จิตวิทยาการสอนคณิตศาสตร์

นานทีเดียวที่ครูพีไม่ได้เข้ามา update ข้อมูลใหม่ ๆ แก่เพื่อนพ้องน้องพี่ที่ใจดีสละเวลาอันทรงคุณค่าเข้ามาเยี่ยมเยียนคูหาเล็ก ๆ แห่งนี้ต้องขออภัยหลายเด้อ

วันนี้ก็ขอนำเรื่องราวเกี่ยวกับ "จิตวิทยาการสอนคณิต ฯ " มาเล่าสู่กันฟัง ถึงแม้นจะเป็นเรื่องเก่าแต่ก็ยังคงขลังด้วยข้อเท็จจริงที่ผ่านการวิจัยและคัดสรรกลั่นกรองมาแฃ้วอย่างเหมาะสม ครูคณิตเราหลายท่านอาจจะไม่ค่อยจะตระหนักรู้ถึงมันสักเท่าไหร่ทั้ง ๆ ที่สิ่งเหล่านี้เป็นเครื่องมือสำคัญยิ่งอย่างหนึ่งของครูคณิตมืออาชีพที่ต้องสำเหนียกเพื่อการนำมาประยุกต์ใช้ให้เกิดประสิทธิภาพสูงสุดในกระบวนการเรียนการสอนคณิตศาสตร์

ทฤษฎีการสอนต่าง ๆ ตลอดทั้งแม่บทการเรียนรู้ทั้งหมดย่อมต้องใช้จิตวิทยาเป็นพื้นฐาน นั่นคือจิตวิทยาที่ว่าด้วยการพัฒนาการของเด็ก เพื่อครูผู้สอนจะได้ใช้ดุลยพินิจว่าจะสอนเนื้อหาสาระอะไรให้เด็กได้บ้างในช่วงแต่ละวัย เด็กที่มีความสามารถ ความถนัด และความสนใจที่หลากหลายและแตกต่างกันก็ต้องใช้วิธีสอนและเทคนิคการสอนที่แตกต่างกัน ในแต่ละวัยของเด็กมีผู้ต้นคว้าและศึกษาวิจัยไว้ว่าจะเรียนรู้เรื่องอะไรบ้าง มากน้อยเพียงใด ถ้าสอนในสิ่งที่ไม่เหมาะสมกับพัฒนาการของเขาแล้วก็เป็นการสูญเปล่าผู้เรียนอาจท่องความรู้ได้แบบนกแก้ว นกขุนทอง แต่หาได้เข้าใจหรือรู้ความหมายของสิ่งที่ตนท่องได้ไม่ หรือได้ก็ไม่ทั่วถึง ไม่ชัดเจน ซึ่งเรียกว่า rote learning หรือ memorization อันเป็นแนวคิดที่มักเชื่อกันว่าจะก่อให้เกิดการเรียนรู้ขึ้นได้ซึ่งเป็นความคิดที่ไม่ถูกต้องนัก
Jean Piaget นักจิตวิทยาชาวสวิตเซอร์แลนด์ได้นำเสนอทฤษฎีอันมีรากฐานมาจากการศึกษาโครงสร้างของความรู้มากกว่าหน้าที่ของมัน Piagetสนใจศึกษาในแง่ที่ว่า 'how the mind works rather than what it does' ซึ่งพบว่าการเจริญของสมอง และสติปัญญานั้นเป็นผลสิบเนื่องจากการเจริญเติบโตและการเปลี่ยนแปลงทางร่างกายซึ่งมีองค์ประกอบดังนี้
1.Muturation เป็น ระบบประสาทหรือเนื้อเยื่อต่าง ๆ ของสมอง
2.Physical Experience เป็นประสบการณ์ด้านกายภาพ คือได้มีปฏิสัมพันธ์(interaction)กับ สิ่งแวดล้อม สัมผัสสิ่งต่าง ๆ ด้วยตนเอง เมื่อโตขึ้นจะสามารถใช้สัญลักษณ์ทางภาษาได้
3.Social Interaction เป็นโอกาสที่ได้พบปะพูดคุยแลกเปลี่ยนทัศนะกับผู้อื่นโดยเฉพาะอย่างยิ่งด้านความคิดที่เป็นนามธรรม เช่น ความดี ความงาม ความจริง ความซื่อสัตย์ เป็นต้น
4.Equillibrium เป็นสภาพที่สมดุลเป็นเหตุปัจจัยที่ทำให้เกิดความเข้าใจ สามารถคิดแก้ปัญหาและตัดสินใจแก้ปัญหาต่าง ๆ ได้

