ใหญ่ ๆ ตั้งไว้ให้หาเศษจะ get กันไหมนี่

สารบัญบทความ


เราสามารถประยุกต์เอาความรู้เกี่ยวกับ สมภาค(congruence) และสมบัติพื้นฐานของ
สมภาคมาใช้ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่ ๆ ได้ โดยพิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 1 จงหาเศษจากการหาร 7^10 ด้วย 51
วิธีทำ เราจะต้องหา x โดยที่ 7^10 ≡ x (mod 51) เมื่อ 0 ≤ x < 51
เนื่องจาก 7^2 ≡ -2 (mod 51) ดังนั้น (7^2)^5 ≡ (-2)^5 (mod 51) ≡ -32 (mod 51) และ
-32 ≡ 19 (mod 51) จะได้ 7^10 ≡ 19 (mod 51) แสดงว่าเศษที่ต้องการเป็น 19 □


ตัวอย่าง 2 จงหาเศษที่เกิดจากการหาร 2^11 ด้วย 23

วิธีทำ เราจะต้องหา x โดยที่ 2^11 ≡ x (mod 23) เมื่อ 0 ≤ x < 23
2^5 ≡ 9 (mod 23)
(2^5)^2 ≡ 9^2 (mod 23)
2^10 ≡ 81 (mod 23) และ 81 ≡ 12 (mod 23)
ดังนั้น 2^10≡ 12 (mod 23)
2 ≡ 2 (mod 23) จะได้ 2^11≡ 24(mod 23) และ 24≡ 1 (mod 23)
แสดงว่า 2^11 ≡ 1 (mod 23) ดังนั้นเศษที่ต้องการเท่ากับ 1 □


ตัวอย่าง 3 จงหาเศษจากการหาร 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 99! + 100! ด้วย 12
วิธีทำ เนื่องจาก 4! ≡ 0 (mod 12) , 5! ≡ 0 (mod 12) , ... , 100! ≡ 0 (mod 12)
จะได้ 4! + ... + 99! + 100! ≡ 0 (mod 12)
1! + 2! + 3! + 4! + ... + 99! + 100! ≡ (1! + 2! + 3!) (mod 12) ≡ (1+2+6) ≡ 9 (mod 12)

ดังนั้นเศษที่ต้องการ คือ 9 นั่นเอง #

แนวคิดเกี่ยวกับ สมภาคนี้ ครูผู้สอนระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ควรต้องสอนเสริมเพิ่มเติมเข้าไปในเนื้อหาเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 ก็จะเป็นการติดปีกทางปัญญา เพิ่มมุมมองการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์แก่ลูกศิษย์ได้มากยิ่งขึ้น แต่อย่างไรก็ตามครูผู้สอนก็ต้องฝึกวิทยายุทธให้เจนจบครบเครื่องก่อนนะครับ ...ตกม้าตายก็ตัวใครตัวมันก็แล้วกัน

หมายเหตุ
ความสัีมพันธ์ "สมภาค" มอดุโล m จะมีสมบัติเป็น ความสัมพันธ์ชนิดสมมูล นั่นคือ มีสมบัติ สะท้อน สมมาตร และถ่ายทอด และสมบัติบางอย่างที่เหมือนกับสมการ คือ การบวก ลบ คูร ด้วยจำนวนที่เท่ากัน และการยกกำลัง


ด้วยความปราถนาดี

ครูพี/

ข้อคิด

เมื่อทำงาน หรือเรียนต้องตั้งใจทำให้ดีที่สุด



เมื่อทำงานให้แก่หน่วยงานหรือบริษัทใดให้ทำให้ดีที่สุดอย่างสุดความสามารถ สุดจิตสุดใจ เมื่อเรียนหนังสือก็เช่นเดียวกัน ให้ตั้งใจมั่นและขยันหมั่นเพียร ทุ่มเททุกอย่างให้กับการเรียนรู้ ถ้าเธอทำได้เธอจะได้รับดอกผลตอบแทนในภายหน้า เพราะการทุ่มเทในวันนี้ก็คือการลงทุนของเธอสำหรับวันหน้านั่นเอง...

