รากกับกรณฑ์ที่สับสน

เมื่อกล่าวถึงคำว่า ราก(root)หลายท่านก็ดูเหมือนจะเข้าใจกันดี เพราะคุ้นชินกันมาตั้งแต่สมัยเรียนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมศึกษาตอนต้นแล้ว แต่ก็ไม่แน่ใจว่าเข้าใจครอบคลุมครบถ้วนใน concept นั้นเพียงใด เพราะผู้เขียนเคยถามนักศึกษาในระดับอุดมศึกษาที่สอนเสมอว่า รากที่สองของ 9 เป็นเท่าไร ซึ่งก็ได้รับคำตอบกลับมาทันทีโดยไม่สงสัยว่า " ก็ 3 นะซิ...ถามได้ ง่ายแค่นี้! " โดยลืมฉุกคิดไปว่า -3 ก็เป็นรากอีกตัวหนึ่งของ 9 เช่นกัน
แต่ถ้าถูกถามว่า "กรณฑ์(radical) ที่สองของ 9 เป็นเท่าไร ? หลายคนอาจชะงัก สับสน "อะไรวะกรณฑ์...ไม่เคยได้ยิน" ทั้ง ๆ ที่มันก็มีช่วงเวลาที่เรารู้จักมันใกล้เคียงกับคำว่ารากนั่นแหละ กรณฑ์ ก็คือ รากหลัก หรือรากสำคัญ (principle root) นั่นเอง หรือจะกล่าวว่ามันก็คือสับเซตของรากก็ว่าได้ กรณฑ์ที่่สองของ 9 ก็คือ 3 (ไม่รวม -3) นั่นคือกรณีอันดับของกรณฑ์เป็นเลขคู่ กรณฑ์อันดับ n ของจำนวนบวกใด ก็คือเลขบวกที่ยกกำลัง n แล้วได้เท่ากับจำนวนนั้น แต่ถ้าเป็นกรณฑ์อันดับคี่แล้วกรณฑ์กับรากก็ได้ผลเท่ากัน เช่นกรณฑ์อันดับ 3 ของ -8 หรือ รากอันดับ 3 ของ -8 ต่างก็เท่ากับ -2 เช่นกัน

แนวคิด ของรากที่ n หรือ กรณฑ์ที่ n กำหนดได้ดังดังนี้

### รากที่ n ของ x หมายถึง จำนวนจริงใดที่ยกกำลัง n แล้วได้ x จะได้ว่าจำนวนนั้นเป็นคำตอบ หรือผลเฉลย (solution)ของสมการ ซึ่งคำตอบนั้นจะไม่ยึดว่าเป็นค่าบวกเท่านั้นหรือค่าลบเท่านั้น ส่วนกรณฑ์ที่ n หมายถึง จำนวนจริงใดที่ยกกำลัง n แล้วได้ x ซึ่งหากคำตอบของสมการนั้นมีทั้งค่าบวกและค่าลบ ให้ถือว่าคำตอบของสมการนั้นเป็นค่าบวกเพียงอย่างเดียว ###


ขอความมีศิริมงคลแห่งธรรมจงคุ้มครองท่านให้มีความสุขสงบด้วยเทอญ

"โอม นะมะ พุทธะ"
ThaiBlog.info

ภาวะคู่กัน

หลักการของภาวะคู่กัน (Principle of Duality) คำว่า Duality หมายความว่า 'การอยู่กันเป็นคู่' หรือทางคณิตศาสตร์แปลว่า 'ภาวะคู่กัน' ใน Digital Logic ใช้แทนการเท่ากันของนิพจน์

การเท่ากันของนิพจน์ที่กลับนิพจน์โดยจะสลับเครื่องหมายและตัวเลข แต่ค่าเดิมจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยที่

1. สลับเครื่องหมายคูณ ( • ) กับเครื่องหมายบวก ( + )
2. ลลับเลข 0 กับเลข 1
3. ไม่สามารถเปลี่ยนค่า a เป็น a’

