สอบบรรจุ vs ความสามารถด้านคณิตศาสตร์

สวัสดีทุกท่านครับ ขอให้กำลังใจ นิสิต นักศึกษาและผู้อ่านที่กำลังคร่ำเคร่งทำรายงานและหรือกำลังดูหนังสือเพื่อเตรียมสอบปลายภาคที่กำลังย่างกรายเข้ามาถึงในเวลาไม่ช้านี้ เครียดนะครับโดยเฉพาะนักศึกษาที่กำลังเรียนปีสุดท้ายที่จำต้องออกไปเผชิญกับการหางานทำหลังจบ สงครามชีวิตจริงมันกำลังเริ่มขึ้นแล้ว หลายคนลุ้นเพื่อให้ได้เกียรตินิยมในขณะที่หลายคนเช่นกันที่ลุ้นเพื่อให้ผ่านพ้นคำว่าเกือบตกให้ได้ แต่ทุกคนคงเริ่มคิดกันถึงการจัดการบริหารชีวิตว่าจะเอาอย่างไรต่อไปดี เรียนต่อ หรือ หางานทำ โดยเฉพาะคนที่ไม่ได้เกิดมาบนกองเงินกองทองต้องคิดมากหน่อยนะครับ แต่ทุกปัญหาล้วนก่อให้เกิดปัญญาเสมอเมื่อเพ่งพิจารณาอย่างมีสติ และเปิดใจให้กว้างย่อมมีทางออกเสมอ ขอเป็นกำลังใจให้ทุกคน ทุกกิจกรรมจงทำให้ดีที่สุดแล้วอย่าไปพะวงกับผลที่มันจะเกิดขึ้นเพราะมันไม่ใช่หน้าที่ของเราแต่เป็นหน้าที่ของเขาผู้ประเมินหรือผู้ตัดสินใจ คิดไปก็เครียดเสียเปล่า ....ทำได้ คือ อธิษฐาน เชื่อมั่นศรัทธา และรับมาเป็นของตน ด้วยพลังแห่งความดึงดูดของความคิดบนฐานของสติและสมาธิที่มั่นคงย่อมก่อให้เกิดปาฏิหาริย์เสมอ อย่าคิดลบเป็นอันขาด .... ถ้าจำเป็นก็ต้องใช้มนตร์คาถา ของครูบาอาจารย์ที่เคารพศรัทธาเพื่อยังจิตให้คิดบวก คิดสำเร็จ เสมอก็จงใช้อย่ารั้งรอ คิดไม่ออกบอกไม่ถูกลิงค์เข้าบล็อกครูพี...http://muntra.blogspot.com/

ในครั้งนี้ผู้เขียนขอนำเรื่องราวที่น่าจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้เตรียมสอบบรรจุเข้าทำงานโดยเฉพาะงานราชการที่เริ่มหายากเข้าทุกวันแล้ว เตรียมตัวเกือบตาบแต่ก็สู้เส้นสายไม่ได้ เฮ้อ! เหนื่อยใจกับระบบอุปถัมภ์ในสังคมยิ้มละไมไทยแลนด์นี้เสียเหลือเกิน เอาวะ! สู้โว้ย! ให้มันรู้ไปว่าสังคมพุทธหาความบริสุทธิ์แห่งความยุติธรรมไม่ได้ สู้ ๆ ทำดีที่สุด ทำข้อสอบได้ให้มันอายไปเลย ถ้าไม่รับเข้า
ทำงาน พิสูจน์พลังอำนาจแห่งวิบากกรรมดูถี

ในการสอบแข่งขันเพื่อบรรจุบุคคลเข้ารับราชการพลเรือนในส่วนราชการต่าง ๆ นั้น หลักสูตรแข่งขันได้กำหนดขอบเขตเนื้อหาที่จะใช้ในการสอบ โดยจัดแบ่งออกเป็น 3 ภาคด้วยกัน คือ

ก. ความรู้ความสามารถทั่วไป
ข. ความรู้ความสามารถที่ใช้เฉพาะตำแหน่ง
ค. ความเหมาะสมกับตำแหน่ง

สำหรับ ภาค ก ที่เกี่ยวกับความรู้ความสามารถทั่วไปนั้นจะเป็นการทดสอบความสามารถในการคิดหาเหตุผลโดยใช้ข้อมูล หรือปัญหาทางด้านสังคมศึกษา หรือทางคณิตศาสตร์ หรือทางด้านอื่นที่เหมาะสมในการทดสอบ
ในส่วนที่เกี่ยวกับการทดสอบความสามารถทางด้านคณิตศาสตร์นั้นผู้เข้าสอบจะทำข้อสอบประเภทนี้ได้ดีจะต้องอาศัยทักษะ ประสบการณ์ในการคิดปัญหาต่าง ๆ โดยอาศัยกฎเกณฑ์ หลักการและความเข้าใจในทางคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานในการคิด เพราะการทำข้อสอบทุกข้อนั้นหมายถึงโอกาสที่จะได้รับการคัดเลือกบรรจุหรือไม่ เวลาในการคิดพิจารณาในเรื่องต่าง ๆ มีความสำคัญเป็นอย่ายิ่ง ดังนั้นการสร้างโอกาสให้แก่ตัวเองวิธีหนึ่งก็คือ การหาเทคนิค ประสบการณ์ในการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อสอบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์นั้น บุคคลโดยทั่วไปทำไม่ค่อยได้ดีมากนัก คนที่ทำได้ดีย่อมได้เปรียบและมีโอกาสมากกว่าในการที่จะได้รับการบรรจุเข้ารับราชการ

ข้อสอบที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์นั้นในที่นี้จะกล่าวถึงใน 4 ลักษณะด้วยกันคือ
1. ข้อสอบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เหตุผล
2. ข้อสอบเกี่ยวกับลำดับตัวเลข หรือเรียกว่าอนุกรมก้าวหน้าเลขคณิต
3. ข้อสอบเกี่ยวกับการสรุปความ
4. ข้อสอบเกี่ยวกับการวิเคราะห์กราฟและแผนภูมิ


1. ข้อสอบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เหตุผล
เป็นข้อสอบที่เน้นเรื่องวิธีการ หลักการ การแปลความ การตีความ การขยายความ การเปรียบเทียบ เป็นต้น ความเข้าใจในด้านภาษานี้มีอืทธิพลต่อการทำข้อสอบประเภทนี้มาก ต้องอ่านโจทย์ให้เข้าใจ ผู้สร้างข้อสอบจะสร้างคำถาม หรือโจทย์ปัญหา โดยใช้ภาษาที่คนโดยทั่วไปอ่านเข้าใจง่าย และมีความเป็นปรนัยในตัวเอง ไม่ได้อยู่ที่เนื้อหาแต่อยู่ที่เทคนิคที่คนโดยทั่วไปรู้ ผู้ใดมีความสามารถด้านเหตุผลสูง การนำคณิตศาสตร์ไปใช้ประโยชน์ก็จะเป็นไปอย่างกว้างขวางขึ้น ตัวอย่าง เช่น

1) เศษส่วน 3/4 ถ้านำเอา 5 คูณทั้งเศษ และส่วนแล้วค่าที่ได้จะเป็นอย่างไร
ก. ค่าน้อยลง
ข. ค่าจะเพิ่มมากขึ้น
ค. ค่าจะเท่าเดิม
ง. ค่าของตัวเศษจะหมดไป
คำตอบ ค

2) ถ้า x(x - y) แล้วข้อใดเป็นจริง
ก. x = 0
ข. x = y
ค. ไม่ x = 0 ก็ x = y
ง. x^2 = y
จ. ทั้ง x = 0 และ x = y = 0
คำตอบ ค

3) วงกลมวงหนึ่ง ถ้าเพิ่มรัศมีเป็นสองเท่าแล้วพื้นที่จะเพิ่มขึ้นอีกกี่เท่า
ก. 1 เท่า
ข. 2 เท่า
ค. 3 เท่า
ง. 4 เท่า
จ. 5 เท่า
คำตอบ ง


2. ข้อสอบเกี่ยวกับลำดับ หรืออนุกรมก้าวหน้าเลขคณิต
เป็นข้อสอบที่วัดความสามารถในการคิดคำนวณหาตัวเลขในลำดับต่าง ๆ โดยกำหนดกลุ่มตัวเลขมาให้ชุดหนึ่งซึ่งจะมีตัวเลขอย่างน้อย 3 - 4 ตัว ซึ่งอยู่ภายใต้เงื่อนไข หรือหลักเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งแล้วให้ผู้เข้าสอบพิจารณาหาตัวเลขที่อยู่ถัดไป หรืออาจจะเว้นตัวเลขไว้แล้วให้หาตัวเลขที่เว้นไว้นั้น ซึ่งมีความสัมพันธ์ภายใต้เงื่อนไขอย่างใดอย่างหนึ่งในกลุ่มตัวเลขชุดที่กำหนดมาให้นั้น ซึ่งการคิดข้อสอบประเภทนี้จะต้องพยายามหาเงื่อนไขหรือกฎเกณฑ์ให้ได้ว่าแปรเปลี่ยนไปอย่างไรแล้วจึงใช้เงื่อนไขหรือกฎเกณฑ์ที่ได้นั้นหาคำตอบตามที่ต้องการ ตัวอย่าง เช่น

1) 15, 10, 5, 0, -5 (ลดลงทีละ 5)
2) 1, 5, 7, 10, 14 (ลำดับการเพิ่มเป็น 1, 2, 3, 4, ... )
3) 1, 3, 7, 15, 31 (เทอมหลัง = เทอมหน้า x 2 + 1 )
4) 9/9 , 7/16, 5/25, 3/36 (ตัวเศษลดลงครั้งละ 2 , ตัวส่วนเพิ่มโดยยกกำลังสอง)
5) 123, 234, 345, 456 (เลขโดดในหลักร้อย สิบ และหน่วย เพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง )


3. ข้อสอบเกี่ยวกับการสรุปความ
เป็นการหาเหตุผลโดยพิจารณาจากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ว่าจะสามารถสรุปได้อย่างไรในขอบเขตของสิ่งที่กำหนดให้นั้น โดยจะต้องยอมรับในสถานการณ์หรือเหตุการณ์ที่เป็นเหตุ หรือข้อกำหนดว่าเป็นจริงก่อน เช่น

1) คนทุกคนบินได้ และ แดงเป็นคน ฉะนั้น
ก. แดงบินได้
ข. แดงเป็นนก
ค. แดงนั่งเครื่องบิน
ง. แดงเป็นคนพิเศษ
จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
คำตอบ ก

2) สาวอุบลฯ ทุกคนเป็นคนสวย สมชายมีภรรยาเป็นชาวอุบลฯ
ก. สมชายเป็นคนรูปหล่อ
ข. สมชายเป็นชาวอุบลฯ
ค. สมชายชอบเมืองอุบลฯ
ง. ภรรยาสมชายสวย
จ. สรุปแน่นอนยังไม่ได้
คำตอบ ง


3) การเรียนวิทยาศาสตร์ตอนบ่ายไม่ค่อยรู้เรื่อง ดำเรียนวิทยาศาสตร์ตอนเช้า ฉะนั้น
ก. เขาตั้งใจเรียน
ข. เขาเรียนเข้าใจดี
ค. เขาชอบวิทยาศาสตร์
ง. เขาสอบวิทยาศาสตร์ได้ดี
จ. ยังสรุปแน่นอนไม่ได้
คำตอบ จ


3. ข้อสอบเกี่ยวกับการวิเคราะห์กราฟและแผนภูมิ
ข้อสอบประเภทนี้โจทย์จะกำหนดรูปภาพ กราฟ และแผนภูมิต่าง ๆ มาให้ ซึ่งอาจจะอยู่ในรูปกราฟวงกลม กราฟแท่ง กราฟเส้นตรง หรือตารางแล้วให้ผู้เข้าสอบวิเคราะห์ถึงความสัมพันธ์ และแนวโน้มที่น่าจะเป็นได้ในอนาคต


เอาละนั่นคือกรอบของข้อสอบ ต่อไปจะได้กล่าวถึงเครื่องมือ หรือ พื้นฐานที่เมื่อผ่านและจดจำย่อมนำไปช่วยพาตัวให้รอดปลอดภัยจากสถานการณ์ที่เผชิญได้

ชุดที่ 1 สูตรคณิตศาสต์พื้นฐาน

1. สูตรการแยกตัวประกอบ

1.1 สูครกำลังสองสมบูรณ์
1) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 หรือ อาจท่องจำกันในรูป
หน้าบวกหลังกำลังสอง เท่ากับ หน้ากำลังสองบวกสองหน้าหลังบวกหลังกำลังสอง
2) (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 หรือ อาจท่องจำกันในรูป
หน้าลบหลังกำลังสอง เท่ากับ หน้ากำลังสองลบสองหน้าหลังบวกหลังกำลังสอง

1.2 สูครกำลังสามสมบูรณ์
1) (a + b)^3 = a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2) + b^3 หรือ อาจท่องจำกันในรูป
หน้าบวกหลังกำลังสาม เท่ากับ หน้ากำลังสาม บวก สามหน้ากำลังสองหลัง บวก สามหน้าหลังกำลังสอง บวก หลังกำลังสาม
2) (a - b)^3 = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2) - b^3 หรือ อาจท่องจำกันในรูป
หน้าลบหลังกำลังสาม เท่ากับ หน้ากำลังสาม ลบ สามหน้ากำลังสองหลัง บวก สามหน้าหลังกำลังสอง ลบ หลังกำลังสาม

1.3 สูตรผลต่างกำลังสอง
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) หรือ อาจท่องกันในรูป หน้ากำลังสอง ลบ หลังกำลังสอง เท่ากับ หน้าลบหลัง คูณ หน้าบวกหลัง

1.4 สูตรผลต่างกำลังสาม
a^3 - b^3 =(a - b)(a^2 + ab + b^2) หรืออาจจำกันในรูป หน้ากำลังสามลบหลังกำลังสาม เท่ากับ หน่าลบหลัง คูณ หน้ากำลังสอง บวก หน้าหลัง บวก หลังกำลังสอง

1.4 สูตรผลบวกกำลังสาม
a^3 + b^3 =(a + b)(a^2 - ab + b^2) หรืออาจจำกันในรูป หน้ากำลังสามบวกหลังกำลังสาม เท่ากับ หน้าบวกหลัง คูณ หน้ากำลังสอง ลบ หน้าหลัง บวก หลังกำลังสอง


2. สูตร Factorial
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก n Factorial แทนด้วย n! กำหนดโดย
n! = n(n-1)(n-2) ...(3)(2)(1) = n(n-1)!
และกำหนดให้ 0! = 1


3. สูตรการหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปเรขาคณิต

3.1 พื้นที่สามเหลี่ยม
1) สามเหลี่ยมที่มีฐานยาว b และสูงยาว h พื้นที่ = (1/2)(b)(h)
2) สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็น a, b และ c พื้นที่ = กรณฑ์ที่สองของ s(s-a)(s-b)(s-c) เมื่อ s = (1/2)(a+b+c)
3) สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ด้านยาว a พื้นที่ = sqr(3)/4 x (a^2)

3.2 พื้นที่สี่เหลี่ยม

1) สี่เหลี่ยมจัตุรัส
พื้นที่ = ด้าน คูณ ด้าน หรือ
ด้านกำลังสอง หรือ
ครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทะแยงมุม

2) สี่เหลี่ยมผืนผ้า
พื้นที่ = กว้าง คูณ ยาว

3) สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
พื้นที่ = ครึ่งหนึ่งของผลคูณเส้นทแยงมุม

4) สี่เหลี่ยมรูปว่าว
พื้นที่ = ครึ่งหนึ่งของผลคูณเส้นทแยงมุม

5) สี่เหลี่ยมด้านขนาน
พื้นที่ = ฐาน คูณ สูง

6) สี่เหลี่ยมคางหมู
พื้นที่ = (1/2) คูณผลบวกด้านคู่ขนาน คูณ สูง

7) สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า
พื้นที่ = (1/2) คูณ เส้นทแยงมุม คูณผลบวกของเส้นกิ่ง

8) สี่เหลี่ยมใด ๆ
ที่รู้ความยาวของด้านทั้งสี่ พื้นที่เท่ากับ กรณฑ์ที่สองของ (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) เมื่อ a, b, c และ d เป็นความยาวของด้านทั้งสี่ และ s = (1/2)(a+b+c+d)

ึ7) วงกลม
พื้นที่ = (pi)(r^2) เมื่อ r คือรัศมี
เส้นรอบวง = 2(pi)(r)


8) รูปเซกเตอร์ของวงกลม
พื้นที่ = (1/2)(r^2)(A) เมื่อ A คือมุมที่จุดศูนย์กลางของเซกเตอร์
ความยาวของส่วนโค้ง = เส้นรอบวง x (A/360)

9) รูปทรงกลมรัศมี r
ปริมาตร = (4/3)(pi)(r^3)
พื้นที่ผิว =4(pi)(r^2)

10) รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ให้ a, b, c เป็นความยาวของเส้นขอบของรูปทรง
ปริมาตร = abc
พื้นที่ผิวข้าง = เส้นรอบฐาน x สูง
พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2(พื้นที่หน้าตัด) + พื้นที่ผิวข้าง

11) รูปทรงกระบอกตรง
กำหนด r และ h เป็น รัศมี และความสูงของรูปทรงกระบอกตามลำดับ
ปริมาตร = (pi)(r^2)(h)
พื้นที่ผิวข้าง = 2(pi)rh
พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2(pi)(r)(h + r)

12) รูปทรงกรวยตรง
กำหนด r และ h เป็น รัศมี และความสูงของรูปทรงกรวยกลมตรงตามลำดับ
ปริมาตร =(1/3) (pi)(r^2)(h)
พื้นที่ผิวข้าง = (pi)rl เมื่อ l แทนสูงเอียง
พื้นที่ผิวทั้งหมด = (pi)(r)(l + r)


13) รูปพีระมิด
กำหนด A, h เป็นพื้นที่ฐาน และสูง คามลำดับของรูปพีระมิด
ปริมาตร = (1/3)Ah
พื้นที่ผิวข้าง = เส้นรอบฐาน x สูง
พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง


3. สูตรการหาค่าของอัตราส่วน หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

1) อัตราส่วนตรีโกณมิติ
กำหนด ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมี A เป็นมุมฉาก และมีด้าน a, b และ c เป็นด้านตรงกันข้ามมุม A, B และ C ตามลำดับ อัตราส่วนตรีโกณฯทั้ง 6 ค่า ของ มุม B ( หรือมุม C ) ที่มิใช่มุมฉากกำหนดโดย
sin B = ข้าม B / ฉาก = b/a
cos B = ชิด B / ฉาก = c/a
tan B = ข้าม B / ชิด B = b/c
ส่วนที่เหลืออีก 3 อัตราส่วน คือ cosec B, sec B และ cot B นั้น เป็นส่วนกลับของ sin B, cos B และ tan B ตามลำดับ
และสิ่งที่น่าสนใจ คือ ฺB และ C เป็นมุมประกอบฉากกัน จะได้ sin B = cos C , cos B = sin c, tan B = cot C , cot B = tan C
sec B = cosec C เป็นต้น เช่นมุม 60 และ 30 เป็นมุมประกอบฉากกัน sin ของมุม 60 องศาจึงเท่ากับ cos ของมุม 30 องศา
เป็นต้น

2) อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมพื้นฐานที่ควรจำ คือ ของมุม 45, 30 และ 60 องศา
2.1) มุม 45 องศา จำเพียงค่า sin เป็น 1/sqr(2) ก็เพียงพอแล้ว เพราะ cos เท่ากับ sin และ tan ก็หาได้จาก sin/cos ก็เท่ากับ 1 ที่เหลือก็ใช้แนวคิดของส่วนกลับ
2.2) มุม 60 และ 30 องศา ผู้เขียน จำเฉพาะ cos ของ 60 องศา เป็น 1/2 แล้วใช้ concept cos = ชิด/ฉาก เขียนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วลงด้านใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสประกอบ ส่วนมุม 30 องศา เป็นมุมประกอบฉากกับมุม 60 องศาอยู่แล้วอัตราส่วนตรีโกณฯของมุมทั้งสองเป็น co-function ของกันอยู่แล้ว เอวัง! ก็มีด้วยประการฉะนี้ ไม่จำเป็นต้องใช้ระบบการนับนิ้วก็ได้

3). การเปลี่ยนมุม
ถ้าเปลี่ยนมุมในระบบองศาให้เป็นเรเดียน ให้คูณด้วย pi/180 ผลที่ได้ติด pi ไว้
แต่ถ้าเปลี่ยนมุมเรเดียนให้เป็นองศาให้แทน pi ด้วย 180 แล้วตัดทอนกันเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ

4). เอกลักษณ์ตรีโกณฯพื้นฐานที่ควรรู้
ไซน์กำลัง สอง บวก คอสกำลังสอง เท่ากับ หนึ่ง
แทนต์ เท่ากับ ไซน์ ส่วน คอส
หนึ่ง บวก แทนต์กำลังสอง เท่ากับ เซกกำลังสอง
หนึ่งบวกคอตกำลังสองเท่ากับ โคเซกกำลังสอง
และอัตราส่วนคูณส่วนกลับของมันเป็นหนึ่ง เช่น ไซน์คูณโคเซกย่อมเท่ากับหนึ่ง
และต้องรู้ว่าอะไรเป็นส่วนกลับของกันและกัน



4. สูตรเกี่ยวกับลำดับ หรืออนุกรมก้าวหน้าเลขคณิต

1) ลำดับเลขคณิต
ใช้อักษรย่อ A.P. มีรูปมาตรฐานดังนี้
a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d, ...
เมื่อกำหนด a เป็นพจน์แรก
d เป็นผลต่างร่วมที่มีค่าคงที่เสมอ
n คือ จำนวนพจน์
an คือ พจน์ที่ n
sn คือ ผลบวก n พจน์
A คือค่าเฉลี่ยของสองพจน์ที่อยู่ติดกัน

จะได้ an = a + (n-1) d
n = (an - a)/d + 1
sn = (n/2)(a + an) = (n/2)[2a + (n-1)d ]
A = (a+b)/2 เมื่อ a และ b เป็นสองพจน์ที่ติดกัน

2) ลำดับเรขาคณิต
ใช้อักษรย่อว่า G.P.
รูปมาตรฐาน a, ar, a(r^2), a(r^3), ... ,a(r^(n-1) ), ...
เมื่อ a เป็นเทอมแรก , r เป็นอัตราส่วนร่วม จะได้
an = a(r^(n-1)) เมื่อ an เป็นพจน์ที่ n, n เป็น จำนวนพจน์
sn = [a(1 - r^n)] / (1-r) เมื่อ |r| < 1
G^2 = ab เมื่อ a, b เป็นสองพจน์ที่อยู่ติดกัน
G เป็น ตัวกลางเรขาคณิตของ a และ b


3) สูตรการหาผลบวกของเลขจำนวนเต็มที่เริ่มจาก 1
3.1) 1 + 2 + 3 + ... + n = [n(n+1)]/2
3.2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = (1/6)(n)(n+1)(2n+1)
3.3) 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 4^3 = [ {n(n+1)}/2 ]^2

ึ4) สูตรเกี่ยวกับเลขยกกำลัง
4.1) (a^m)(a^n) = a^(m+n)
4.2) (a^m)/(a^n) = a ^(m-n) เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0
4.3) (ab)^n = (a^n)(b^n)
4.4) (a/b)^n = (a^n)/(b^n) เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0
4.5) (a^m)^n = a ^ (mn)
4.6) a^(1/n) = กรณฑ์ที่ n ของ a
4.7) a^(p/q) = กรณฑ์ที่ q ของ a^p)
4.8) a^0 = 1 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0
4.9) a^(-n) = 1/[(a) ^ n] เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0


5) สูตรเกี่ยวกับ logarithmic
5.1) log a ฐาน a เท่ากับ 1
5.2) log a^x ฐาน a เท่ากับ x
5.3) log MN ฐาน a เท่ากับ log M ฐาน a บวกกับ log N ฐาน a
5.4) log(M/N) ฐาน a เท่ากับ log M ฐาน a ลบด้วย log N ฐาน a
5.5) log M^p ฐาน a เท่ากับ plogM ฐาน a

6) สูตรเกี่ยวกับสัดส่วน
6.1) ถ้า a:b = c:d แล้ว ad = bc
6.2) ถ้า a:b = b:c แล้ว b^2 = ac
ุ6.3) ถ้า a:b = c:d แล้ว a + b : b = c + d : d
ุ6.4) ถ้า a:b = c:d แล้ว a - b : b = c - d : d
6.5) ถ้า a:b = c:d แล้ว a + b : a - b = c + d : d - c


ชุดที่ 2 หลักการคิดโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์บางลักษณะ

1. การแจกบัตรอวยพร
ถ้ามีคนทั้งหมด n คน และแต่ละคนแจกบัตรอวยพรแก่กันและกัน จะใช้บัตรอวยพรทั้งสิ้นกี่ใบ
เราจะคิดได้จากสูตร จำนวนบัตรทั้งสิ่น = n(n-1) ใบ
ตัวอย่าง เช่น มีนักศึกษาหมู่เรียนหนึ่งจำนวนทั้งหมด 25 คน ในวันปีไหม่ต่างแจกบัตรอวยพรแก่กันและกัน จะต้องใช้บัตรจำนวนทั้งสิ้น 25x(25-1) = 600 ใบ #

2. การสัมผัสมือ
ลักษณะโจทย์จะแบ่งเป็น 21 แบบ คือ

2.1) การสัมผัสมือกันและกันทุกคน
ถ้ามีคนทั้งหมด n คน และแต่ละคนสัมผัสมือซึ่งกันและกัน จำนวนครั้งในการจับมือ คิดได้จากสูตร [n(n-1)]/2
ตัวอย่าง เช่น มีนักเรียน ๅ00 คน เข้าร่วมประชุมกัน ทุกคนต่างก็สัมผัสมือซึ่งกันและกัน จะมีการสัมผัสมือทั้งสิ้นจำนวน
[(100)(100-1)]/2 = 4,950 ครั้ง #

2.2) การสัมผัสมือแบ่งข้าง
ถ้ามีคนอยู่สองฝ่าย ฝ่ายละ n คน และมีการสัมผัสมือกันกับฝ่ายตรงกันข้ามทุกคน
จำนวนครั้งในการสัมผัสมือจะเท่ากับ nxn ครั้ง
ตัวอย่าง เช่น นักบาสเกตบอลข้างละ 5 คน แต่ละคนสัมผัสมือกันกับฝ่ายตรงกันข้ามทุกคน
จำนวนครั้งในการสัมผัสมือกันจะเท่ากับ 5x5 = 25 ครั้ง #


3) การหาระยะห่างระหว่างเสา และจำนวนเสา
แบ่งลักษณะโจทย์ออกเป็นสองแบบ คือ

3.1) ระยะทางเป็นเส้นตรง
ถ้าปักเสาในแนวเส้นตรงโดยมีระยะห่างกันในแต่ละแถวเท่ากัน จะคำนวณจำนวนเสาทั้งหมดได้จากสูตร

จำนวนเสาทั้งหมด = (ระยะทางทั้งหมด / ระยะห่างระหว่าเสา) + 1

ตัวอย่าง เช่น กำหนดระยะทาง 8 เมตร ปักเสาในแนวเส้นตรงโดยปักห่างกันต้นละ 2 เมตร จะใช้เสาทั้งหมดกี่ต้น
จำนวนเสาทั้งหมด =(8/2) + 1 = 5 ต้น #

3.2) ระยะทางเป็นทางโค้ง วงกลม หรือเส้นตรงประกอบกันโดยมีจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายอยู่ที่จุดเดียวกัน
สูตรที่ใช้ในการคำนวณจำนวนเสาทั้งหมด
จำนวนเสาทั้งหมด = (ระยะทางทั้งหมด / ระยะห่างระหว่าเสา)

ตัวอย่าง เช่น กำหนดสนามวงกลมยาว 400 เมตร ต้องการปักเสาห่างกันต้นละ 50 เมตร จะใช้เสาทั้งหมดกี่ต้น
จำนวนเสาทั้งหมด = 400/50 = 8 ต้น #

4) การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนขาสัตว์
หลักการคิดเกี่ยวกับจำนวนขาสัตว์เมื่อโจทย์กำหนดจำนวนของสัตว์มาให้อย่างละเท่า ๆ กัน ใช้สูตรในการคำนวณเป็น
จำนวนสัตว์มีชนิดละ = (จำนวนขาสัตว์ทั้งหมด) / (ผลรวมของจำนวนขาของสัตว์อย่างละ 1 ตัว)
คัวอย่าง เช่น นก เสือ วัว และ แมว มีอย่างละเท่า ๆ กัน เมื่อนับขารวมกันได้ 182 ขา จะมีสัตว์อย่างละกี่ตัว
จำนวนสัตว์มีชนิดละ = 182/(2 + 4 + 4 + 4) = 13 ตัว
ดังนั้นจะมีสัตว์อย่างละ 13 ตัว #

5) การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเส้นทแยงมุมของรูป n เหลี่ยม
กำหนด n เป็นจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่โจทย์กำหนดให้ แล้วจำนวนเส้นทแยงมุมของรูป n เหลี่ยมนั้นคำนวณได้จากสูตร
จำนวนเส้นทแยงมุม = [n(n-3)]/2
ตัวอย่าง เช่น จงหาจำนวนเส้นทแยงมุมของรูปแปดเหลี่ยมมีมากกว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของรูปสิบสองเหลี่ยมกี่เส้น
จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปแปดเหลี่ยม = 8x(8-3) / 2 = 20 เส้น
จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปสิบสองเหลี่ยมเหลี่ยม = 12 x (12-3) / 2 = 54 เส้น
ดังนั้นจำนวนเส้นทแยงมุมของรูปสิบสองเหลี่ยมมีมากกว่ารูปแปดเหลี่ยมอยู่ 54 - 20 = 34 เส้น

6) การหาจำนวนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดต่าง ๆ ที่กำหนดให้
ถ้ามีจุดแตกต่างกันบนระนาบ n จุดโดยไม่มี 3 จุดใด ๆ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะได้ว่า
จำนวนเส้นตรงที่ลากผ่าน 2 จุดใด ๆ = n(n-1) / 2
ตัวอย่าง เช่น บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งมีจุดคงที่ 10 จุด จงหาจำนวนคอร์ดของวงกลมที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดปลายทั้งสองข้างของคอร์ด
จำนวนคอร์ดของวงกลม = 10 x (10 -1) / 2 = 45 เส้น

7) การหาจำนวนรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างจากจุดที่กำหนดให้
ถ้ามีจุดที่แตกต่างกัน n จุด โดยไม่มีสามจุดใดอยู่บนระนาบเดียวกัน จำนวนรูป r เหลี่ยม เมื่อ r ไม่ต่ำกว่า 3 และไม่เกิน n
ที่สร้างได้จากจุด n จุด คำนวณได้จากสูตร
จำนวนรูป r เหลี่ยม = [n(n-1)...(n-r+1)] / [ r(r-1)(r-2)...(3)(2)(1)]
ตัวอย่าง เช่น บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง มีจุดคงที่ 12 จุด จงหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นได้ทั้งหมดโดยมีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้น
ในที่นี้ n = 12, r = 3, n-r+1 = 12 - 3 + 1 = 10 จะได้
จำนวนรูปสามเหลี่ยม = [(12)(11)(10)]/[(3)(2)(1) = 220 รูป #

8) การหาจำนวนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากการตัดกันของเส้นขนานกันสองชุด
โดยทั่งไปถ้ามีเส้นขนานกันสองชุด ชุดที่ 1 มี m เส้น ชุดที่สองมี n เส้น จำนวนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากการตัดกันของเส้นตรงทั้งสองชุดดังกล่าวนั้น คำนวณได้จากสูตร
[ m(m-1) / 2 ] x [ n(n-1) / 2 ]
ตัวอย่าง เช่น จงหาจำนวนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเส้นในแนวนอน 5 เส้น ตัดกับเส้นในแนวตั้ง 7 เส้น
ซึ่งจะอาศัยสูตรคำนวณได้เป็น [5(5-1)/2] x [ 7(7-1)/2 ] = 210 รูป #


9) สรุปแนวคิดในการหาเหตุผลแบบสรุปความ
โจทย์จะกำหนดเหตุการณ์ต่าง ๆ มาให้โดยให้ผู้ตอบหาข้อสรุปจากเหตุการณ์นั้น ๆ ว่าสรุปอย่างสมเหตุสมผลอย่างไร ซึ่งพอจะแบ่งลักษณะโจทย์คำถามได้ 4 แบบ ดังนี้

ก. โจทย์จะกำหนดเหตุการณ์มาให้ 3 เหตุการณ์ เพื่อให้สรุปดังนี้
ถ้าเกิดเหตุการณ์ (1) แล้วจะเกิดเหตุการณ์ (2) และเหตุการณ์ (3) เกิดขึ้น
ฉะนั้นจะได้ข้อสรุป

(1) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :ถ้าเกิดเหตุการณ์ p แล้วจะเกิดเหตุการณ์ q และเหตุการณ์ p เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องเกิดเหตุการณ์ q

(2) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :ถ้าเกิดเหตุการณ์ p แล้วจะเกิดเหตุการณ์ q และเหตุการณ์ q เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นสรุปแน่นอนไม่ได้

(3) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :ถ้าเกิดเหตุการณ์ p แล้วจะเกิดเหตุการณ์ q และเหตุการณ์ p ไม่เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นสรุปแน่นอนไม่ได้

(4) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :ถ้าเกิดเหตุการณ์ p แล้วจะเกิดเหตุการณ์ q และเหตุการณ์ q ไม่เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นไม่เกิดเหตุการณ์ p

ตัวอย่าง เช่น กำหนดสถานการณ์ว่า ถ้าวันนี้ฝนตกแล้วแดงจะอยู่บ้าน
ให้ p แทน วันนี้ฝนตก
q แทน แดงอยู่บ้าน
และกำหนดเหคุการณ์เพิ่มเติมดังนี้

1. ถ้ากำหนดว่า วันนี้ฝนตก (p)
จะสรุปได้ว่า แดงอยู่บ้าน (q)

2. ถ้ากำหนดว่า วันนี้แดงอยู่บ้าน (q)
จะสรุปว่า สรุปแน่นอนยังไม่ได้ (ไม่แน่ชัด)

3. ถ้ากำหนดว่า วันนี้ฝนไม่ตก (ไม่เกิด p)
จะสรุปว่า สรุปแน่นอนยังไม่ได้ (ไม่แน่ชัด)

4. ถ้ากำหนดว่า วันนี้แดงไม่อยู่บ้าน (ไม่เกิด q)
สรุปได้ว่า ฝนไม่ตก (ไม่เกิด p)

ข. โจทย์กำหนดเหตุการณ์มาให้ 3 เหตุการณ์ดังนี้
เกิดเหตุการณ์ (1) หรือเหตุการณ์ (2) และ มีเหตุการณ์ (3) เกิดขึ้น ฉะนั้นข้อสรุป
ถ้าให้ p เป็นเหตุการณ์ (1) , q เป็นเหตุการณ์ (2) จะหาข้อสรุปได้ดังนี้

ข้อสังเกต p, q เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันไม่ได้

(1) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :
เกิดเหตุการณ์ p หรือเกิดเหตุการณ์ q และ
เหตุการณ์ p เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องไม่เกิดเหตุการณ์ q

(2) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :
เกิดเหตุการณ์ p หรือเกิดเหตุการณ์ q และ
เหตุการณ์ q เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องไม่เกิดเหตุการณ์ p

(3) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :
เกิดเหตุการณ์ p หรือเกิดเหตุการณ์ q และ
เหตุการณ์ p ไม่เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องเกิดเหตุการณ์ q

(4) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :
เกิดเหตุการณ์ p หรือเกิดเหตุการณ์ q และ
เหตุการณ์ q ไม่เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องเกิดเหตุการณ์ p


ตัวอย่าง เช่น กำหนดเหตุการณ์ว่า " ดำต้องไปดูหนังหรือต้องไปดูฟุตบอล "
1. ดำไปดูหนัง สรุปว่า ดำไม่ไปดูฟุตบอล
2. ดำไปดูฟุตบอล สรุปว่า ดำไม่ไปดูหนัง
3. ดำไม่ไปดูหนัง สรุปว่า ดำไปดูฟุตบอล
4. ดำไม่ไปดูฟุตบอล สรุปว่า ดำไปดูหนัง

ค. เหคุการณ์สมมุติแบบสัมพันธ์กันเป็นทอด ๆ
โจทย์จะกำหนดเงื่อนไขมาให้เป็นคู่ ๆ และเกี่ยวเนื่องกันไป (ซึ่งเงื่อนไขนั้นอาจขัดกับข้อเท็จจริงที่ยอมรับกันทั่วไปก็ได้) ซึ่งการตอบข้อสอบแบบนี้เราจะทำได้โดยนำเงื่อนไขนั้นมาใช้กับตัวเริ่มต้นและตัวสุดท้าย ก็จะเป็นข้อสรุปที่ถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น ถ้า 3 = 4 แล้ว 5 = 6 และ ถ้า 5 = 6 แล้ว 7 = 8
เราจะสรุปได้ว่า ถ้า 3 = 4 แล้ว 7 = 8

ข้อสังเกต เงื่อนไขบางอย่างจะใช้กับหลักการนี้ไม่ได้ เช่า นายดำรักนางสาวเขียว และ นางสาวเขียวรักนายแดง จะสรุปว่า นายดำรักนายเเดงไม่ได้

เงื่อนไขที่ใช้กับกฎเกณฑ์นี้ได้ เช่น
- การเปรียบเทียบขนาด ระยะทาง เวลา และปริมาณต่าง ๆ การเท่ากัน หรือเป็นอย่างเดียวกัน
- ความเป็นญาติในส่วนที่เกี่ยวกับพี่น้อง

เงื่อนไขที่ใช้กับกฎเกณฑ์นี้ไม่ได้ เช่น
- เกี่ยวกับความรู้สึกที่มีต่อกัน เช่น ชอบ เกลียด รัก เป็นต้น
- เกี่ยวกับความเป็นญาติ เช่น ลุง ป้า พ่อ แม่ เป็นต้น