หอ รอ มอ ...ผิดกันให้พอ

สารบัญบทความ

อนุสนธิจากการสอบกลางภาค (Midterm) วิชา ทฤษฎีจำนวน (Theory of Number) ของนักศึกษาป.ตรี ที่ครูพีสอนในภาคเรียนที่ 2/53 ซึ่งผู้เรียนได้ผ่านการศึกษา นิยาม ทฤษฏีเกี่ยวกับ การหารลงตัว ตัวหารร่วมมาก และตัวคูณร่วมน้อยมาแล้ว โดยครูพีได้กำหนดโจทย์ข้อสอบข้อหนึ่งว่า

"จงแสดงวิธีการหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดซึ่งหาร 157, 141 และ 109 แล้วเหลือเศษเท่ากัน"

นักศึกษาเข้าสอบเกือบร้อยคน มีเพียง 1 คนเท่านั้นที่พอแสดงวิธีการ ที่มาที่ไปของกระบวนการได้ พอมีเหตุมีผล... นอกนั้นศูนย์! ครับท่าน! มันจะอะไรขไหนหนาดพ่อคุณแม่คุณ...โจทย์แบบนี้มีเห็นกันอยู่เกลื่อนกล่นทั่วไปในข้อสอบเกี่ยวกับการประยุกต์ ห.ร.ม. บางคนรู้ว่าจะทำอย่างไร แต่ไร้เหตุผลที่จะนำแจ้งแถลงไขให้ชัดเจนได้ว่าทำไมต้องทำเช่นนั้น จึงทำได้เพียงใช้วิธีจับคู่ลบกัน(ใหญ่ตั้ง เล็กลบ)ให้ครบคู่เพื่อดูความสัมพันธ์ดังนี้ 157 - 141 = 16, 157 - 109 = 48 และ 141-109 = 32 แล้ว นำผลที่ได้คือ 16, 48 และ 32 มาหา ห.ร.ม. เป็น 16 แล้วบอกเป็นคำตอบออกมา ...ใช่มันเป็นคำตอนที่ถูกต้องของโจทย์ข้อนี้ ...ก็พอมีคะแนนให้บ้าง แต่วัตถุประสงค์ของโจทย์ต้องการให้ชี้แจงแสดงเหตุผลถึงที่มาที่ไปโดยประยุกต์แนวคิดเกี่ยวกับการหารมาแก้ปัญหา ไม่ใช่ให้ใช้วิชามารโดยไม่รู้ที่ไปที่มา ...จำมาอย่างนี้นี่นา...เคล็ดลับตลอด...มันเป็นคณิตศาสตร์แบบไสยศาสตร์ไหมนี่ ?

วิธีทำ หรือ กระบวนการที่ถูกต้องเป็นดังนี้

สมมุติ x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หารทั้งสามจำนวนที่กำหนดให้ แล้วเหลือเศษ r เท่ากัน แล้วใช้ทฤษฎีบทที่ชื่อ Division Algorithm หรือ Euclidean Algorithm สรุปในรูปแบบ ตัวตั้ง เท่ากับ ตัวหารคูณผลลัพธ์ บวก เศษ โดยเศษนั้นต้องไม่ติดลบ และน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร นั่นคือ

157 = xq + r , 0 ≤ r <|x|=x → r = 157 - xq ...... (1)
141 = xt + r , 0 ≤ r <|x|=x → r = 141 - xt ...... (2)
109 = xs + r , 0 ≤ r <|x|=x → r = 109 - xs ...... (3)

ดำเนินการต่อไปโดย

(1)-(2) จะได้ 0 = 16 - xq + xt → 16 = xq - xt = x(q-t) แสดงว่า x | 16
(1)-(3) จะได้ 0 = 48 - xq + xs → 48 = xq - xs= x(q-s) แสดงว่า x | 48
(2)-(3) จะได้ 0 = 32 - xt + xs → 32 = xt - xs = x(t-s) แสดงว่า x | 32

จากผลดังกล่าวนี้จะเห็นว่า x ต้องเป็นตัวหารร่วมของ 16, 48 และ 32 ที่สำคัญที่สุดคือ x ต้องเป็นตัวหารร่วมที่มากที่สุดด้วย นั่นคือ x = (16, 48, 32) = 16 เป็นจำนวนตามต้องการ that you see!