ตัวอย่าง

a + 0 = a จะเท่ากับ a • 1 = a

a + 1 = 1 จะเท่ากับ a • 0 = 0

a + a = a จะเท่ากับ a • a = a

a + a’ = 1 จะเท่ากับ a • a’ = 0

และ (a') ' จะเท่ากับ a

ข้อสังเกต
1. บางครั้งนิพจน์duality อาจจะไม่เท่ากับนิพจน์ตั้งต้น
2. ถ้านิพจน์ตั้งต้นสมเหตุสมผล นิพจน์ที่เท่ากันจะสมเหตุสมผลด้วย
3. ถ้านิพจน์ใดไม่ว่าจะเป็นนิพจน์ตั้งต้น หรือนิพจน์ที่เท่ากันใดๆเป็นจริง นิพจน์อื่นจะเป็นจริงด้วย

ภาวะคู่เสมอกันเทียบเคียงได้กับศัพท์คำว่า "ทวิภาวะ" ในทางพุทธศาสนา ซึ่งหมายถึง ธรรมที่เป็นของคู่ระบุถึงความเป็นสุดขั้ว ของความปรุงแต่งคู่ต่าง ๆ เช่น ดีกับชั่ว, สั้นกับยาว, ขาวกับดำ, มีกับไม่มี, รู้สึกตัวกับไม่รู้สึกตัว ฯลฯ ท่านสังฆปรินายกองค์ที่ ๖(ท่านเว่ยหล่าง)แห่งพุทธศาสนานิกายเซนในจีนชอบใช้คำศัพท์นี้(ทวิภาวะ)ในการ แสดงธรรมอยู่บ่อยๆ และ "ทวิภาวะ"ก็น่าจะเป็นการระบุถึงความปรุงแต่งอีกแง่มุมหนึ่งโดยเน้นที่ สุดขั้วของความเหมือนและความต่างดังที่กล่าวแล้ว ทวิภาวะ หรือ ภาวะคู่กันนี้แสดงให้เห็นสัจจของการเกิดร่วมกันหรือเป็นคู่ขนานในระบบอันเป็นฐานรองรับซึ่งกันและกัน ความจริงที่แปรเปลื่ยนไปภายใต้เงื่อนไขของระบบหนึ่ง ย่อมสอดคล้องส่งผลต่อระบบที่คู่กันอยู่เสมอ เมื่อสามารถพิสูจน์หรือแสดงทฤษฎีในระบบหนึ่งว่าเป็นจริง จะได้ผลโดยอัตโนมัติทันทีีว่าหลักการที่มีเนื้อหาที่สอดคล้องกันย่อมเป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์

Well defined !

ในการอธิบาย concept ของเซต ที่เป็น Undefined Term ในทางคณิตศาสตร์นั้น ครูผู้สอนมักจะอธิบายในลักษณะการนำคำว่าเซตไปใช้อ้างอิงถึงกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ ที่ต้องระบุสมาชิกในกลุ่มที่กล่าวถึงนั้นได้อย่างชัดเจน ถูกต้อง ตรงกัน และไม่กำกวมก่อให้เกิดการถกเถียง เช้น จะใช้ เซตของผลไม้ที่อร่อย เซตของบ้านที่น่าอยู่ เซตของคนสวย ซึ่งแต่ละคนอาจเลือกสรรสมาชิกของเซตที่กล่าวถึงแตกต่างกันได้ นอกจากนี้การเขียนเซตในลักษณะ เช่น { 3, 5, 7, ...} ก็ไม่ควรจะเกิดขึ้น เพราะสมาชิกลำดับถัดจาก 7 บางคนอาจบอกว่า เป็น 9 ถ้าเขาคิดว่ามันเป็นเซตของจำนวนคี่ แต่บางคนอาจบอกว่าเป็น 11 ถ้า เขาหมายถึงเซตของจำนวนเฉพาะ
ดังนั้นการระบุ หรือ เขียนแสดงเซต ต้องตระหนักถึงความ well defined ในการเขียนด้วย


