คำนวณง่าย ๆ ในช่วง

ในเนื้อหาของระบบจำนวนจริง สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่ง topic หนึ่ง คือเรื่องราวเกี่ยวกับช่วง (class interval) อันเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงซึ่งมีทั้งช่วงเปิด(open interval) และช่วงปิด(close interval) ผู้เรียนต้องเข้าใจใน concept และจดจำข้อตกลงในการใช้สัญลักษณ์ให้ชัดเจนเพราะมิฉะนั้นจะเป็นอุปสรรคอย่างยิ่งในการสื่อความหมาย และไม่อาจใช้ช่วงแทนเซตคำตอบ(solution set) ของอสมการในบริบทของโจทย์ที่เผชิญอยู่ได้อย่างเหมาะสม และกระชับรัดกุม ซึ่งการเขียนเซตคำตอบในรูปช่วงนั้นจะดีกว่าการเขียนเซตคำตอบตามธรรมดาทั่วไป

ตามประเด็นของเรื่องที่ตั้งนั้นจะว่ากันถึงวิธีการในการวิเคราะห์ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของผลบวก ลบ คูณ และ หารของจำนวนจริงสองจำนวนโดยที่แต่ละจำนวนนั้นเลือกมาจากแต่ละช่วงที่กำหนดให้ ไม่ง่ายนาจะบอกให้ จะตายกันในห้องสอบเอาได้นาถ้าประมาท

จะยกกรณีศึกษาขึ้นมาพิจารณากันดังนี้

กำหนด A = [1, 8] และ B = [-1, 2] ข้อต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด

1. { x | x = a + b เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [0, 10]
2. { x | x = a - b เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [2, 6]
3. { x | x = ab เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [-8, 16]
4. { x | x = b/a เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [-1/8 , 2]

หลักคิด
ให้ใช้จุดปลายเป็นตัวแทนของสมาชิกในแต่ละช่วง แต่ถ้าในช่วงใดมี 0 เป็นสมาชิกอยู่ด้วย ต้องนำ 0 มาประกอบการพิจารณาด้วย
ในที่นี้ ในเซต A กำหนดสมาชิกที่เป็นตัวแทน a ได้เป็น a = 1 และ a = 8
ในเซต B กำหนดสมาชิก b ที่เป็นตัวแทนได้เป็น b = -1, 0 และ 2 จะได้

กรณี a + b
a = 1, b = -1 จะได้ a + b = 0* ........... ค่าต่ำสุด
a = 1, b = 0 จะได้ a + b = 1
a = 1, b = 2 จะได้ a + b = 3

a = 8, b = -1 จะได้ a + b = 7
a = 8, b = 0 จะได้ a + b = 8
a = 8, b = 2 จะได้ a + b = 10** .......... ค่าสูงสุด

ดังนั้น a + b อยู่ในช่วง [0, 10] แสดงว่า ข้อ 1 เป็นจริง


กรณี a - b
a = 1, b = -1 จะได้ a - b = 2
a = 1, b = 0 จะได้ a - b = 1
a = 1, b = 2 จะได้ a - b = -1 * .......... ค่าต่ำสุด

a = 8, b = -1 จะได้ a - b = 9** ..........ค่าสูงสุด
a = 8, b = 0 จะได้ a - b = 8
a = 8, b = 2 จะได้ a - b = 6

ดังนั้น a - b อยู่ในช่วง [-1, 9] แสดงว่า ข้อ 2 เป็น เท็จ


กรณี ab
a = 1, b = -1 จะได้ ab = -1
a = 1, b = 0 จะได้ ab = 0
a = 1, b = 2 จะได้ ab = 2

a = 8, b = -1 จะได้ ab = -8* .......... ค่าต่ำสุด
a = 8, b = 0 จะได้ ab = 0
a = 8, b = 2 จะได้ ab = 16 .......... ค่าสูงสุด

ดังนั้น ab อยู่ในช่วง [-8, 16] แสดงว่า ข้อ 3 เป็นจริง


กรณี b/a
a = 1, b = -1 จะได้ b/a = -1* ........... ค่าต่ำสุด
a = 1, b = 0 จะได้ b/a = 0
a = 1, b = 2 จะได้ b/a = 2** .......... ค่าสูงสุด

a = 8, b = -1 จะได้ b/a = -1/8
a = 8, b = 0 จะได้ b/a = 0
a = 8, b = 2 จะได้ b/a = 1/4

ดังนั้น b/a อยู่ในช่วง [-1, 2] แสดงว่า ข้อ 4 เป็นเท็จ


หวังว่า เกร็ดเล็ก ๆ ที่นำมาฝากนี้คงเป็นประโยชน์แก่ผู้อ่านอยู่บ้างนะครับ

ด้วยความปราถนาดี
ครูพี


"เมื่อสมหวังต้องรู้พอ
เมื่อผิดหวังต้องไม่ท้อ"

ในยามประสบโชคดีมีชื่อเสียงนั้นบ่อยครั้งจะนำโชคร้ายตามมาด้วย ดังนั้นเมื่อได้รับความสุขสมหวังแล้วต้องรู้จักความเพียงพอด้วย
ส่วนในยามที่ต้องประสบกับอุปสรรคหรือความพ่ายแพ้ บางทีมันกลับนำมาซึ่งสิ่งที่เป็นประโยชน์ต่อการได้รับความสำเร็จก็เป็นได้ ดังนั้นในขณะที่ต้องประสบกับความผิดหวังก็มิควรเลิกล้มความพยายามเสียง่าย ๆ


....จากคัมภีร์รากผัก

Blog ฟรี ๆ ดี ๆจากครูพี
เกร็ดพยากรณ์
คำศักดิ์สิทธิ
จิตหนึ่ง
ภูมิปัญญาลาว