เศษส่วนย่อยที่คล้อยตามเศษส่วน

ในหลาย ๆ สถานการณ์ของโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเศษส่วนที่ผู้แก้โจทย์จำเป็นต้องกระจายเศษส่วนให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อยของมันจึงจะสามารถมองเห็นโครงสร้างซึ่งเป็นรูปแบบที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ตามที่ต้องการได้ ตัวอย่างเช่นโจทย์เกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมซึ่งแต่ละเทอมอยู่ในรูปเศษส่วน ถ้าไม่แปลงให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อยแล้วก็ไม่มีทางที่จะกำหนดผลบวกย่อยของอนุกรมนั้นได้เลย
ดังนั้นวันนี้ครูพีจึงขอนำเรื่องราวเหล่านี้มาเล่าสูกันฟังหวังว่าคงเป็นประโยชน์แก่ผู้สนใจคามสมควร

การกระจายเศษส่วนเป็นเศษส่วนย่อย
สูตร
กำหนด m และ x เป็นจำนวนเต็มบวก
m / x(x + m) = 1/x - 1/(x + m)
[ เนื่องจาก (x + m) - x = m ]

การพิจารณาที่มาของสูตรอาจพิจารณาจากกรณีตัวอย่างดังต่อไปนี้

1 / (3 x 4) = 1/3 - 1/4

4 / ( 5 x 9 ) = 1/5 - 1/9

6 / (6 x 12) = 1/6 - 1/12

จึงสรุปเป็นสูตรได้ว่า
เศษส่วนใดที่ผลต่างของตัวประกอบของส่วนเท่ากับเศษ จะสามรถกระจายเศษส่วนนั้นเป็นเศษส่วนย่อยได้ทันที กล่าวคือ

m / x(x + m) = 1/x - 1/(x + m)
[ เนื่องจาก (x + m) - x = a ]

ตัวอย่างโจทย์
ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกของ 1/(1x2) + 2/(2x4) + 3/(4x7) + 4/(7x11)
วิธีทำ ให้ s = 1/(1x2) + 2/(2x4) + 3/(4x7) + 4/(7x11)
เนื่องจาก ผลต่างของตัวประกอบของส่วนของแต่ละเทอมต่างก็เท่ากับ 1 ตรงกับเศษพอดี ดังนั้นจะสามารถแยกเศษส่วนในแต่ละเทอมเป็นเศษส่วนย่อยได้ทันที ดังนี้
s = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/4) + (1/4 - 1/7) + (1/7 - 1/11)
= (1/1 - 1/11) = 10/11 #

ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของ 1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)
วิธีทำ ผลต่างของตัวประกอบของส่วนเป็น 2 ทุกจำนวน ดังนั้นต้องทำตัวเศษของแต่ละเทอมเป็น 2
ให้ s = 1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)
= (2/2) [1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)]
= (1/2) [2/(1x3) + 2/(3x5) + 2/(5x7) + 2/(7x9) + 2/(9x11)]
= (1/2) [ (1/1 - 1/3) + ( 1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + (1/7 - 1/9) + (1/9 - 1/11) ]
= (1/2) [ 1/1 - 1/11]
= 5/11 #

ตัวอย่าง 3 จงหาค่าของ 1/(a)(a+1) + 2/(a + 1)(a + 3) + 3/(a + 3)(a + 6) + 4/(a + 6)(a + 10)
วิธีทำ ให้ s = 1/(a)(a+1) + 2/(a + 1)(a + 3) + 3/(a + 3)(a + 6) + 4/(a + 6)(a + 10)
= [(1/a) - 1/(a+1)] + [1/(a+1) - 1/(a+3)] + [1/(a+3) - 1/(a+6)] + [1/(a+6) - 1/(a+10)]
= 1/a - 1/(a+10)
= 10 / a(a+10) #