การสอนของครูคณิตฯควรตระหนักถึึง ความ " ชัดแจ้ง จูงใจ แกล้วกล้า ร่าเริง "

มหาพุทธมนต์ "นัมเมียว โฮ เร็งเง เคียว"

บวกกับคูณหมุนสู่ฟังก์ชัน

ทุกท่านคงคุ้นเคยกับการบวก และการคูณของจำนวนกันเป็นอย่างดีใ่ช่ไหมครับ เพราะทั้งคู่ต่างก็เป็น operation หลักพื้นฐานสำคัญในวิชาเลขคณิต (Arithmetic) ซึ่งเป็นราชินีของวิชาคณิตศาสตร์ (Queen of Maths) ท่านทราบไหมว่า การดำเนินการทั้งสองนี้เราสามารถมองในมุมมองของการเป็นฟังก์ชันบนเซตของจำนวนจริง(หรืออื่น ๆ )ได้ นั้นคือ

+ : R x R ---> R โดยที่ +(( a,b)) = a+b เมื่อ (a, b) เป็นสมาชิกใด ๆ ใน RxR เช่น +((2,5)) = 2+5 = 7
x : R x R ---> R โดยที่ x(( a,b)) = axb เมื่อ (a, b) เป็นสมาชิกใด ๆ ใน RxR เช่น x((2,5))= 2x5 = 10

จะเห็นว่าเมื่อป้อน(input) คู่อันดับ (a,b) ของ RxR ผ่านลงไปในเงื่อนไขของ การบวก หรือ การคูณ จะได้ผลลัพธ์เป็นสมาชิกใน R เพียงตัวเดียวในแต่ละการดำเนินการ แสดงว่าเงื่อนไขดังกล่าวนั้นเป็นฟังก์ชันแน่นอน ฟังก์ชัน บวก หรือ คูณ ในรูป operation ดังกล่าวนี้ เรารู้จักกันในชื่อ ของการดำเนินการทวิภาค (Binary operation) บน R นั่นเอง

ของทุกท่านจงมีจิตแจ่มใสในใจที่เปี่ยมสุข สงบ

"โอม นะมะ พุทธะ."

เงื่อนไขทำไม ทำไมต้องเงื่อนไข

ในข้อตกลงของวิธีการเขียนเซต(set) นั้น มีวิธีการเขียนเซตได้สองแบบ คือ การเขีียนแบบแจกแจงสมาชิก และ แบบบอกเงื่อนไข
บางท่านอาจสงสัยว่า เขียนเพียงแบบแจกแจงสมาชิกอย่างเดียวก็น่าจะชัดเจน เพียงพอแล้ว ทำไมต้องเขียนแบบบอกเงื่อนไขให้วุ่นวาย
ยุ่งยากไปทำไม เรื่องนี้มีเหตุผล ดังในกรณีเซตบางลักษณะเช่น เซตของจำนวนจริง เซตของจำนวนตรรกยะ เราไม่อาจจะเขียนแจกแจงสมาชิกได้เลย แม้นว่าสมาชิกในเซตที่กล่าวถึงดังกล่าวนี้จะกำหนดได้อย่างชัดเจน (well defined) ก็ตาม ดังนั้นก็ต้องเขียนในรูปแบบบอกเงื่อนไขเท่านั้น

การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขนั้นจะมีความยืดหยุ่นในการใช้ได้มากกว่า และสามารถใช้ได้ในทุกสถานการณ์ นั่นคือ เซตทุกเซตที่สามารถเขียนแบบแจกแจงสมาชิกได้ย่อมสามารถเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้เสมอ


ขอพลังอำนาจแห่งความเข้าใจ จงบังเกิดแก่ทุกท่าน
"โอม มณี ปัทวี ฮม "