ระดับความเจริญทางสติปัญญาของ Piaget1.Sensory-motor period เป็นช่วงวัยแรกเกิดถึงสองขวบ (0-2 ปี) เด็กที่อยู่ในระยะนี้จะรับร฿สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวที่สามารถมองเห็นและสัมผัสได้ เด็กจะเรียนรู้ลักษณะของสิ่งต่าง ๆ ตามสภาพความเป็นจริงที่สามารถมองเห็นได้ การรับรู้ในขั้นต้นจะเริ่มจากความสามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างสิ่งของที่มองเห็นรอบ ๆ ตัว เช่น ขวดนม ตุ๊กตา ที่นอน แต่หลังจากเด็กอายุได้ 1เดือนแล้ว จะขยายความสนใจไปในสิ่งที่มีโครงสร้างที่ซับซ้อนขึ้นได้ เช้า เมื่อนำกรอบไม้สัก 2 อันโดยที่อันหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมธรรมดาแต่อีกอันหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมอยู่ภายในด้วย มาให้เด็กเลือก เด็กส่วนใหญ่จะเลือกรูปที่มีเส้นทะแยงมุมอยู่ด้วย เพราะมีรูปแบบที่ซับซ้อนมากกว่า
ความสัมพันธ์ระหว่างเด็กกับสิ่งของในระยะต้นนี้จะอยู่ในรูปของการจับคู่แบบสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (one to one correspondence)เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างปากของเด็กกับนมของแม่ นอกจากนี้เด็กจะเรียนรู้ถึงการแสดงกิริยาต่าง ๆ เพื่อให้ได้มาในสิ่งที่เขาต้องการ เช่น เมื่อเห็นแมวก็บอกให้เขารู้ว่านี่เป็นแมวนะ อย่าจับ กลัวมัน คราวต่อไปถ้าเด็กร้อง เราก็บอกว่า อย่าร้องเดี๋ยวแมวมา เด็กก็จะหยุดร้องเป็นต้น เมื่อเด็กอายุเกิน 1 ขวบ เขาจะเริ่มรับรู้และรู้จักสิ่งของต่าง ๆ ที่อยู้ในสายตา สามารถสร้างภาพพจน์ของสิ่งของที่ไม่อยู่ในสายตาได้บ้าง
เมื่อเด็กอายุประมาณ 2 ขวบ เขาจะเรียนรู้ถึงการเลียนแบบคนที่อยู่ใกล้ชิด และสิ่งของต่าง ๆ อาจจะเลียนแบบได้ทันที หรือเมื่อเวลาผ่านไปแล้วก็ได้ สิ่งเหล่านี้จะสังเกตุได้เมื่อเด็กเล่นขายของกันจะสมมุติว่าตัวเองเป็นคนขาย หรือคนซื้อ สมมุติให้ตุ๊กตาแทนน้องหรือลูก เป็นต้น ประสบการณ์เหล่านี้จะทำให้เด็กเกิด cognitive frame work คือพิจารณาประสบการณ์ที่ตัวเองเห็นแล้วรับเอาไว้ และยังสามารถนำเอาไปใช้ทีหลังได้ สิ่งนี้สำคัญมากในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เด็กจะเริ่มแต่งเรื่องต่าง ๆ ขึ้นเป็นเรื่องเป็นราวอันเกิดจากความคิดฝัน จินตนาการของเขา และเห็นว่ามันเป็นเรื่องจริง วัยนี้ถือว่าเป็นสัยที่สำคัญมาก ถ้าเด็กขาดประสบการณ์ที่ดีในเบื้องต้น จะทำให้เกิดปัญหาในการเรียนพื้นฐานอันจะส่งผลต่อการเรียนรู้ในเรื่องที่มีความซับซ้อนมากขึ้นด้วย

2.Concrete operation period (อายุ 2-11)เป็นวัยที่เริ่มมาโรงเรียน ครูจึงเป็นผู้มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อพัฒนาการของเด็กในระยะนี้ และสามารถแบ่งได้เป็นสองระยะย่อย คือ Preoperation Subperiod(อายุ 2-7 ปี) เป็นระยะที่เด็กมีความสามารถในการใช้คำพูดต่าง ๆ ได้คล่องแคล่วขึ้น สามารถแยกความแตกต่างของคำที่ใช้และเข้าใจความหมายมากขึ้น สามารถแยกความแตกต่างของวัตถุสิ่งของต่าง ๆ จากลักษณะภายนอกที่มองเห็นได้ เด็กจะเริ่มแสดงพฤติกรรมเพื่อให้ได้มาซึ่งสิ่งที่ตนต้องการด้วยวิธีการต่าง ๆ มากมายในระยะแรกคือ ระยะ sensory motor เด็กจะรับรู้เหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในเวลาจำกัด แต่เมื่อเด็กเจริญเติบโตมาถึงระยะนี้ เด็กจะสามารถรับรู้ถึงเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นทั้งในอดีต ปัจจุบัน และอนาคตได้ โดยเด็กสามารถใช้คำพูดอธิบายถึงเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นแล้วและสามารถที่จะพูดถึงสิ่งที่ตั้งใจจะทำในเวลาต่อไปได้อย่างถูกต้อง ทางด้านพฤติกรรม เด็กจะแสดงพฤติกรรมเพื่อให้ได้มาซึ่งสิ่งที่ตนต้องการและใช้ความพยายามมากกว่าหนึ่งพฤติกรรม ในวัยนี้เด็กจะเรียนรู้ในสิ่งที่เป็นนามธรรมมากขึ้นทั้งนี้ขึ้นอยู่กับตวามสามารถของเด็กแต่ละคนว่าจะพัฒนาขึ้นมาได้มากน้อยเพียงใด
เด็กในวัยนี้จะเรียนรู้คำศัพท์ต่าง ๆ มากขึ้น และเริ่มเข้าใจเกี่ยวกับสิ่งของเฉพาะสิ่ง ความเข้าใจตอนแรกจะมุ่งไปทางการแสดงพฤติกรรม เช่น เด็กที่เคนรับประทานของที่มีรสเผ็ดเมื่อไปรับประทานอะไรที่มีรส หวาน มัน เปรี้ยว หรือ ขม เขาก็จะบอกว่าเผ็ดไปหมดแสดงว่าเขาไม่สามารถจำแนกความแตกต่างของคำได้ เมื่อโตขึ้นเขาก็จะค่อย ๆ เรียนรู้ถึงความแตกต่างของคำได้มากขึ้นเป็นลำดับเรื่อยไปจนเรียนรู้ว่าเผ็ดนั้นต่างจากรสอื่น ๆ ที่กล่าวถึง การที่เด็กได้พัฒนาเรียนรู้ของคำต่าง ๆ ที่เป็นนามธรรมมากขึ้นนั้น เป็นแกนหลักที่สำคัญในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามเด็กในวัยนี้ยังต้องอาศัยสิ่งที่เป็นรูปธรรม (concrete object)อยู่มาก เด็กจะเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรมโดยอาศัยเฉพาะสิ่งที่มองเห็นและจับต้องได้เท่านั้น

ความสามารถคิดย้อนกลับ(Reversibility)
ในขั้น Preoperation Subperiod นี้เด็กไม่สามารถมองเห็นสิ่งต่าง ๆ ในแง่ของการคิดย้อนกลับ (reverse) ได้ เช่น ถ้าเรานำดินน้ำม้นขนาดเท่า ๆ กันมาสองก้อน ก้อนหนึ่งทำเป็นแท่งยาว ๆ คล้ายดินสอแล้วให้เด็กเลือกว่าก้อนใดมีปริมาณของดินน้ำมันมากกว่ากัน เด็กส่วนมากจะเลือกก้อนที่ยาว แสดงให้เห็นว่าความสามารถในการคิดย้อนกลับของเด็กยังไม่มี ทั้ง ๆ ที่ความจริงแล้วดินน้ำมันทั้งสองก้อนนั้นมาจากดินน้ำมันที่มีขนาดเท่า ๆ กัน และมีรูปร่างเหมือน ๆ กัน แต่เด็กตัดสินใจโดยอาศัยรูปร่างเท่าที่เห็นเท่านั้น ความคิดย้อนกลับนี้เป็นส่วนหนึ่งของความเข้าใจเรื่องเครื่องหมายในวิชาคณิตศาสตร์ เช่น 3+4=7 แล้ว 7-4=3 หรือ 7-3=4 จากตัวอย่างจะเห็นว่าเมื่อนำเอา 3 มารวมกับ 4 แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 7 แต่เมื่อกลับเครื่องหมายโดยนำ 4 ไปลบออกจาก 7 ผลลัพธ์จะเป็น 3 หรือถ้านำ 3 ไปลบออกจาก 7 ผลลัพธ์จะเป็น 4 