ตัวอย่าง 4 จงหาค่าของ 1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/(13x14x15)
วิธีทำ ให้ s = 1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/(13x14x15) ..........(1)
ผลต่างระหว่างพจน์หลังสุดและพจน์แรกของตัวส่วนของทุกเศษส่วนเท่ากันหมดคือ 3-1 = 2, 4 - 2 = 2, 5 - 3 = 2, ... ,15 - 13 = 2
2x(1) จะได้ 2s = 2/(1x2x3) + 2/(2x3x4) + 2/(3x4x5) + ... + 2/(13x14x15)
= [1/(1x2) - 1/(2x3)] + [1/(2x3) - 1/(3x4) ] + [1/(3x4) - 1/(4x5)] + ... + [1/(13x14) - 1/(14x15) ]
= 1/(1x2) - 1/(14x15)
= (105 - 1) / 210
= 104 / 210
= 52/105

ดังนั้น s = 26/105 #

ตัวอย่าง 5 จงหาค่าของ
1/[x(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)(x+3)] + ... + 1/[(x+2)(x+3)(x+4) + 1/[(x+3)(x+4)(x+5)
วิธีทำ ให้ s = 1/[x(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)(x+3)] + 1/[(x+2)(x+3)(x+4) ] + 1/[(x+3)(x+4)(x+5)]
2s = 2/[x(x+1)(x+2)] + 2/[(x+1)(x+2)(x+3)] + 2/[(x+2)(x+3)(x+4) ] + 2/[(x+3)(x+4)(x+5)]
= 1/[x(x+1)] - 1/[(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)] - 1/[(x+2)(x+3)] + ... + 1/[(x+3)(x+4)] - 1/[(x+4)(x+5)]
= 1/[x(x+1)] - 1/[(x+4)(x+5)]
= ( 8x + 20 ) / [x(x+1)(x+4)(x+5)]
= 4(2x + 5) / [x(x+1)(x+4)(x+5)]

s = 2(2x + 5) / [x(x+1)(x+4)(x+5)] #


เอวังก็มีด้วยประการฉะนี้

ด้วยความปราถนาดี
ครูพี

"เอื้อเฟื้อเผื่อแผ่ รู้จักเพียงพอ"
ในขณะที่ใช้เส้นทางอันคับแคบอยู่นั้น ต้องรู้จักเผื่อแผ่ทางเดินให้ผู้อื่นใช้ด้วย ในยามที่ได้ลิ้มรสชาติอันเอร็ดอร่อยอยู่นั้น ต้องรู้จักแบ่งปันให้ผู้อื่นได้ลิ้มชิมบ้างเช่นนี้จึงจักเป็นวิธีการหาความสุขจากการใช้ชีวิตที่ดีที่สุด

จาก ... คัมภีร์รากผัก

เกร็ดคำทำนาย
กลั่นธรรม

THE BEST PROBLEMS

การเรียนคณิตศาสตร์ที่ดียิ่งวิธีหนึ่งคือการเรียนรู้จากโจทย์ที่ดี มีการวางเงื่อนไขที่ต้องใช้หลักการอย่างมีศิลปะและเทคนิควิธีที่ถูกต้องเหมาะสมกับบริบทของโจทย์ มีลักษณะท้าทายไม่ง่ายอย่างชั่วพลิกฝ่ามือหรือแสนเข็ญสุดจะหยั่งคาด เมื่อได้ทำและทำได้ก็ให้ความรู้สึกที่ดีแก่ผู้ทำ กระตุ้นสารโดพามีนในสมองหลั่ง หวังที่จะทำซ้ำ ๆ อย่างจดจ่อ อ้อนี่ละหนาที่เขาว่า สุขใดฤาจะสุขเท่ากับพลังอำนาจแห่งความเข้าใจหรือปัญญา แต่ไม่ง่ายนาจะบอกให้ในการแสวงหาโจทย์ดี ๆ ดังที่ครูพี เลือกสรรกลั่นกรองนำมาฝาก ลองทำดูก่อนนะครับ
ก่อนดูเฉลย ถ้าผู้สอนไม่กระตุ้นให้โดพามีนในตนหลั่งได้ก่อนแล้วอย่าคิดหวังจะให้ลูกศิษย์ทำได้ .... เริ่มเลยนะครับ แล้วงานนี้ไม่จบง่าย ๆ ครูพีก็ update เพิ่มเติมไปเรื่อย ๆ ไม่รู้ google จะรำคาญตัดออกจากสารบบเมื่อไหร่ก็ไม่รู้นะครับ