นัยที่แตกต่าง

นัยที่แตกต่างกันของจุดมุ่งหมายในการออกข้อสอบแบบปรนัย และอัตนัย เป็นดังนี้

ข้อสอบแบบปรนััย ใช้เพื่อช่วยในการออกข้อสอบให้ครอบคลุมขอบเขตวิชาได้กว้างขวาง ที่ไม่ต้องการความลึกซึ้งในรายละเอียด ต้องการวัดความรู้ในหลักการสำคัญเท่านั้น

ข้อสอบแบบอัตนัย เพื่อวัดความคิดผสมความรู้ และต้องการความลึกของการเรียนรู้ควบคู่ไปด้วย

ความว่างที่ยังวุ่น

ในการศึกษาเรื่องเซตนั้นเราจะพบว่า เซตว่าง (Empty set, Null set หรือ Void set) ซึ่งเป็นเซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิก 0 ตัว มีสมบัติพิเศษว่า เป็นเซตย่อยของทุกเซต ซึ่งการเป็นเซตย่อยของทุกเซตนั้นในหนังสือเรียนชั้น ม.ปลาย มักจะกำหนดให้เป็นข้อตกลง แต่อย่างไรก็ตามเราสามารถ พิสูจน์ได้โดยใช้รูปแบบการเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ได้ เนื่องจากข้อความในรูป implication ต่อไปนี้เป็นจริงเสมอ

ให้ A แทนเซตใด ๆ จะได้
" ถ้า x เป็นสมาชิกของเซตว่าง แล้ว x ย่อมเป็นสมาชิกของ A" ข้อความนี้เป็นสัจนิรันดร์

เนื่องจากข้อความที่เป็นเหตุคือ x เป็นสมาชิกของเซตว่างนั้นเป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้นไม่ว่า ข้อความที่เป็นผลจะเป็นจริง หรือ เท็จ ก็ตาม ย่อมส่งผลให้ข้อความดังกล่าวที่อยู่ในรูป "ถ้า ... แล้ว... " มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ นั่นคือเซตว่างย่อมเป็นเซตย่อยของ A เมื่อ A เป็นเซตใด ๆ ก็ย่อมแสดงว่าเซตว่างย่อมเป็นสมาชิกของทุกเซต

พิจาณาเซตกำลัง(Power set) ของเซตว่าง เนื่องจากเซตกำลังของเซตว่าง คือเซตที่รวบรวมเอาเซตย่อยของเซตว่างทั้งหมดไว้ เราจะเห็นว่า เซตว่างเป็นเซตย่อยของเซตว่าง ดังนั้นสมาชิกของเซตกำลังของเซตว่างจึงมีสมาชิกหนึ่งตัวคือเซตว่างนั่นเอง นั่นย่อมแสดงว่า เซตกำลังของเซตว่างย่อมมิใช่เซตว่างเพราะมีสมาชิก 1 ตัว คือเซตว่าง

ฉันใดก็ฉันนั้น ในวิถีของการปฏิบัติธรรมเพื่อการหลุดพ้นจากอัตตาตัวตน หรือความคิดปรุงแต่งนั้น สภาวะของความสงบว่างจากอกุศลธรรมทั้งหลายแล้วนั้น ในความว่างนั้นถ้าผู้ปฏิบัติยังยึดในความว่างนั้นอยู่ ก็ยังไม่ถึงที่สุดที่จะเข้าสู่ภาวะวิมุตติหลุดพ้นอย่างแท้จริง สิ้นเชิง เพราะยังมีจิตที่ยึดติดในความว่างอยู่ จิตจะต้องปล่อยวางแม้กระทั่งความว่างออกไปจึงจะก้าวล่วงสู่สภาวะสูงสุดได้
นั่นคือแม้นจะถึงความว่าง ถ้ายังยึดติด หรือมีีอุปทานในความว่างนั้นก็ยังหมุนสู่ความวุ่นได้อยู่ดี



ขอธรรมะเป็นพรแก่ทุกท่าน
มหาพุทธมนต์ " นัมเมียว โฮ เร็งเง เคียว "