จะเห็นว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับความสามารถในการคิดย้อนกลับของเด็ก หรือถ้าเรามีประโยคสัญลักษณ์ ถ้า 3 + 4 = 7 แล้ว (3+4)+ 5 = 7+5 ประโยคเดิมคือ 3 + 4 = 7 ได้ถูกเปลี่ยนแปลงโดยบวก 5 เข้ากับ 3+4 ดังนั้น 7 ต้องบวกด้วย 5 ด้วยสมการจึงจะยังคงเป็นจริงเหมือนเดิม สิ่งเหล่านี้เป็นการยากที่เด็กจะเข้าใจได้ว่า การทำจำนวนที่เท่ากันด้วยการเพิ่มปริมาณขึ้นเท่า ๆ กันทั้งสองข้างของสมการ ผลที่ได้จะทำให้สมการนั้นเป็นจริง เด็กจะต้องคิดย้อนกลับไปถึงตอนแรกว่า ประโยคสัญลักษณ์นี้เท่ากันมาตั้งแต่แรก
การคิดย้อนกลับเป็นความสามารถที่เด็กเข้าใจได้ยากตั้งแต่ในช่วงต้นจนถึงช่วงปลาย preoperation Subperiod ซึ่งครูผู้สอนต้องระมัดระวังไม่พลั้งเผลอไปเร่งให้เด็กเข้าใจถึงความสัมพันธ์ระหว่างเครื่องหมายสองชนิดในแง่ของการคิดย้อนกลับ


Concrete operational subperiod(อายุ 7-11) เริ่มต้นของวัยนี้ เด็กยังไม่สามารถเข้าใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้ดีมานัก เช่น ถ้ามีที่แขวนเสื้อกับเสื้อซึ่งเรียงกันอยู่คนละรูปแบบแล้วให้เด็กจับคู่แบบ 1-1 จะทำให้เขาเกิดความยุ่งยากใจในการจัดการมาก
เมื่อเด็กเข้าสู่วัย concrete operation period เขาจะมีความเข้าใจดีขึ้นว่าการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง ลักษณะของกลุ่มไม่มีผลต่อจำนวนสมาชิกในกลุ่ม เด็กในระยะนี้จะเริ่มมองเหตุการณ์ต่าง ๆ กว้างขึ้น ไม่มองสิ่งต่าง ๆ ด้านเดียวและสามารถคิดย้อนกลับได้ด้วย
จากการทดลองเกี่ยวกับดินน้ำมันที่ปั้นเป็นก้อนกลมสองก้อนที่เด็กในระยะ preoperational ไม่สามารถคิดย้อนกลับถึงปริมาณของดินน้ำมันได้ แต่เด็กในช่วงวัยประมาณ 7 ปี เริ่มสามารถคิดย้อนกลับไปสู่จุดเริ่มต้นได้ เด็กจะเริ่มเข้าใจดีขึ้นว่าการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของสี่งของนั้นไม่ได้เปลี่ยนแปลงปริมาณไปด้วย ความคิดของเด็กเริ่มไม่จำกัดอยู่กับเฉพาะในสิ่งที่เห็นเท่านั้น เด็กจะเริ่มเรียนรู้ถึงการมองสิ่งต่าง ๆ ในลักษณะของภาพรวม เช่น มีปัญหาว่า มีไก่ 9 ตัว กินอาหารอยู่ในกรง เมื่อกินอาหารอิ่มแล้วไก่ 6 ตัว เข้าไปฟักไข่ ส่วนอีก 3 ตัว เดินเล่นอยู่ ถามว่ามีไก่อยู่ในกรงทั้งหมดกี่ตัว คำตอบที่ถูกต้องคือ 9 ตัว ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการที่ 6 และ 3 ได้เปลี่ยนรูปการจัดไป แต่ก็ไม่ส่งผลต่อผลรวมเดิมของมัน
ระยะนี้ถึงแม้นเด็กจะเริ่มเข้าใจว่าการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ในการจัดกลุ่มใหม่ว่าไม่เป็นการเปลี่ยนแปลงจำนวนของสมาชิกในกลุ่มที่มีอยู่ก็ตาม แต่เด็กก็ยังไม่เข้าใจว่าน้ำหนักหรือปริมาณของสิ่งของจะไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน การเข้าใจในเรื่องน้ำหนัก เด็กจะเข้าใจเมื่ออายุประมาณ 9 ขวบ ในขณะที่ความเข้าใจในเรื่องปริมาตรจะเข้าใจเมื่ออายุประมาณ 11 ถึง 12 ปี