ซึ่งต้องพิจารณาดูโดยใช้หลักข้อเท็จจริง และเหตุผลประกอบกัน

ง. เกี่ยวกับการจัดลำดับซึ่งมีลักษณะคล้ายข้อสอบแบบเรียงลำดับ โจทย์จะกำหนดเงื่อนไขมาให้เลย ซึ่งวิธีคิดคำตอบนั้นผู้ตอบอาจใช้เขียนรูป หรือ แบบจำลองประกอบตามเหตุการณ์เพื่อเปรียบเทียบกัน แล้วจะได้ข้อสรุปตามต้องการ
ตัวอย่างเช่น เมือง ก อยู่เหนือเมือง ข ก็ต้องเขียนตัว ก ไว้เหนือตัว ข และถ้าโจทย์กำหนดต่อไปว่า เมือง ค อยู่ใต้เมือง ก
ก็ต้องเขียนตัว ค ไว้ใต้เมือง ก ก็ต้องเขียนตัว ค ไว้ใต้ตัว ก รวมกัน 2 ตัว คือตัวแรกอยู่ใต้ ก แต่เหนือ ข และตัวที่สองเขียนไว้ใต้ ข (เพราะยังไม่รู้ว่าตัวใดกันแน่) ต่อไป เมื่อโจทย์กำหนดเพิ่มเติมว่า เมือง ข อยู่เหนือเมือง ค อย่างนี้ก็ต้องตัด ค ตัวบนทิ้ง

ก
ค >>> ตัดทิ้ง
ข
ค


โดยหลักการทั้งสี่ลักษณะดังกล่าวนี้ การหาคำตอบที่ถูกต้องของข้อสอบแบบสรุปความก็อาจทำได้ง่ายขึ้น อนึ่งการตรวจสอบความสมเหตุสมผล หรือ การสรุปความนั้นผู้สอบอาจใช้แผนภาพของ เวนน์-ออยเลอร์ ประกอบการพิจารณาก็ได้ แต่ในบล็อกนี้จะไม่นำเสนอวิธีดังกล่าวนี้ไว้ เพราะจะยาวเกินความจำเป็น

ขอจบ blog นี้ลงเพียงนี้แล้วกันนะครับ พิมพ์ทั้งวันเลย คนแก่คาลาย ยังมีเนื้อหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์พื้นฐานต่าง ๆ อีกบางสาระที่ยังไม่นำเสนอไว้ ถ้ามีเวลาและโอกาสก็จะได้เพิ่มเติมเนื้อหาลงไปใน blog นี้ต่อไป ขอจงไปทบทวน รื้อฟื้นความรู้เดิม ๆ ก็แล้วกัน ของให้ทุกท่านโชคดี


ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/

ฝากข้อคิดดี ๆ จากคัมภีร์รากผัก

"ความฉลาดมากเล่ห์ มิสู้ความสัตย์ซื่อตรง"

คนที่เพิงออกสู่สังคมภายนอก ยังไม่มีประสบการณ์อะไรนัก ย่อมได้รับผลสะเทือนที่เลวร้ายน้อย แต่คนที่มากด้วยประสบการณ์ก็ย่อมมากด้วยเล่ห์เหลี่ยมเพทุบาย ด้วยเหตุนี้ บัณฑิตผู้ประสงค์จะรักษาคุณงามความดีของตนเอาไว้ พึงเข้าใจด้วยว่าการปฏิบัติตนอย่างฉลาดมากเล่ห์เกินไปนั้น สู้การเป็นคนซื่อใจอารีไม่ได้ อีกทั้งการปฎิบัติต่อผู้อื่นอย่างเสแสร้งและระแวดระวังเกินไปก็สู้ความใจกว้างและตรงไปตรงมาไม่ได้

30 ยังแจ๋ว !!??

เมื่ออ่านจั่วหัวแล้วบางท่านอาจสงสัยตะหงิด ๆ ขึ้นมาในใจว่ามันอะไรกันวะ I.Q., E.Q. กาย/จิต ชีวิตหรือการแต่งงาน ต้องขออภัยมันไม่เกี่ยวกับสมองกับสองมือ หรือ กาย/จิต อะไรพวกนี้หรอกครับ ต้องขออภัยจริง ๆ แต่มันคิด TOPIC ที่เร้าใจไม่ได้จริง ๆ ยังกับการนำเข้าสู่บทเรียนของครูที่จนแต้มนะครับ ....ให้เด็กนับหลักเลข หน่วย ... สิบ ... ร้อย..... พัน " วันนี้ ครูจะสอนเรื่อง พันท้ายนรสิงห์" ?! อุแม่เจ้า! ... มันคนละเรื่องเดียวกันชัด ๆ ใช่ไหมครับท่านผู้ชม

คือเรื่องมันเป็นอย่างนี้ ก็ยังคงทู้ซี้ วนเวียนอยู่กับเรื่องของงานวิจัยของลูกศิษย์อยู่ดี มันเกี่ยวข้องกับการตรวจประเมินงานวิจัยซึ่งอยู่ในวาระของการนำเสนอเค้าโครงที่คณะกรรมการที่ปรึกษาต้องตรวจสอบซักถามเพื่อให้ผู้จะทำการวิจัยเกิดความเข้าใจ ชัดเจนในทุกกระบวนท่าก่อนออกเผชิญกับปัญหาในสถานการณ์จริง โดยเฉพาะในบทที่ 3 ที่ว่าด้วยวิธีดำเนินการวิจัย ประเด็นปัญหาที่ต้องหยิบยกมาพูดถึงใน blog นี้ คือในช่วงของการตรวจสอบคุณภาพของเครื่องมือในการทำวิจัยซึ่งอาจจะเป็น แบบทดสอบ แบบสอบถาม หรือแบบวัดอื่น ๆ ก็ตาม ในกรณีที่ผู้เชี่ยวชาญได้ตรวจสอบแล้วและผู้วิจัยต้องการให้เกิดความมั่นใจในเครื่องมือที่พัฒนาขึ้นมาว่ามีคุณภาพได้มาตรฐานจริงแน่นอน ด้วยวิธีการนำเครื่องมือนั้นไปทดลองใช้กับกลุ่มตัวอย่างที่มีลักษณะใกล้เคียงหรือเหมือนกับกลุ่มตัวอย่างที่จะใช้เก็บข้อมูลจริง กลุ่มหนึ่ง

ปัญหาที่เกิดขึ้น คือ มีการใช้ขนาดของตัวอย่างที่แตกต่างกันหลากหลาย บางคนใช้ต่ำกว่า 30 บางคนใช้เกิน 30 มากน้อยแตกต่างกันไป แต่เมื่อถูกถามว่ามีเกณฑ์มาตรฐานอะไรจึงใช้ขนาดของตัวอย่างเป็นเท่านั้นเท่านี้ก็มีท่าทีอึกอักเหมือนสำลักความไม่รู้ ความสง่างาม มั่นอกมั่นใจหายไป...ไม่รู้จริงนี่หว่าเห็นเขาใช้ก็มั่วใช้มาใช่ไหม ? หรือเลือกใช้ตามสะดวก อย่าลืมนะ งานวิจัยเป็นงานนิพนธ์ชั้นสูง และเป็นเอกสารสาธารณะที่จะนำไปใช้อ้างอิงเพื่อพัฒนาความก้าวหน้าในเชิงวิชาการต่อไป ผู้ทำต้องรู้และเข้าใจในการใช้เกณฑ์ต่าง ๆ อย่างน้อยที่สุดก็ควรอ้างอิงแหล่งที่มาของเกณฑ์ที่ใช้ได้อย่างมั่นใจ ทั้งในแง่ของบุคคล และหลักการที่เป็นที่ยอมรับในวงวิชาการนั้น ๆ

ในเรื่องนี้นั้นมีนักวิชาการหลายท่านได้ให้ข้อสังเกตไว้อาจแตกต่างกันบ้านแต่ก็สมานพอประมาณการได้ใกล้เคียงกัน เช่น ท่าน ดร.วิเชียร เกตุสิงห์ ซึ่งเป็นนักวิชาการที่ได้เขียนหนังสือ/ตำรา คู่มือทางด้านสถิติ และวิจัยทางด้านการศึกษา และเป็นที่ยอมรับในวงวิชาการนี้ได้ให้หลักการในเรื่องนี้ไว้ว่า " ให้มีจำนวนอย่างน้อยที่สุดสัก 30 คน แต่ถ้าหาให้ได้ถึง 100 คน ก็ยิ่งดี "

เกณฑ์ขนาดอย่างต่ำ 30 คน หรือ หน่วยนี้ ผู้เขียนเห็นด้วยว่ามีความเหมาะสมเพราะโดยหลักทางสถิติแล้ว ขนาดตัวอย่างตั้งแต่ 30 ขึ้นไปนั้นจัดว่าเป็นตัวอย่างขนาดใหญ่ก็จะให้นัยการแจกแจงของข้อมูลเป็นการแจกแจงแบบปรกติอันเป็นธรรมชาติของข้อมูลที่วัดได้จากตัวแปรในธรรมชาติโดยทั่วไป

ดังนั้นผู้วิจัยควรเลือกตัวอย่างในการทดลองคุณภาพของเครื่องมือ "ไม่ต่ำกว่า 30 หน่วย" ฟันธง!



ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/


ข้อคิด จากคัมภีร์รากผัก

" รักษาคุณธรรม ไม่พึ่งพาอำนาจวาสนา"

คนที่สามารถรักษาคุณงามความดีไว้ได้ บางทีอาจต้องใช้ชีวิตอยู่อย่างสันโดดสักระยะหนึ่ง ส่วนคนที่มุ่งหวังแต่จะแสวงหาอำนาจวาสนากลับจะต้องอยู่อย่างโดดเดี่ยวตลอดกาล ผู้เข้าถึงสัจธรรมจะพิจารณาสิ่งใดก็ลึกซึ้งยาวไกลจนถึงชื่อเสียงที่จะปรากฏหลังความตาย ดังนั้นจึงยอมเป็นคนสันโดษสักระยะเพื่อยืนหยัดรักษาคุณงามความดี เพื่อจะไม่ถูกทอดทิ้งให้อยู่อย่างโดดเดี่ยวตลอดกาลด้วยเหตุแห่งอำนาจวาสนา

สูตรคำนวณวัน

มีสักครั้งไหมที่ใคร่รู้ขึ้นมาว่า เอะ! วันครูที่ 16 มกราที่ผ่านมานี้มันตรงกับวันอะไรดีหว่า ? ยิ่งตัวข้าเองก็ไม่ชอบเข้าไปร่วมกิจกรรม
กะเค้าซะด้วยซิ ตายละทีนี้ไม่มีความประทับใจอะไรที่สมองจะ mem ข้อมูลอะไรเป็นพิเศษไว้ได้ แต่ให้ตายเถอะเรามันก็รากเหง้าชาวคณิตฯ เรื่องจิบจ้อยแค่นี้จะซี้ให้เสียเชิงทำไม ตั้งสติเพ่งหาวิธีคิดกัน ถ้าคิดว่ามันเป็นเรื้องท้าทายก็ให้สาร "โด พา มีน" ในสมองมันหลั่งออกมาให้ชื่นใจ ต่อชีวิตให้ตื่นรู้ ดู เรียน กันต่อไป อย่างมีชีวิตชีว่า ดีมั้๊ย พี่น้อง ก็ชีวิตนี่เกิดมาเพื่อการเรียนรู้นี่

เมื่อศึกษา สืบค้น ข้อมูล ในเรื่องนี้ดูแล้วก็ไม่แคล้วขั้นตอนการคำนวณที่ผันผวนได้ทั้งวิธียาก และง่าย แต่คงไม่มีใครชอบอะไรที่มันยุ่ง ๆ ใช่ไหมล่ะครับ จึงขอนำเสนอวิธีการที่น่าจะสร้างมูลค่าเพิ่มให้แก่ท่านผู้อ่าน blog ได้โดยไม่ลำบากลำบนมากนัก ทนสักนิดแล้วชีวิตจะดีขึ้น รู้แล้วก็อย่าลืมบอกต่อล่ะเป็นการให้วิทยาทาน เป็นการสร้างกุศลให้ทันสมัยเพิ่มความฉับไวทางปัญญาแก่ผู้บอกบุญ (ปัญญา) ต่อไป

กระบวนวิธีมีดังนี้

1. หาเลขสูตรสำเร็จของแต่ละเดือน จากปฏิทินที่มีของแต่ละปีที่สนใจใคร่รู้ เช่นเมื่อต้องการทราบวันในปีพุทธศักราช 2553 ก็นำปฏิทินของปีดังกล่าวนี้มาคลี่ดูแต่ละเดือนในปีนั้น เพื่อนำมาคำนวณสูตรสำเร็จสำหรับเดือนนั้น ๆ ดังนี้
กำหนดวันที่ซึ่งตรงกับ วันอาทิตย์แรกของแต่ละเดือนนั้น
ตัวอย่าง เลขสูตรสำเร็จของแต่ละเดือนในปี 2553 เป็นดังนี้

เดือน มกราคม เลขสูตรสำเร็จเป็น 3
เดือน กุมภาพันธ์ เลขสูตรสำเร็จเป็น 7
เดือน มีนาคม เลขสูตรสำเร็จเป็น 7
เดือน เมษายน เลขสูตรสำเร็จเป็น 4
เดือน พฤษภาคม เลขสูตรสำเร็จเป็น 2
เดือน มิถุนายน เลขสูตรสำเร็จเป็น 6
เดือน กรกฎาคม เลขสูตรสำเร็จเป็น 4
เดือน สิงหาคม เลขสูตรสำเร็จเป็น 1
เดือน กันยายน เลขสูตรสำเร็จเป็น 5
เดือน ตุลาคม เลขสูตรสำเร็จเป็น 3
เดือน พฤศจิกายน เลขสูตรสำเร็จเป็น 7
เดือน ธันวาคม เลขสูตรสำเร็จเป็น 5

ทั้งนี้ผู้ใช้ใคร่เลือกเฉพาะเลขสูตรสำเร็จของเดือนใดก็ย่อมได้ เป็นไปตามความประสงค์ ดังเช่น ในเดือนกุมภาพันธ์ ปี 53 มีเลขสูตรประจำเดือนเป็น 7 เป็นต้น
ในตัวอย่างที่เกริ่นนำข้างต้น เมื่อต้องการทราบว่าวันครูที่ 16 มกราคมที่ผ่านมาตรงกับวันอะไรในรอบสัปดาห์ ก็หาได้ง่ายมาก คือ
เปิดดูเลขสูตรของเดือน มกราคม ตรงกับ 3 แสดงว่า วันอาทิตย์แรกของเดือนมกราคมตรงกับวันที่ 3

2. ให้เอาเลข 7 บวกกับตัวเลขสูตรที่ได้ ซ้ำ้ ๆ จนมีค่ามากที่สุด แต่ต้องไม่เกินเลขของวันที่ที่ต้องการทราบวัน ซึ่งตามที่ยกมานั้นจะได้ 3 + 7 = 10 ( ถ้าบวกต่อ 10 + 7 = 17 เกินเลข 16 กรณีนี้ตัดทิ้งไป )

3. แสดงว่าวันที่ 10 ตรงกับวันอาทิตย์

4. จากนั้นให้ไล่หาวันที่ต้องการได้เลย ดังนี้
วันที่ 11 ตรงกับ วันจันทร์
วันที่ 12 ตรงกับ วันอังคาร
วันที่ 13 ตรงกับ วันพุธ
วันที่ 14 ตรงกับ วันพฤหัสบดี
วันที่ 15 ตรงกับ วันศุกร์
วันที่ 16 ตรงกับ วันเสาร์

*** นั่นแสดงว่าวันที่ 16 ม.ค. 53 ตรงกับวันเสาร์


หรือสมมุต่ว่าหลานชายของท่านผู้อ่านเกิดวันที่ 28 ก.พ. 53 ( เกิดล่วงหน้าไว่ล่ะกัน ) ซึ่งตรงกับวันสุดท้ายของเดือนพอดี และปีนี้เดือนกุมภาพันธ์มีทั้งหมด 28 วันเพราะมิใช่ปีอธิกสุรทิน หรือ ปีอธิกมาส ซึ่งจะมี 4 ปีครั้ง ซึ่ง 28 กุมภา แม้นว่าจะมิตรงกับวาเลนไทม์ก็ตามแต่ปีนี้ก็ฤกษ์ดีสุด ๆ เพราะตรงกับวันมาฆบูชา ซึ่งเป็นวันแห่งการปฐมเทศนาของพระพุทธองค์ก็ถือได้ว่าเป็นวันมงคล เป็นการเปิดมิติการเรียนรู้บนเส้นทางแห่งปัญญาซึ่งนำพาผู้คนสู่การหลุดพ้นจากห้วงโอฆะกิเลสจองจำจิตวิญญาณ ซึ่งเป็นมหาสมุทรแห่งตัณหาที่อ้าไม่รู้จบ

เอ วันที่ 28 ก.พ. นี้มันตรงกับวันอะไรกันนี่ แก่แล้วเนาะ ก็หลง ๆ ลืม ๆ กันอย่างนี้แหละ ก็ใช้ tool ที่กำหนดไว้นี้ช่วยก็แล้วกัน
ดูเลขสูตรของเดือน ก.พ. ตรงกับ 7 แล้วนำ 7 บวกเข้าซ้ำ้ ๆ มากที่สุดไม่เกิน 28 ได้้เป็น 7 + 7 = 14, 14 + 7 = 21, 21 + 7 = 28 ถ้าอย่างนี้ไม่ต้องเสียเวลาไล่วันให้ยาก เพราะวันที่ 28 นี้ตรงกับวันอาทิตย์แน่นอน เฮ้อ ! ไม่ต้องเสียเวลาเปิดปฎิทินให้เสีย self ของครูคณิตฯ เท่ห์ไม่เบานะนี่ !? แต่อย่าลืมวันสำคัญนี้เสียล่ะ พาลูกหลานไปทำบุญ กุศล ปฏิบัติธรรม สร้างสติ สมาธิ เพื่อบ่มเพาะปัญญา เป็นอริยทรัพย์ที่พาข้ามภพข้ามชาติ สู่แดนที่ไม่ตาย



ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/

ธรรมะสำหรับการพัฒนาองค์กร ซึ่งเรียกว่า "อปริหานิยธรรม" หรือ "สามัคคีธรรม" ซึ่งชาววัชชีในสมัยพุทธกาลได้ปฏิบัติททำให้บ้านเมืองมีสามัคคี ปรองดอง มั่นคงเข้มแข็ง เข้าอกเข้าใจกัน ไม่มีการลักลั่นย้อนแย่ง (paradox) เฉกเช่นคนบางเมืองในปัจจุบัน

1. หมั่นประชุมกันเนือง ๆ
2. พร้อมเพรียงกันประชุม เลิกประชุม พร้อมเพรียงกันทำกิจทั้งหลาย
3. ไม่บัญญัติสิ่งที่มิได้บัญญัติด้วยเห็นว่าขัดกันกับหลักการเดิม ไม่ล้มล้างบัญญัติที่เห็นว่าดีเป็นประโยชน์ต่อส่วนรวม
4. ไม่ฉุดคร่าขืนใจสตรีทั้งหลายมีบทบัญญัติคุ้มครอง
5. เคารพเชื่อฟังผู้มีอาวุโสในถ้อยคำที่ควรรับฟัง
6. เคารพสักการะบูชาสถานที่ศักดิ์สิทธิ์ ไม่ปล่อยให้สิ่งนั้นเสื่อมลง
7. อารักขาคุ้มครองป้องกันบรรพชิตทั้งหลายให้ท่านดำรงอยู่โดยผาสุข

