลายก็เช่นกัน คนที่ไม่รู้จักใช้ย่อมนับว่าเป็นคนมีจิตใจดีงามอยู่แล้ว แต่คนที่รู้จักแต่ไม่ยอมใช้ย่อมถือว่าเป็นบุคคลที่สูงส่งยิ่งกว่าอย่างมิต้องสงสัย //


LINK บล็อกวาทะอริยะ

กฎเครื่องหมายของ Descarte

ทุกเรื่องราวในคราวที่เขียน ณ อารมณ์นั้นก็ดูเหมือนเป็นที่พึงพอใจเล็ก ๆ ภายใต้รูจมูกของตนเองเสมอ แต่เมื่อวันเวลา เปลี่ยนไป มีแง่มุมใหม่ที่ต้องการนำเสนอเพิ่มเติมก็อดรนทนไม่ได้ที่จักต้องทำการ update ข้อมูล นี่แหละหนาท่านว่าทุกสิ่งที่อิงอาศัยการปรุงแต่ง ย่อมตกอยู่ภายใต้กฎแห่งความจริงที่ยิ่งใหญ่ในจักรวาลอันแปรผัน "อนิจจัง ทุกขัง อนัตตา " หรือ กฎแห่งความไม่เที่ยง (chaos theory) ... ขอบคุณ Google เพื่อนที่แสนดี ที่เอื้อพื้นที่และโอกาสให้ความมุ่งหวังนี้สำเร็จได้โดยไม่ยากนัก...ครับ! ทุกการให้ย่อมได้กลับมาแม้นจะไม่อยากได้ก็ตาม เมื่อเราให้ปัญญาก็ย่อมได้ปัญญาเป็นค่าตอบแทนอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้....อ่าน blog แล้วบอกต่อกันนะครับ ถ้าคิดว่าเนื้อหาสาระพอเอื้อประโยชน์ต่อท่านได้บ้าง ผู้เขียนตั้งใจนำเสนอเพื่อประโยชน์แ่ด่ท่านจริง ๆ ... ถ้าเบื่อเซ็งก็แวะเยี่ยมชม "http://vimut.blogspot.com/" สุดยอดอมตวาจาของครูบาอาจารย์ผู้ประเสริฐที่ผู้เขียนสรุปกลั่นกรองจากการอ่านส่งผ่านให้ท่านจากหัวใจด้วยไมตรี

ในคราวนี้มีเป้าหมายให้ "พหุนาม(polynomial)" เป็นพระเอกของเรื่อง พหุนามเป็นสาระเรื่องราวธรรมดาที่มิใช่ธรรมดาในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะเกี่ยวกับพีชคณิต ทุกศาสตร์ที่ต้องใช้คณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือก็ต้องรู้หลักการที่เกี่ยวกับพหุนามเสมอไม่ว่าจะอยู่ในรูปของสมการหรือฟังก์ชันซึ่งเป็นเงื่อนไขเชื่อมโยงความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรต่าง ๆ ที่กล่าวถึง เช่นทฤษฎีสัมพัทธภาพของ
Eistien E = MC^2 ก็มองได้ในรูปของพหุนามดีกรีสอง หรือ ฟังก์ชันพหุนาม E ซึ่งเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ M และ C ได้เช่นเดียวกัน

ในหลักสูตรการศึกษาขั้นพื้นฐานของไทย ได้จัดให้มีการเรียนเรื่องราวของพหุนามกันมาแบบเป็นเรื่องเป็นราวในระดับชั้น ม.1 ที่ว่าด้วย แนวคิด บทนิยาม การคำนวณพื้นฐานที่ว่าด้วยการบวก ลบ คูณ และหารพหุนาม ในชั้น ม.2 มีการเรียนเรื่องการแยกตัวประกอบของพหุนาม สมการกำลังสอง และกราฟพาราโบลาซึ่งเป็นเรื่องราวของพหุนามดีกรีสอง ม. 3 เรียนเกี่ยวกับเศษส่วนพหุนาม ต่อเนื่องมากระทั่งใน ม. ปลายในระบบจำนวนจริง ระบบจำนวนเชิงซ้อน ก็มี topic ที่เกี่ยวข้องกับการแยกตัวประกอบของพหุนามโดยการประยุกต์ทฤษฎีเศษ และการหารสังเคราะห์ มาช่วย แทบจะกล่าวได้ว่าเรื่องราวของพหุนามได้สอดแทรกเป็นยาดำ เป็นตัวอย่างนำพาผู้เรียนให้เกิดความกระจ่างชัดใน concept ของนิยามและทฤษฎีที่กล่าวถึงได้อย่างมีประสิทธิผล