อนาคตครูคณิตทั้งหลาย ควรเข้าใจอย่างลึกซึ้งในกระบวนการนี้ เพราะคุณต้องเอาไปสอนเขา .....Are you get it ! ?


ด้วยความปราถนาดี ครูพี

สวดมหาพุทธมนต์ทุกวัน แล้วฝันจะเป็นจริง : "นัมเมียว โฮเร็ง เงเคียว "




ข้อคิด เพื่อชีวิตที่มีค่า

แบ่งเวลาพักผ่อนโดยการไปดูการแสดงละคร นิทรรศการศิลปะหรืออื่น ๆ บ้าง
หาเวลาไปดูการละเล่นบ้างหรือไปดูการแสดงละคร ดนตรี การแสดงพื้นบ้าน นิทรรศการศิลปะ ตามที่ตัวเองนิยมชมชอบ สิ่งเหล่านี้เป็นอาหารของจิตใจ ผูกพันเธอกับสุนทรียะของสิ่งที่ศิลปินสรรค์นฤมิตขึ้นมา เธออาจค้นพบสัจธรรมแห่งชีวิตที่ลิขิตจากงานศิลปะเหล่านี้ก็เป็นได้

เศษ กับ เศษตกค้าง มันต่างกันไหมนี่

สารบัญบทความ

ครูพีต้องเผชิญกับวิบากกรรม เพื่อทำให้ลูกศิษย์ get กับ concept ของคำว่า "เศษ" และ "เศษตกค้าง" ครั้งแล้วครั้งเล่า ซ้ำ ๆ และ ซาก ๆ พูดแล้วพูดอีก เอาแล้วเอาอีก คนที่ไม่รู้มันก็ยังคง say "์No" อยู่เหมือนเดิม จะไม่รู้เสียอย่าง ใครจะทำไม? คนรู้แล้วก็สุดจะเซ็ง...แล้วมันจะสอนโดยยึดผู้เรียนเป็นสำคัญได้อย่างไรวะนี่....บนเวทีที่มีทั้งเต่าและกระต่าย ...เฮ้อ! กรรมของตู แท้ ๆ...

เราจะว่าด้วยเรื่องแนวคิดของคำว่า "เศษ" ซึ่งฝรั่งเรียกว่า Remainder ในทฤษฎีจำนวนได้ระบุเรื่องนี้ ความปรากฏอยู่ใน "ขั้นตอนวิธีการหาร หรือทฤษฎีบทพื้นฐานของยุคลิด (Division Algorithm or Fundamental Theorem of Euclid)" มีรายละเอียดดังนี้

"ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 แล้วจะมีจำนวนเต็มเพียงคู่เดียว(unique) คือ q และ r โดยที่ a = bq+r เมื่อ 0≤r<|b|" เรียก a ว่า ตัวตั้ง เรียก b ว่าตัวหาร (ต้องไม่เป็น 0) เรียก q ว่าผลลัพธ์ หรือ ผลหาร และเรียก r ว่า เศษ


สมการเกี่ยวกับการหารตามทฤษฎีนี้ ที่จริงแล้วมันมิใช่ของใหม่ ใคร ๆ ก็รู้กันทั้งนั้นว่า ตัวตั้ง เท่ากับตัวหารคูณผลลัพธ์บวกเศษ ใครไม่รู้ก็บ้าแล้วโว้ย! เพียงช่วงนั้นยังไม่ได้เน้นย้ำเรื่องเศษที่ได้จากการหาร เพราะกล่าวถึงการหารจำนวนโดยทั่วไป