Piaget ทำการทดลองโดยใช้ตุ๊กตาและท่อนไม้ ซึ่งตุ๊กตากับท่อนไม้มีขนาดต่างกันอย่างละ 10 ชิ้น โดยให้เด็กเรียงตุ๊กตาและท่อนไม้และกำหนดว่าตุ๊กตาแต่ละตัวต้องจับคู่กับท่อนไม้ที่มีขนาดเดียวกัน การเรียงต้องเรียงจากเล็กสุดไปหาใหญ่สุด เด็กอายุ 7 ขวบ สามารถจับคู่สิ่งของดังกล่าวได้ถูกต้อง แต่ถ้าเรียงตุ๊กตาและท่อนไม้ให้สลับกัน คือ เรียงตุ๊กตาจากตัวเล็กสุดไปหาใหญ่สุด ส่วนท่อนไม้ให้เรียงจากท่อนใหญ่สุดไปหาเล็กสุด เด็ก 7 ขวบไม่สามารถจับคู่ได้ถูกต้อง แสดงว่าเด็กยังไม่สามารถจัดแยกตุ๊กตาและจัดแยกท่อนไม้ได้ในเวลาเดียวกัน ทำให้การจับคู่ผิดพลาด แต่เมื่อเด็กเข้าสู่วัย concrete operation stage แล้วเขาก็จะสามารถจับคู่ตุ๊กตาและท่อนไม้ที่มีมีรูปแบบตามที่กล่าวมาแล้วได้ถูกต้อง อันเป็นพื้นฐานความสามารถในการเข้าถึงความหมายของจำนวนต่าง ๆ ได้
การที่ครูเข้าใจพัฒนาการของเด็ก ทำให้ครูสามารถจัดแผนการเรียนรู้ให้สอดคล้องกับความสามารถของเด็กเฉพาะเรื่องไป เช่น ถ้าเด็กสามารถมองเห็นความสัมพันธ์ของจำนวนสมาชิกในกลุ่มที่กำหนดให้กับตัวเลขที่เป็นจำนวนนับต่าง ๆ ได้ จะเป็นพื้นฐานที่สำคัญต่อการเข้าใจในเรื่องจำนวนและตัวเลข ถ้าเด็กสามารถจัดลำดับสมาชิกในกลุ่มตามคุณสมบัติที่กำหนดให้ได้ก็จะเป็นพื้นฐานที่สำคัญที่เด็กจะเข้าใจคุณสมบัติต่าง ๆ ของตัวเลขได้ เด็กที่มีความสามารถในการมองปัญหาได้สองด้านจะสามารถแก้ปัญหาโจทย์ที่มีทั้งความแตกต่าง และการเปรียบเทียบของสมาชิกในกลุ่มที่กำหนดให้ เช่น เพรียวมีรถยนต์ 6 คัน พาวมีรถยนต์ 4 คัน เพียวจะมีรถยนต์มากกว่าพาวกี่คัน เด็กจะเปรียบเทียบจำนวนสมาชิกในกลุ่ม คือ 6 และ 4 และใช้วิธีจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง จำนวนรถยนต์ที่เหลือหลังการจับคู่คือจำนวนที่มากกว่า
ในระยะ concrete operation period เด็กจะสนใจสิ่งต่าง ๆ มากขึ้น เริ่มสนใจเกมที่มีกฏเกณฑ์และมีคู่แข่งขัน ดังนั้นครูจึงควรผลิตเกมต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ให้เด็กได้เล่นจะได้รับความสนใจอย่างมาก
เด็กในระยะ concrete operation period นี้เริ่มสามารถรับรู้เกี่ยวกับรูปทรงทางเรขาคณิต เวลา การเคลื่อนที่ ความเร็ว และอัตราเร็วต่าง ๆ ได้ ครูอาจใช้เส้นจำนวน(number line) หรือเส้นเวลา (time line) แสดงให้เด็กได้เห็น
ในที่สุดแล้ว Piaget ได้ค้นพบว่าในการเรียนเกี่ยวกับเส้นจำนวนนั้น เป็นการสำคัญมากที่ครูจะต้องระมัดระวังให้ความกว้างของแต่ละช่วงมีขนาดเท่า ๆ กัน มิฉะนั้นแล้วจะทำให้เด็กสับสน แต่อย่างไรก็ตามควรจะสอนจากของจริงก่อนจะทำให้เด็กเข้าใจได้ดีกว่าการใช้เส้นจำนวน