ข้อ 1 แดงตื่นขึ้นมาในตอนเช้าของวันอังคาร เขาฉุกคิดสงสัยขึ้นมาว่า ถ้าในอีก 100 วัน ถัดไปมันจะตรงกับวันใด

ข้อ 2 พิลดามีแสตมป์ราคา 3 บาทอยู่ 4 ดวง และแสตมป์ราคา 5 บาทอยู่ 3 ดวง พิลดาจะสามารถใช้แสตมป์เหล่านี้ (อย่างน้อย 1 ดวง) มาประกอบกันให้มีมูลค่ารวมแตกต่างกันได้ทั้งหมดกี่วิธี

ข้อ 3 จงหาผลรวมของจำนวนนับ 25 ตัวแรก นั่นคือ S = 1 + 2 + 3 + ... + 25 แล้ว S จะมีค่าเท่าไร

ข้อ 4 ที่ร้านขายอุปกรณ์การเรียนแห่งหนึ่ง ปากกาทุกด้ามมีราคาเดียวกัน และดินสอทุกแท่งมีราคาเดียวกัน
ปากกา 3 ด้าม และดินสอ 2 แท่ง ราคารวมกัน 78 บาท แต่ ปากกา 2 ด้าม และดินสอ 3 แท่ง ราคารวมกัน 72 บาท
จงหาว่าดินสอราคาแท่งละกี่บาท

ข้อ 5 ชาวนา 3 คนเกี่ยวข้าวเสร็จในเวลา 3 สัปดาห์ กับ 2 วัน
ถ้าใช้ชาวนา 4 คน ทำงานอย่างเดียวกันโดยแต่ละคนทำงานในอัตราดียวกัน (สัปดาห์หนึ่งทำงาน 6 วัน) จะต้องใช้เวลานานเท่าใดจึงจะทำงานเสร็จ

ข้อ 6 สมบัติซื้อไก่มาตัวหนึ่งราคา 100 บาท ขายไปในราคา 150 บาท ซื้อกลับมาในราคา 200 บาท และขายไปอีกในราคา 250 บาท สมบัติได้กำไรหรือขาดทุนไปเท่าไร

ข้อ 7 เพรียวพันธ์มีเหรียญสตางค์ชนิดเหรียญละ 5 สตางค์ และ 25 สตางค์ รวมกัน 30 อัน และมีมูลค่ารวมกัน 4.10 บาท เพรียวพันธ์มีเหรียญชนิดละกี่อัน

ข้อ 8 ตัดบัตรรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดกว้าง 2 นิ้ว ยาว 3 นิ้ว ออกจากแผ่นกระดาษรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดกว้าง 2 ฟุต และยาว 3 ฟุต สามารถตัดบัตรขนาดดังกล่าวได้อย่างมากที่สุดกี่แผ่น

ข้อ 9 ในการแข่งขันโบว์ลิ่ง 3 เกม สุวิจักขณ์ทำคะแนนได้ 139, 143 และ 144 คะแนน ในเกมที่ 4 สุวิจักขณ์จะต้องทำคะแนนให้ได้อีกเท่าไรจึงจะได้คะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 145 คะแนน