ใครสนใจรายละเอียดของการพิสูจน์ก็ไปค้นคว้าศึกษาเพิ่มเติมจากหนังสือทฤษฎีจำนวน ซึ่งมีผู้รู้ได้เขียนไว้หลายท่าน สิ่งที่ครูพีต้องการเน้นย้ำทำความเข้าใจกับผู้ศึกษาเรื่องนี้ คือ ตัวเศษที่เกิดขึ้นจากการหารนั้นมันต้องไม่ติดลบ เป็นศูนย์ได้ในกรณีหารลงตัว และจุดสำคัญคือ ค่าของเศษต้องน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหารเสมอ ในที่นี้ครูพีจขอแจงประเด็นให้เห็นเป็นกรณี ๆ ไป ดังนี้

กรณี 1 เมื่อตัวตั้ง และ ตัวหาร เป็น จำนวนเต็มบวก
1.1 a > b เช่น a = 9 , b=5 → 9 = 5(1) + 4 เมื่อ 0 ≤ 4 < |5| = 5 ผลลัพธ์ คือ 1 เศษ คือ 4 1.2 a = b เช่น a = 9 , b=9 → 9 = 9(1) + 0 เมื่อ 0 ≤ 0 < |9| = 9 ผลลัพธ์ คือ 1 เศษ คือ 0 เป็นการหารลงตัว 1.3 a < a =" 5" b="9" 5 =" 9(0)" a =" 0" b =" 7" 0 =" 7(0)" a =" -11," b =" -7" 11 =" (-7)(2)" a="-14" b =" 6" 14 =" (6)(-3)" style="font-weight: bold;">"เศษตกข้าง(Residue)" เรื่องนี้มันเกี่ยวของกับ แนวคิดของสมภาค(congruence) นั่น คือ
a ≡ r(mod m) จะกล่าวว่า r เป็นเศษตกค้าง modulo m โดยที่ a, r เป็น จำนวนเต็ม และ m є Z+ นั่นก็แสดงว่า เศษตกข้าง r อาจเป็นจำนวนเต็บลบ ก็ได้ อนึ่งถ้าเศษตกข้าง r เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบ และน้อยกว่า m แล้ว เศษตกค้างก็ย่อมเท่ากับเศษที่เกิดจากการหาร a ด้วย m หรือ r ด้วย m เช่น 17 ≡ 3(mod 7) จะเห็นว่าเศษตกค้าง 3 ของ 17 mod 7 จะเท่ากับ เศษที่เกิดจากการหาร 17 ด้วย 7 ....เอวังก็มีด้วยประการฉะนี้


หมายเหตุ

1) a ≡ r(mod m) ↔ m | a - r ↔ a - r = mq เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม

2) เศษที่เกิดจากการหารด้วย m มี m ตัว คือ 0, 1, 2, ..., m-1

3) a ≡ r(mod m) จะได้ เศษที่เกิดจากการ a ด้วย m เท่ากับเศษที่เกิดจากการหาร r ด้วย m




ด้วยความปราถนาดี
ครูพี





"นัมเมียว โฮเร็ง เงเคียว"
มหาพุทธมนต์คุ้มครองทุกคน


ข้อคิด ดี ๆ
ความใกล้ชิดเป็นญาติอย่างยิ่ง

ไม่ว่าเธอจะไปทำอะไรหรืออยู่ที่ไหน ขอให้ถือเป็นกิจวัตรที่จะติดต่อพูดจาหรือเขียนจดหมายถึงพ่อแม่ พี่น้องและเพื่อนสนิท และแสดงความรักของเธอที่มีต่อเขาเหล่านั้นให้ประจักษ์ จงทำอย่างสม่ำเสมอ "ความใกล้ชิดเป็นญาติอย่างยิ่ง" การห่างเหินทำให้ญาติมิตรเหมือนคนแปลกหน้า

ผลแบ่งกั้น...มันมีแค่นี้!?