นั่นคือในช่วง concrete operation นั้นเด็กจะเรียนรู้เยวกับสิ่งของ น้ำหนัก ปริมาตร มีการพัฒนาในด้านความสามารถที่จะเข้าใจแนวคิดของการจำแนกและเรียงลำดับ (classifying and ordering) ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญในการเข้าใจตัวเลขและจำนวนต่าง ๆ

3. Formal operation period เด็กอายุตั้งแต่ 11 ขวบขึ้นไป ในระยะ concrete operation เด็กมีความสามารถที่จะตั้งสมมติฐานและทำการทดลองตามสมมติฐานที่ตั้งขึ้นได้ แต่เด็กในช่วง formal operations จะสามารถรวบรวมหาเหตุผลต่าง ๆ มาพิสูจน์ข้อสมมติฐานที่ตั้งขึ้นนั้น เช่น (1/2)/(1/3) = y ในการแก้ปัญหานี้เด็กต้องสามารถคิดสิ่งที่เป็นนามธรรมเกี่ยวกับการหารและเศษส่วนได้ เด็อาจคิดว่า (1/2)/(1/3) = y นั้นเหมือนกับ 1/2 = yx(1/3) เพราะเคยเรียนมาแล้วว่า 6/3 = 2 มีความสัมพันธ์กับ 6 = 2x3 และเด็กก็รู้ว่าจะสามารถคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3 ได้ ดังนั้นจากประโยคแรกจะได้ (1/2)x3 = yx(1/3)x3 หรือ (3/2) = yx(3/3) หรือ 3/2 = y นั่นเอง
เด็กในวัยนี้จะสามารถมองเห็นปัญหาต่าง ๆ ได้กว้างขวางมากขึ้น และสามารถนำความสัมพันธ์ของเรื่องต่าง ๆ ที่เรียนมาแล้วมาใช้แก้ปัญหาโจทย์ได้ โดยบางครั้งไม่จำเป็นต้องใช้ของจริงหรือสิ่งที่จับต้องได้เข้าไปช่วยในการเรียนเลย เด็กในระยะนี้จะสามารถเข้าใจแนวคิดต่าง ๆ ที่เป็นนามธรรมและซับซ้อนได้มากขึ้น เด็กจะชอบวิชคณิตศาสตร์เพราะรู้สึกสนุกต่อการที่สามารถแก้ปัญหาและหาคำตอบที่ถูกต้องได้
จากทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของ Piaget แสดงให้เห็นว่าการที่ครูจะทำให้ผลของการเรียนการสอนดีขึ้นนั้น ครูควรต้องเข้าใจพฤติกรรมต่าง ๆ ของเด็กที่แสดงออก และควรจัดบทเรียนโดยคำนึงถึงความสามารถในการรับรู้ของเด็กในวัยนั้น ๆ ด้วย

จุดประสงค์ในการศึกษาของ Piaget
1. ต้องการสร้างคนให้มีความสามารถกระทำสิ่งใหม่ มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ รู้จักประดิษฐ์คิดค้น และแสวงหาความรู้ด้วยตนเองโดยไม่ลอกเลีบยแบบจากผู้อื่น
2. ต้องการให้คนสามารถพิสูจน์ปัญหาต่าง ๆ ก่อนที่จะยอมรับและสามารถวิพากษ์วิจารณ์ได้
3. ต้องการให้ผู้เรียนมีความกระตือรือร้นที่จะแสวงหาความรู้ด้วยตนเองตั้งแต่เด็ก โดยส่วนหนึ่งเป็นธรรมชาติของเด็กเอง และอีกส่วนหนึ่งครูจะเป็นผู้จัดให้


Jerome S.Bruner เป็นผู้อำนวยการของ Harvard's Center for Cognitive Studies เป็นผู้ที่ศึกษาเกี่ยวกับพัฒนาการทางสติปัญญา(cognitive development) โดยอาศัยขั้นตอนต่าง ๆ จากการศึกษาของ Piaget และนำมาศึกษาต่อ Bruner มีความเห็นต่อการจัดการศึกษาว่า ทฤษฎีพัฒนาการจะเป็นตัวเชื่อมระหว่างทฤษฎีการเรียนรู้และทฤษฎีการสอน การที่ Bruner กล่าวเช่นนี้แสดงว่าวิชาการต่าง ๆ เราสามารถสอนให้เด็กคนใดของเวลาใดในขั้นของพัฒนาการก็ได้ ถ้าผู้สอนสามารถสามารถสอนอย่างสอดคล้องกับระยะพัฒนาการของเด็กนั้น ๆ