CAI ... กับการบรรยายใส่แผ่น

การพัฒนานวัตกรรมในรูปบทเรียนคอมพิวเตอร์ช่วยสอน (Computor Assisted Instruction) หรือเรียกติดปากกันในหมู่นักพัฒนาว่าบทเรียน CAI โดยเฉพาะอย่างยิ่งบทเรียนประเภท Tutorial ซึ่งเป็นการสอนเนื้อหาใหม่ด้วยการมอบภาระให้คอมพิวเตอร์ทำหน้าที่เป็นครูสอนแทน ด้วยคุณลักษณะพิเศษของคอมพิวเตอร์ที่สามารถนำเสนอสื่อผสม (Multimedia) ทั้งภาพ เสียง ภาพเคลื่อนไหว การจำลองแบบต่าง ๆ ได้อย่างหลากหลาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งผู้เรียนสามารถควบคุมบทเรียนได้ด้วยตนเอง จัดระบบสิ่งเร้าและการตอบสนองได้อย่างลงตัว ฉับพลันทันความต้องการของผู้เรียน สนองตอบต่อความแตกต่างระหว่างบุคคล เป็นไปตามพระราชบัญญัติการศึกษาในปัจจุบันที่มุ่งเน้นตัวผู้เรียนเป็นสำคัญ

ในการวิจัยของนักศึกษาระดับปริญญาโทสาขาคณิตศาสตร์ศึกษา ของมหาวิทยาลัยราชภัฏอุบลราชธานี มีนักศึกษาหลายท่านที่ได้ศึกษาวิจัยด้านพัฒนานวัตกรรม CAI เพื่อใช้ในการเรียนการสอน ส่วนใหญ่จะพัฒนา CAI โดยใช้โปรแกรม Authorware เพื่อให้ได้ประสิทธิภาพ และ ประสิทธิผลของบทเรียนอยู่ในเกณฑ์มาตรฐานเชิงวิชาการตามวัตถุประสงค์ที่ต้องการ ในฐานะอาจารย์ที่ปรึกษางานวิจัย (คณะกรรมการที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์) มีข้อสังเกต ติติงบทเรียน CAI ว่า ในขั้นตอนการสอนที่มีการให้ บทนิยาม ทฤษฎีบท และตัวอย่างต่าง ๆ ประกอบนั้น ผู้เรียนแทบจะไม่มีโอกาสได้ฝึกกิจกรรมใด ๆ เลย มีหน้าที่เพียง ดูบทเรียน ฟังคำบรรยาย คลิกเลือกเนื้อหาแทบไม่มีโอกาสได้ตอบโต้ และ/หรือ ได้รับ feedback จากบทเรียนใด ๆ เลย ซึ่งผิดธรรมชาติของการเรียนการสอนตามสภาพจริงซึ่งผู้เรียนจะต้องมีโอกาส ถาม-ตอบ หรื่อ ฝึก คิด/ทำ ได้รับการชมเชย รางวัล การติติง การให้กำลังใจ ดูไปแล้วก็เสมือนกับ CAI เป็นการบรรยายใส่แผ่น CD เท่านั้นเอง จากนั้นผู้เรียนก็มาฝึกทำแบบฝึกหัด หรือ แบบทดสอบย่อย เพื่อที่ผู้วิจัยจะนำมาใช้วัดค่าประสิทธิภาพของกระบวนการ (E1) โดยที่ผู้เรียนก็ทราบเพียงผลของคะแนนที่ทำได้จากแบบฝึกนั้นโดยที่ไม่รู้ด้วยซ้ำว่าผิดข้อใดและเพราะอะไร

ผู้เขียนได้แนะนำให้สอดแทรกแบบฝึกประกอบบทนิยาม ทฤษฎี เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ โดยมีการตรวจสอบความถูกผิดให้ทราบทันที มีการสอน แนะนำ ให้กำลังใจในกรณีตอบผิด หรือไม่สมบูรณ์ มีการชมเชยในกรณีตอบถูก และแบบฝึกเพื่อทดสอบความเข้าใจนั้นควรมีรูปแบบที่หลากหลายเพื่อไม่ให้เกิดความเบื่อหน่าย แต่เมื่อผู้วิจัยไปพัฒนาแก้ไขบทเรียนตามคำแนะนำที่ให้ไว้แล้วก็ยังปรากฏว่าแบบฝึกก็ยังคงเป็นแบบเดิม ๆ ซ้ำ ๆ เช่นอาจมีเฉพาะแบบ Multiple Choices ที่จริงแล้วแบบฝึกนั้นมีรูปแบบมากมายซึ่งจะสังเกตเห็นได้จากหนังสือเรียน หรือ คู่มือ ที่ สสวท. จัดทำขึ้น การถามตอบ แบบถูกผิด แบบให้เขียนคำตอบ แบบจับคู่
แบบ multiple choices เกม ปริศนา คำทายต่าง ๆ ซึ่งผู้ทำบทเรียน CAI ควรศึกษาหลักการที่เกี่ยวข้องกับสิ่งเหล่านี้เพื่อนำมาประกอบในการพัฒนาบทเรียนของตน


ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/.

ครอสโพรดักส์...ซึมซับหรือไม่ ?

การจำบทนิยามของ dot product หรือ scalar product ของสองเวกเตอร์นั้นผู้เรียนหลายคนก็อาจจำได้โดยไม่ยากนักว่าทำได้โดยการนำตัวเลขตัวที่หนึ่งคูณกัน ตัวที่สองคูณกัน และตัวที่สามคูณกัน แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้ทั้งหมดมาบวกกัน นั่นคือ
ถ้า u = (a1, b1, c1) และ v = (a2, b2, c2) แล้ว u dot v = (a1)(b1) +(a2)(b2) + (a3)(b3) แม้นจะไม่ก่อให้เกิดแนวคิดที่เป็นรูปธรรมในเชิงภาพความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ ขนาดทิศทาง มุม ก็ตาม แต่ก็ยังเอื้อต่อการนำไปใช้พิสูจน์สมบัติต่าง ๆ ได้โดยสะดวก และที่สำคัญคือผู้เรียนก็สามารถจดจำนิยามได้โดยไม่ยุ่งยากนักแม้นจะเป็นการจำแบบนกแก้วนกขุนทองก็ยังพอทน

แต่อุแม่เจ้า ! เมื่อมาพิจารณาบทนิยามของ cross product หรือ vector product ในหนังสือเรียนของเด็ก ม.ปลาย เด็กเรียนบางคนอาจจะร้องจ๊าก "เอะ แล้วอาตมาจะจำได้ไหมนี่" พี่น้องลองพิจารณาเอาเองก็แล้วกัน ดังนี้

u x v = <(b1)(c2)-(b2)(c1), (c1)(a2)-(c2)(a1) , (a1)(b2)-(a2)(b1) >

นอกจากไม่มีความหมายในเชิง graphic แล้ว ยังสุดที่จะหยั่งจำได้ และมันก็เป็นบทนิยามที่ไม่ตรงกับที่กำหนดไว้ในระดับอุดมศึกษา ซึ่งกำหนดไว้ว่า u x v = |u||v| sint n เมื่อ u และ v และ u x v เป็นเวกเตอร์ในระบบมือขวา n เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางเดียวกับ u x v , t คือ มุมที่กระทำกันระหว่าง u และ v ทั้งนี้ u x v จะตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดย u และ v

ที่น่าสนใจคือ ผู้สอนสามารถกำหนดแผนภาพประกอบนยามให้ผู้เรียนเกิดแนวคิดที่เอื้อต่อการจำและความเข้าใจได้เป็นอย่างดี
เมื่อพิจารณา |u x v| = |u||v|sin t เนื่องจาก ค่า sin t มากกว่าหรือเท่ากับ 0 ซึ่งค่าดังกล่าวนี้ประยุกต์ไปใช้หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ สามเหลี่ยมที่มีเวกเตอร์ u และ v ประกอบกันเป็นเส้นขอบรูป นั่นคือ

พื้นที่สี่เหลี่ยด้านขนานเท่ากับ |u x v|
พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ (1/2)|u x v|

และการผสมผสานระหว่า dot และ cross operator ที่เรียกว่าผลคูณเชิงสเลาร์นั้น ก็สามารถประยุกต์ใช้ในการหาปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน นั่นคือ ถ้า u, v และ w เป็นด้านประกอบของทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนานจะได้ว่า

ปริมาตรของรูปทรงดังกล่าวจะเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ของ u.vxw ทั้งนี้ ลำดับของ u, v และ w ไม่สำคัญ เพราะเป็นค่าสัมบูรณของจำนวนที่เกิดจากค่าตัวกำหนด(determinant) ของจำนวนแสดงทิศทางของสามเวกเตอร์ ซึ่งโดยสมบัติของ determinant แล้ว การเปลี่ยนตำแหน่งแถว หรือ หลัก ของเมทริกซ์ไม่กระทบต่อขนาดของตัวเลขซึ่งเป็นค่าของ det นั้น

อนึ่ง ถ้า u, v และ w เป็นเวกเตอร์ร่วมระนาบ(coplanar) แล้ว u.vxw เท่กับ 0 เสมอ



ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/

บทกลอนมาฝาก
" คมความคิดถึงประหนึ่งมีด
คิดขึ้นมาครั้งหนึ่งก็กรีดใจหนึ่งหน
สงสารใจทรมานสู้ทานทน
คิดถึงคนหลายใจได้ทุกวัน "