สารบัญบทความ

ช่วงเวลา 8.00 - 9.00 ครูพีสอนวิชาทฤษฎีจำนวนของนักศึกษาระดับปริญญาตรี มีข้อมูลเก็บตกที่น่าสนใจและคิดได้ในช่วงนั้นจึงขอบันทึกไว้เพื่อเตือนความจำหรืออาจมีใครใคร่รู้ และหรือจะแชร์มุมมองก็ยินดีรับฟัง

เรื่องที่จะกล่าวถึงนี้คือแนวคิดเกี่ยวกับ "ผลแบ่งกัน" (Partition) นั่น คือ เซต P จะเป็นผลแบ่งกั้นของเซต A เมื่อ A ไม่เป็นเซตว่างก็ต่อเมื่อ เซต P ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งแต่ละตัวต้องเป็นเซตย่อยของ A และไม่เป็นเซตว่าง อินเตอร์เซกชันของสองเซตใด ๆ ใน P เป็นเซตว่าง และยูเนียนของทุกเซตใน P จะต้องเท่ากับเซต A เสมอ โดยแนวคิดนี้จึงเสมือนมีผลแบ่งกั้นของ Z เพียง 2 เซตเท่านั้น คือ
P1 = { E, O } และ P2 = { Z-, Z0, Z+ } ในเบื้องต้นมันก็มองเห็นเพียงสองผลแบ่งกั้นนี้จริง ๆ แต่เมื่อพิจารณาในขอบเขตแนวคิดของสมภาค(congruence) มอดุโล m เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวกแล้วจะสามารถสร้างผลแบ่งกั้นของ Z ได้มากมายไม่จำกัด ตัวอย่าง เช่น

ในมอดุโล 3 เศษที่เกิดจากการหารจำนวนเต็มใด ๆ ด้วย 3 มี 3 ตัว คือ 0, 1, 2
( เศษที่เกิดจากการหารจำนวนเต็มด้วย m มี m จำนวน คือ 0, 1, 2, ..., m-1 )

พิจารณา
เซตของจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 เศษ 0 แทนด้วย [0] = {...,-6, -3, 0, 3, 6, ... }
เซตของจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 เศษ 1 แทนด้วย [1] = {...,-5, -2, 1, 4, 7, ... } และ
เซตของจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 เศษ 2 แทนด้วย [2] = {...,-4, -1, 2, 5, 8, ... }

ถ้าให้ P = { [0], [1], [2] } จะเห็นว่า P เป็นผลแบ่งกั้นของ Z เช่นกัน สังเกตได้โดยทุก ๆ สมาชิกใน P ไม่เป็นเซตว่าง และต่างก็เป็นเซตย่อยของ Z และไม่มีเซตสองคู่ใน P ที่ต่างกันมีสมาชิกร่วม และเมื่อนำทั้งเซตทั้งหมดมายูเนียนกันก็จะได้เท่ากับเซต Z พอดี

ในลักษณะเดียวกันนี้เราจะสามารถสร้างผลแบ่งกั้นขึ้นมาจากมอดุโล m ใด ๆ ได้อีกมากมาย

ความคิดเชื่อมโยง concept ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ต่าง ๆ จะทำให้การเรียนคณิตศาสตร์มีชีวิตชีวา และมีความหมายมากขึ้น มุมมองอะไรที่เราสังเกตเห็นในเนื้อหาต่าง ๆ ที่ไม่ได้เขียนไว้ในเนื้อหาสาระตรง ๆ ของรายวิชานั้น ผู้สอน และ/หรือ ผู้เรียนควรบันทึกเก็บไว้เพื่อเพิ่มมุมมองให้ตนเอง หรือเป็นกิจกรรมเสริมเพิ่มเติมให้เเก่ผู้เรียนก็น่าจะเป็นอานิสงส์ และเป็นการพัฒนาเนื้อหาวิชาให้มีคุณค่ามากจริงขึ้น หรือคุณว่าไม่จริง



ด้วยความปราถนาดี

ครูพี/

พระพุทธองค์คุ้มครอง : "นัมเมียว โฮเร็ง เงเคียว"



สุดยอด VDO ฝึกสติแบบเคลื่อนไหว กำลังใจ ดี ๆ จากบล็อกครูพี
คัดสรรกลั่นกรองเพื่อคุณทุกคนที่เข้าเยี่ยมชม โปรดลิงค์ ! ครับท่าน