ข้อ 10 หนังสือเล่มหนึ่งหนา 500 หน้า พิมพ์เลขหน้าไว้เป็น 1, 2, 3,... มีเลขโดด 1 ปรากฏเป็นเลขหน้าของหนังสือเล่มนี้ทั้งหมดกี่ตัว


ข้อ 11 ลูกแก้วจำนวนหนึ่งสามารถแบ่งให้เท่ากันไม่ว่าจะเป็นการแบ่งให้เด็ก 2, 3, 4, 5 หรือ 6 คน
ลูกแก้วจำนวนนี้มีอย่างน้อยที่สุดกี่ลูก


ข้อ 12 วิมลเดินทางไปราชการเป็นระยะทาง 60 กิโลเมตรด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และเดินทางกลับด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย 30 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
วิมลเดินทางทั้งไปและกลับด้วยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง


ข้อ 13 ตัวเลขสี่หลัก 3DD1 หารด้วย 9 ลงตัว
เลขโดด D คืออะไร


ข้อ 14 พิจารณาผลบวก
1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + 1/(4x5) + 1/(5x6)
จงเขียนผลบวกดังกล่าวในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ


ข้อ 15 ถ้านับเพิ่มทีละ 3 โดยเริ่มจาก 1 จะได้ลำดับตัวเลขเป็น 1, 4, 7, 10, ,...
จำนวนในอันดับที่ 100 คือจำนวนใด


ข้อ 16 ทุเรียนกวน 100 กิโลกรัม แบ่งใส่กล่อง กล่องละ 5/4 กิโลกรัม ราคาขายกล่องละ 52.50 บาท
เมื่อขายหมดทุกกล่องจะได้เงินกี่บาท


ข้อ 17 กำหนดให้ 1/3 = 1/M + 1/N เมื่อ M, N เป็นจำนวนเต็มหน่วยที่ต่างกัน (จำนวนเต็มหน่วยได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, ... )
จงหาค่าของ M และ N

ข้อ 18 ให้ A และ B แทนจำนวน และ A*B = (A + B) / 2
จงหาค่าของ 3 * (6 * 8)


ข้อ 19 2, 4, 6 และ 8 เป็นตัวอย่างของจำนวนคู่เรียงกันสี่จำนวน ถ้าจำนวนคู่ห้าจำนวนเรียงกันมีผลรวเป็น 320
จงหาจำนวนคู่ที่น้อยที่สุดในห้าจำนวนนี้


ข้อ 20 เอกรัฐตัดหญ้าได้ 600 ตารางหลาในเวลา หนึ่งชั่วโมงครึ่ง
ถ้าให้เอกรัฐตัดหญ้า 600 ตารางฟุต (ด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม) จะต้องใช้เวลานานเท่าไร

ข้อ 21 จำนวนที่หาร 109 แล้วมีเศษเหลือเป็น 4 มีอยู่หลายจำนวน
จงเขียนจำนวนที่มีสองหลักทั้งหมดที่มีสมบัติดังกล่าว

ข้อ 22 พ่อค้าบรรจุลูกแก้วใส่กล่องสองขนาด กล่องเล็กบรรจุแก้วกล่องละ 5 ลูก กล่องใหญ่บรรจุลูกแก้วกล่องละ 12 ลูก
ถ้าพ่อค้าบรรจุลูกแก้ว 99 ลูกใส่กล่อง โดยใช้กล่องมากกว่า 10 ใบ อยากทราบว่าพ่อค้าบรรจุลูกแก้วใส่กล่องขนาดเล็กและขนาดใหญ่ชนิดละกี่กล่องโดยไม่มีเศษเหลือ

ข้อ 23 กำหนด a และ b เป็นจำนวนสองจำนวนที่แตกต่างกัน เลือกจากจำนวนนับ 50 จำนวนแรกอย่างไม่เจาะจง
จงหาค่ามากที่สุดของ (a + b) / (a - b)