หลายท่านอาจต้องการทราบหลักเกณฑ์ในการพิจาณาว่าฟังก์ชันพหุนามที่กำหนดให้นั้นว่ามีรากที่เป็นจำนวนจริงกี่ราก โดยจำแนกเป็นจำนวนจริงบากหรือลบอย่างละเท่าไหร่ โดยไม่ต้องรำคาญใจไปใช้วิธีการแก้สมการ หรือเขียนกราฟให้ยุ่งยากลำบากลำบนให้ป่วยการ ในบล็อกนี้จึงนำหลักเกณฑ์ซึ่งเรียกกันว่า Descartes' Rule of Signs มาฝากให้สมกับความอยากรู้ เพื่อเปิดประตูสู่ความลี้ลีบที่น่าสนใจนี้

ให้ P(x) เป็นฟังก์ชันพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง

1. จะมีรากเป็นจำนวนจริงบวกที่ทำให้ P(x) = 0 เป็นจำนวนเท่ากับจำนวนครั้งที่มีเครื่องหมายใน P(x) เปลี่ยนไป หรือ เป็นจำนวนที่น้อยกว่าจำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนคู่

2. จะมีรากที่เป็นจำนวนจริงลบซึ่งทำให้ P(x) = 0 เป็นจำนวนเท่ากับจำนวนครั้งที่เครื่องหมายใน P(-x) เปลี่ยนไป หรือ เป็นจำนวนที่น้อยกว่าจำนวนดังกล่าวเป็นจำนวนคู่


ตัวอย่าง เช่น จงใช้ Descartes' Rule of Signs ตรวจสอบลักษณะรากของ สมการ x^5 + 3x^4 - 2x^3 - x*2 + 4x - 5 = 0
ให้ P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^3 - x^2 + 4x - 5 เมื่อ พิจารณาเครื่องหมายใน P(x) จะมีลำดับเครื่องหมายตามลำดับเทอมเป็น + > + > - > - > + > - มีการแปรเปลี่ยนของเครื่องหมายจำนวน 3 ครั้ง ดังนั้นมีรากที่เป็นจำนวนจริงบวก 3 จำนวน หรือ 1 จำนวน และ
P(-x) = -x^5 + 3x^4 + 2x^3 - x^2 - 4x - 5 เมื่อ พิจารณาเครื่องหมายใน P(-x) จะมีลำดับเครื่องหมายตามลำดับเทอมเป็น - > + > + > - > - > - มีการแปรเปลี่ยนของเครื่องหมายจำนวน 2 ครั้ง ดังนั้นมีรากที่เป็นจำนวนจริงลบ 2 จำนวน หรือ ไม่มีเลย #

ต้องขอจบการเขียนบล็อกครั้งนี้ไว้เท่านี้นะครับ เพราะง่วงมากแล้ววันนี้ ผู้สนใจรายละเอียดของวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีก็ไปแสวงหาค้นเพิ่มเติมเองก็แล้วกัน


ด้วยครามปราถนาดี
ครู PEE/


"จิตใจต้องเปิดเผย ปัญญาความสามารถต้องปิดบัง"
บัณฑิตผู้ผ่านการฝึกฝนขัดเกลาทางก้านคุณธรรมมาแล้วนั้น ความคิดจิตใจของเขาจะใสสว่างดั่งฟากฟ้าไร้เมฆหมอก ไม่มีสิ่งใดต้องปกปิดซ่อนเร้นผู้อื่น แต่สำหรับปัญญาความสามารถของเขานั้น กลับตรงกันข้ามต้องเก็บซ่อนมิดชิด มิให้ผู้ใดพบเห็นได้โดยง่าย

จากคัมภีร์รากผัก/