Bruner คิดว่าความพร้อมนั้นเป็นสิ่งสำคัญแต่ในขณะเดียวกันความพร้อมก็เป็นสิ่งที่สอน หรือทำให้เกิดขึ้นได้โดยไม่จำเป็นต้องรอให้เกิดขึ้นเอง ควรจ้ดให้เด็กเกิดความพร้อมขึ้นเพื่อที่จะเรียนให้ทันเพื่อน ข้อควรระวังในการจัดให้เกิดความพร้อมนั้นอาจมีผลทั้งในทางบวกและลบ ทางบวกคือทำให้ครูทราบว่าความพร้อมสามารถจะจัดให้เกิดขึ้นได้โดยไม่ต้องรอ ในทางลบคือถ้าจัดความพร้อมให้ไม่ถูกส่วนจะทำให้เด็กเกิดความเบื่อหน่าย กลายเป็นเครื่องกีดขวางการเรียนรู้ของเด็กไป

ขั้นตอนการพัฒนาการทางสติปัญญาของ Bruner แบ่งได้เป็น 3 ขั้น
1. Enactive representation เปรียบได้กับขั้น sensory motor ของ Piaget เด็กในขั้นนี้จะเข้าใจสิ่งแวดล้อม และแสดงความเข้าใจนั้น ๆ ด้วยการกระทำและจะเป็นผลต่อเนื่องไปเรื่อย ๆ จนโตมิได้หยุดอยู่ในช่วงระยะนี้เท่านั้น เช่น เด็กจับของเล่นแล้วเขย่าเกิดเสียงดังขึ้น ถ้าของเล่นตกเด็กก็จะดูที่มือแล้วเขย่ามือ เพราะคิดว่าจะดังเหมือนของเล่น ซึ่งเป็นการรับรู้ และแสดงออกด้วยการกระทำ ในชีวิตจริงของคนเรานั้นบางครั้งจะพบว่าผู้ที่ไม่ได้อยู่ในวัยนี้แล้วก็ยังใช้วิธีแก้ปัญหาด้วยการลงมือทำจริง ๆ เช่น การขับรถยนต์ การเล่นฟุตบอล ซึ่งได้ผลดีกว่าการอธิบายโดยใช้คำพูดเพียงอย่างเดียว ดังนั้น Bruner จึงแบ่งขั้นตอนการพัฒนาการทางสติปัญญาให้อนู่แต่เพียงระยะแรกของชีวิตเท่านั้น โดยถือว่าเป็นกระบวนการที่ต่อเนื่องตลอดชีวิต คนจะนำไปใช้ในช่วงใดของชีวิตก็ได้
2. Iconic representation เด็กที่อยู่ในระยะนี้พัฒนาการทางด้านสติปัญญาอยู่ที่การมองเห็นและการใช้ประสาทสัมผัส Bruner มีความเห็นว่าผลจากการกระทำและการมองเห็นในระยะแรก ๆ นั้นทำให้เด็กเกิดภาพในใจ เช่นเมื่อเด็กเล่นของเล่นอยู่ ถ้าของเล่นตกจากมือ เด็กจะมองหาของเล่นนั้น ถ้าเราไม่หยิบให้เด็กจะแสดงอาการหงุดกงิด ไม่สบายใจโดยเด็กจะไม่เขย่ามือแทนเหมือนระยะ enactive นั่นแสดงว่าเด็กสามารถมองเห็นภาพของเล่นในใจได้
3. Symbolic representation เด็กในระยะนี้สามารถถ่ายทอดสิ่งที่ได้รู้ ได้เห็นมาโดยอาศัยภา หรือสัญลักษณ์ได้ การที่เด็กสามารถใช้ภาษาซึ่งแสดงให้เห็นถึงขั้นตอนของความคิดนั้นเป็นขั้นตอนที่สูงสุดของการพัฒนาการทางสติปัญญา เด็กสามารถคิดหาเหตุผลซึ่งในที่สุดก็จะสามารถเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรมและสามารถแก้ปัญหาได้ เด็กสามารถคิดหาเหตุผลซึ่งในที่สุดก็จะสามารถเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรม และสามารถแก้ปัญหาได้ ความคิด ความเข้าใจในแนวคิดต่าง ๆ จะเกิดขึ้นพร้อม ๆ กับภาษา