ข้อ 24 นาฬิกาแขวนเรือนหนึ่งตีบอกเวลา 1 ที ในเวลา 1 นาฬิกา ตี 2 ทีในเวลา 2 นาฬิกา ตี 3 ทีในเวลา 3 นาฬิกา เป็นเช่นนี้เรื่อยไป
ในช่วงเวลา 12 ชั่วโมง นาฬิกาเรือนนี้ตีบอกเวลาทั้งหมดกี่ที

ข้อ 25 ตุ้มน้ำหนัก 5 อัน มีน้ำหนักเฉลี่ย 13 กรัม เพิ่มตุ้มน้ำหนักซึ่งหนัก 7 กรัมอีกหนึ่งอัน
จงหาน้ำหนักเฉลี่ยของตุ้มน้ำหนัก 6 อันนี้

ข้อ 26 เหรียญสตางค์กองหนึ่งประกอบด้วยเหรียญหนึ่งสตางค์ และเหรียญสิบสตางค์ อย่างละ 100 อัน ให้นักเรียนเลือกเหรียญ 21 อัน ให้มีมูลค่ารวมกันเป็น 1 บาท โดยต้องเลือกเหรียญแต่ละชนิดอย่างน้อย 1 อัน
นักเรียนต้องเลือกเหรียญแต่ละชนิด ชนิดละกี่อัน

ข้อ 27 นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 30 คน พูดภาษาจีนได้ 8 คน พูดภาาาลาวได้ 12 คน พูดได้ทั้งสองภาษา (จีนและลาว) 3 คน
มีนักเรียนกี่คนในกลุ่มนี้ที่พูดภาษา(จีนและลาว) 3 คน



(พักยก)


ด้วยความปราถนาดี
ครูพี/

"จิตโอบอ้อมอารี คุณความดียืนยาว"


คนเราควรมีจิตใจโอบอ้อมอารีต่อผู้อื่นไม่ทำให้เขารู้สึกไม่พึงพอใจ คุณงามความดีที่สั่งสมไว้ก่อนตายจะคงอยู่ยาวนานตลอดไป และสามารถทำให้คนที่ยังอยู่ระลึกถึงอย่างมีเสื่อมคลาย

ข้อคิดดี ๆ จากคัมภีร์รากผัก

กลั่นคำธรรมะ

เกร็ดโหร

มนตรา

ทฤษฎีเศษเหลือเหนือพหุนาม

ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพหุนามที่เป็นตัวหารซึ่งมีดีกรีต่ำกว่านั้นนอกเหนือจากจะหาได้ด้วยวิธีการตั้งหารตามปกติแล้ว ถ้าในกรณีที่ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งแล้วเราสามารถจะหาเศษจากการหารได้ง่าย ๆ ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือเข้ามาช่วย ซึ่งน่าจะทำให้ประหยัดเวลามากกว่าและมีโอกาสผิดพลาดจากการคำนวณน้อยกว่าวิธีการตั้งหารตรง ๆ นอกจากนี้แล้วยังสามารถประยุกต์หลักการเกี่ยวกับทฤษฎีเศษเหลือนั้นไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนเกี่ยวกับการหารพหุนามได้อย่างมีประสิทธิภาพ
หลักการที่ควรรู้ ซึ่งผู้เรียนคณิตศาสตร์ควรจำและเข้าใจมีดังนี้

1. ให้ P(x) เป็นพหุนาม ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นค่าคงตัว แล้ว เศษที่ได้จากการหารเท่ากับ P( c )

2. ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม ax - b เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง และ a ไม่เท่ากับ 0 แล้วเศษที่ได้จากการหารจะัเท่ากับ P(b/a)

3. x - c เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) ก็ต่อเมื่อ P(c) = 0

4. ax - b เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x0 ก็ต่อเมื่อ P(b/a) = 0