ความถนัดทางตัวเลข

พื้นฐานที่สำคัญในการวัดความถนัดทางตัวเลข หรือความถนัดทางคณิตศาสตร์ คือ ระบบจำนวน และวิธีวัดความถนัดทางตัวเลข หรือจำนวนแบบหนึ่ง คือ การกำหนดลำดับตัวเลขโดยเริ่มต้นให้จำนวนมาชุดหนึ่งประมาณ 3-5 จำนวนแล้วถามว่า "ตัวถัดไปคืออะไร" โดยที่ตัวเลขที่ต้องการนั้นจะมีความสัมพันธ์กับตัวเลขก่อนหน้านั้นตามเงื่อนไขที่ผู้ตั้งโจทย์ได้กำหนดไว้
แบบของโจทย์วัดความถนัดทางจำนวนเกี่ยวกับลำดับตัวเลขมีดังนี้

1. อนุกรมเลขคณิต

จงหาตัวเลขตัวถัดไปของลำดับต่อไปนี้

1) 1, 5, 9, 13, ? (เพิ่มขึ้นครั้งละ 4)

2) 200, 150, 100, 50, ? (ลดลงครั้งละ 50)


2. ลำดับเรขาคณิต

จงหาตัวเลขตัวถัดไปของลำดับต่อไปนี้

1) 3, 9, 27, 81, ? (เพิ่มขึ้นครั้งละ 3 เท่า)

2) 100, 10, 1, 0.1, ? ( ลดลงครั้งละ 10 เท่า )

3. สองตัวก่อนสร้างตัวถัดไป

จงหาตัวเลขตัวถัดไปของลำดับต่อไปนี้

1) 2, 3, 5, 8, 11 ?
( 2 + 3 สร้าง 5, 3 + 5 สร้าง 8 และ 5 + 8 สร้าง 11 )

2) 1, 2, 2, 4, 8, ?
(1 x 2 สร้าง 2, 2 x 2 สร้าง 4 และ 2 x 4 สร้าง 8 )

4. คูณเพิ่มขึ้น

จงหาตัวเลขตัวถัดไปของลำดับต่อไปนี้

1) 2, 4, 12, 48, 240, ?
(2 x 2 สร้าง 4, 4 x 3 สร้าง 12, 12 X 4 สร้าง 48, 48 x 5 สร้าง 240 )

2) 3, 3, 6, 18, 72, 360, ?
(3 x 1 สร้าง 3, 3 x 2 สร้าง 6, 6 X 3 สร้าง 18, 18 x 4 สร้าง 72 และ 72 x 5 สร้าง 360 )


5. ลำดับสลับ

1) 1, 2, 3, 5, 5, 8, 7, ? เป็นลำดับสลับ
ตำแหน่งคี่ : 1, 3, 5, 7, ...
ตำแหน่งคู่ : 2, 5, 8, ...
จำนวนที่ต้องการ อยู่ในตำแหน่งคู่ ซึ่งมีเงื่อนไขคือเพิ่มขึ้นครั้งละ 3 ดังนั้นคำตอบ คือ 8 + 3 = 11

2) 2, 3, 4, 6, 6, 12, 8, ? เป็นลำดับสลับ
ตำแหน่งคี่ : 2, 4, 6, 8, ...
ตำแหน่งคู่ : 3, 6, 12, ...
จำนวนที่ต้องการ อยู่ในตำแหน่งคู่ ซึ่งมีเงื่อนไขคือเพิ่มขึ้นครั้งละ 2 เท่า ดังนั้นคำตอบ คือ 12 x 2 = 24


6. ลำดับเลขคณิตผสมเรขาคณิต
จงหาตัวเลขตัวถัดไปของลำดับต่อไปนี้
2, 5, 12, 27, 58, ?
จำนวนที่สองเกิดจาก (2 x 2) + 1 เท่ากับ 5
จำนวนที่สามเกิดจาก (5 x 2) + 2 เท่ากับ 12
จำนวนที่สี่เกิดจาก (12 x 2) + 3 เท่ากับ 27
จำนวนที่ห้าเกิดจาก (27 x 2) + 4 เท่ากับ 58


7. ลำดับเลขคณิตแบบสลับเครื่องหมาย

จงหาตัวเลขตัวถัดไปของลำดับต่อไปนี้

3, 6, 2, 7, 1, 8, ?

ุ6 เกิดจาก 3 + 3 ( ตัวหน้า + 3)
ุ2 เกิดจาก 6 - 4 ( ตัวหน้า - 4)
ุ7 เกิดจาก 2 + 5 ( ตัวหน้า + 5)
ุ1 เกิดจาก 7 - 6 ( ตัวหน้า - 6)
ุ8 เกิดจาก 1 + 7 ( ตัวหน้า + 7)

ดังนั้นคำตอบ คือ 8 - 8 = 0


รูปแบบตามแนวทางที่นำเสนอมาข้างต้นคงเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านทุกท่านที่จำเป็นจะต้องเตรียมตัวสอบเกี่ยวกับลำดับตัวเลข (ตำราสอบบรรจุมักจะใช้คำว่าอนุกรม หรือ อนุกรมก้าวหน้าเลขคณิต) ซึ่งจะต้องฝึกทำ ฝึกคิด พิจารณาตรวจสอบว่าเงื่อนไขและกฎเกณฑ์ที่ค้นพบนั้นมีความถูกต้องสมเหตุสมผลโดยทดลองแทนค่าตัวเลขลงไปไม่มีข้อขัดแย้งเกิดขึ้นก็น่าจะใช้ได้


ธรรมะเป็นพร
ครู PEE/


เก็บกลอนมาฝาก

"ทรุดร่างนั่งลงตรงนี้
ตรงที่ฟ้ากว้างบางใส
เหน็ดเหนื่อยอ่อนเพลียเสียใจ
ร้องให้ปลอบตนคนเดียว"

โปรเจคชัน...สำคัญอย่างไร?

ในการสอนเวกเตอร์ในระดับมัธยมศึกษาปีที่ 5 มีสมบัติที่ครูผู้สอนไม่ควรละเลยที่จะนำมายกเป็นประเด็นปัญหาให้ผู้เรียนได้มีโอการอภิปรายร่วมกัน นั่นคือแนวคิดเกี่ยวกับการกำหนด projection และ projection vector ของเวกเตอร์หนึ่งบนอีกเวกเตอร์หนึ่ง ที่นักเรียนมักจะพบในข้อสอบแข่งขันเสมอ เมื่อเจอก็มักจะจนแต้มและต้องเสียแต้มไปในท้ายที่สุด อาจเป็นเหตุให้เสียโอกาสที่จะเป็นหนึ่งในผู้ทีผ่านเข้าเส้นชัยในการสอบแข่งขันได้
สมมุติ u และ v เป็นสองเวกเตอร์ใด ๆ ใน space ที่ไม่ใช่เวกเตอร์ศูนย์
projection ของ u บน เวกเตอร์ v หาได้โดยใช้ u dot e เมื่อ e เป็นเวกเตอร์หน่วยของ v และมีทิศทางเหมือน v
(v/|v|) ผลจากการดำเนินการอาจออกมาเป็นตัวเลขบวก หรือ ลบ ก็ได้ โดยที่ถ้าเวกเตอร์ทั้งสองทำมุมแหลมต่อกันก็จะเป็นค่าบวก แต่ถ้าทำมุมป้านกันก็จะเป็นค่าลบ ถ้าประสงค์จะกล่าวถึงขนาดของ projection ดังกล่าวนั้นก็หาได้จากค่าสัมบูรณ์ของ projection ที่ได้นั้น
ส่วน projection vector ก็ใช้ projection ที่ได้ คูณเข้าไปกับเวกเตอร์ e ก็จะได้ตามต้องการ
ตัวอย่างเช่น ถ้า u =<-1, 2, 3> และ v = <-3, 0, 4> จะได้ projection ของ u บน v เท่ากับ
u dot e เมื่อ e = (1/|v|)v = (1/5)<-3,0,4> = <-3/5 , 0, 4/5 > มีค่าเท่ากับ
(-1)(-3/5)+ 2(0) + 3(4/5) = 3/5 +12/5 = 3
ส่วน projection vector ของ u บน v เท่ากับ (3)<-3/5, 0, 4/5> = <-9/5, 0, 12/5>

แต่ทั้งนี้ผู้เรียนจะต้องเข้าใจ ความหมายในเชิงภาพของ projection ได้อย่างชัดเจนจึงจะสามารถประยุกต์แนวคิดได้อย่างมีประสิทธิภาพ ครูควรแสวงหาตัวอย่างข้อสอบแข่งขันในเรื่องนี้มานำเสนอแก่ผู้เรียน ทั้งในลักษณะตัวอย่างต้นแบบ และโจทย์แบบฝึกให้ผู้เรียนได้ทดลองทำด้วยตนเอง ถ้านักเรียนสามารถทำโจทย์ได้ด้วยฝีมือตนเองก็จะเกิดความภาคภูมิใจ การทำโจทย์ที่ท้าทายความสามารถ ไม่ง่าย หรือ ยากจนเกินไป และผู้เรียนประสบผลสำเร็จ สมองย่อมหลั่งสาร โดพามีน ซึ่งเป็นฮอร์โมนแห่งความสุข ทำให้อยากจะเรียนรู้เรื่องนั้น ๆ ซ้ำ ๆ ได้โดยปราศจากความเบื่อหน่ายย่อมเป็นเหตุทำให้เกิดทักษะช่ำชองในเรื่องดังกล่าวซึ่งจะเป็นประโยชน์อย่างยิ่งต่อตัวผู้เรียนเองต่อไปในอนาคต ... สุขใดจะเสมือนสุขที่เกิดขึ้นจากการได้แสงประทีปแห่งดวงปัญญา อานิสงส์ย่อมบังเกิดแก่ครูผู้สอนอย่างแน่นอน

ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/

"เกิดมาเพราะไม่รู้ จงมุ่งดูรู้จิตเถิด
สติมาปัญญาเกิด สู่สิ่งเลิศเพริดนิพพาน"