ตัวอย่าง 1. จงหาเศษจากการหาร x^3 - x^2 - 3x + 6 ด้วย x - 2
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 - x^2 - 3x + 6 แล้ว แทน x ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 2^3 - 2^2 - 3(2) + 6 = 4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น 4 #

ตัวอย่าง 2 จงหาเศษจากการหาร x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 ด้วย x + 3
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 แล้ว แทน x ด้วย -3 ลงใน P(x) จะได้ P(-3) = (-3)^3 +4((-3) ^2) +5(-3) + 2 = -4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น -4 #

ตัวอย่าง 3 (ข้อสอบ Entrance) กำหนด P(x) = x^5 + a(x^3) - x + b โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริง ถ้า x - 1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 และ x + 1 หาร P(x) เหลือเศษ 1 แล้ว x หาร P(x) จะเหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. -1
2. 0
3. 1
4. 2

แนวคิด จาก P(x) = x^5 + a(x^3) - x + b
ถ้า x - 1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 จะได้ P(1) = -1 และ
x + 1 หาร P(x) เหลือเศษ 1 จะได้ P(-1) = 1
จะกำหนดสมการได้เป็น
a + b = 1 ..........(1)
-a + b = -1 ..........(2)
แก้ระบบสมการจะได้ a = 0 และ b = -1
ดังนั้น P(x) = x^6 - x - 1
เมื่อหารด้วย x หรือ x-0 ก็แทน x ด้วย 0 ลงไปใน P(x) จะได้ P(0) = -1 ซึ่งเป็นเศษตามต้องการ #


ตัวอย่าง 4 (Entrance) กำหนดให้ x + 1 และ x - 1 เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 3(x^2) + x^2 - ax + b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว เศษเหลือที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x - a - b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 15
2. 17
3. 19
4. 21

แนวคิด ให้ P(x) = 3(x^3) + x^2 - ax + b
เนื่องจาก x + 1 เป็นตัวประกอบของ P(x) แสดงว่าเมื่อหาร P(x) ด้วย x + 1 เศษเป็น 0
และ x - 1 เป็นตัวประกอบของ P(x) แสดงว่าเมื่อหาร P(x) ด้วย x - 1 เศษเป็น 0
ดังนั้น P(-1) : 3[(-1)^3] + (-1)^2 - a(-1) + b = 0
a + b = 2 ..........(1)
และ P(1) : 3(1^3) + 1^2 -a(1) + b = 0
-a + b = -4 ..........(2)
แก้ระบบสมการ จะได้ a = 3, b = -1
ดังนั้น P(x) = 3(x^3) + x^2 - 3x -1
จะได้ x - a - b = x - 2
หาเศษโดยแทน x ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 21 ซึ่งเป็นเศษตามต้องการ #


หวังว่าเกร็ดเล็ก ๆ นี้จะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่สนใจบ้างนะครับ


ด้วยความปราถนาดี
ครูพี/



"ใจสูงมาจากความเรียบง่าย
แต่สูญสลายเพราะความฟุ้งเฟ้อ"

คนที่สามารถทนกิน ทนดื่ม อาหารชั้นเลวได้ โดยมากเป็นผู้ที่เปี่ยมด้วยความคิดและจิตใจที่สูงส่ง ส่วนคนที่มุ่งแต่หาอาหารและเครื่องดื่มชั้นดี ก็ต้องยอมตนเป็นทาสรับใช้ผู้อื่นอย่างไม่เกรงอัปยศหมดศักดิ์ศรี ดังนั้น เราจึงสามารถมองดูอุดมคติอันสูงส่งของคนได้จากความไม่ใส่ใจในลาภสักการะ แต่ทว่าอุดมคติอันสูงส่งก็อาจสูญสลายไปได้เพราะอาหารและเครื่องประดับชั้นดี


คมความคิดดี ดี จากคัมภีร์รากผัก

ลิงค์ เกร็ดพยากรณ์
link คาถา/มนตรา
Approach to กลั่นคำธรรมะ