Bruner มีความเห็นว่าตนเราจะมีการพัฒนาตามขั้นตอน ดังนี้ เริ่มจากการกระทำไปสู่ขั้นจินตนาการและขั้นใช้สัญลักษณ์เป็นภาษาตามลำดับ ซึ่งทุกคนจะต้องผ่านขั้นตอนต่าง ๆ เหล่านี้ทั้งสิ้น แต่ขั้นตอนทั้งสามนี้จะคาบเกี่ยวกันอยู่ตลอดเวลาไม่ตัดขาดจากกันโดยเด็ดขาดเหมือนแนวคิดของ Pisget

การนำความคิดของ Bruner ไปใช้ในการเรียนการสอน 1. การเรียนรู้ของเด็กเล็ก ๆ ต้องคำนึงถึงในแง่ที่ให้เด็กได้แก้ปัญหาด้วยการกระทำ ใช้อุปกรณ์ที่เป็นรูปธรรมเพื่อให้เด็กสามารถสร้างภาพในใจได้
2. กระตุ้นให้เด็กเกิดการเรียนรู้โดยการกระทำด้วยตนเอง คิดค้นด้วยตนเอง กระตุ้นให้เกิดการเรียนรู้ด้วยการค้นพบ (discovering learning) ครูอาจช่วยด้วยการจัดสิ่งแวดล้อมให้
3. เน้นการจัดการเรียนการสอนแก่เด็กมากว่าทำอย่างไรถึงจะช่วยให้เด็กเกิดการพัฒนาการมากขึ้น นั่นคือ เด็กจะได้เรียนเนื้อหาวิชาโดยการจัดประสบการณ์แบบ nonverbal ทำให้เกิดการสอนแบบ nonverbal instructional package
4. ในการจัดการเรียนการสอนครูต้องคำนึงถึงทฤษฎีแห่งการเรียนรู้และทฤษฎีของการสอนซึ่งจะทำให้การสอนมีประสิทธิภาพมากขึ้น

ลักษณะทางสติปัญญา(mental characteristics)
ลักษณะทางสติปัญญาของเด็กระดับมัธยมศึกษาตอนต้น เด็กวัยนี้สามารถเข้าใจแนวคิดที่เป็นนามธรรมได้ดีขึ้น จึงสามารถเข้าใจหลักศีลธรรมจรรยาได้มากขึ้น แต่บางแนวคิด เด็กจะเข้าใจได้ยากจำเป็นที่ครูจะต้องแสดงความเห็นใจ และไม่แสดงการดูถูก ครูต้องอดทนที่จะอธิบายให้เด็กเข้าใจ เด็กวัยนี้ยังมีช่วงของความสนใจยาวขึ้น มีจินตนาการสูง ครูจะต้องให้การบ้านที่ท้าทายจินตนาการในทุกวิถีทางที่จะทำได้ หรืออาจเป็นเกม ปริศนา หรือปัญหาที่น่าคิดแทนแบบฝึกหัดที่น่าเบื่อหน่าย หรืออาจตั้งชื่อเรื่องให้ดูสนุกสนานก็ได้ พัฒนาการทางสติปัญญาตามความเห็นของ Piaget ว่าเด็กวัยนี้มีอายุระหว่าง 12-15 ขวบ เป็นช่วงสุดท้ายของการพัฒนาการทางสติปัญญาซึ่งเด็กอยู่ในขั้น formal operation ซึ่งสามารถคิดเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นนามธรรมได้ทุกเรื่อง และยังตั้งสมมติฐานได้อีกด้วย ส่วน Bruner เห็นว่าเด็กในวัยนี้สามารถใช้สัญลักษณ์ได้กว้างขวางขึ้น ครูมีวิธีช่วยให้เด็กได้พัฒนาขึ้นไปอีก โดยกระตุ้นให้ใช้วิธีสอนโดยการค้นพบด้วยการเน้นความเข้าใจในแนวคิดและสิ่งที่เป็นนามธรรมต่าง ๆ
สรุปการสังเกตของ Piaget และ Brner ได้ว่าเด็กในวัยนี้สามารถคิดอย่างมีเหตุผล แต่อาจจะไม่ใช่เหตุผลเดียวกับที่ผู้ใหญ่คิด ซึ่งครูอาจทราบเหตุผลของเด็กได้โดยการกระตุ้นให้มีการแสดงความคิดเห็นอย่างอิสระ หรืออาจให้เขียนรายงานโดยไม่ให้คะแนนก็ได้
ลักษณะทางสติปัญญาของเด็กมัธยมปลาย เด็กในวัยนี้พัฒนาการด้านสติปัญญาสูงเกือบเท่าผู้ใหญ่ เพียงแต่ยังขาดประสบการณ์จึงไม่สามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากนัก นอกจากนี้เด็กยังคำนึงถึง "ปรัชญาชีวิต" โดยมุ่งไปในเรื่องของศาสนา ศีลธรรม จรรยา และการเมืองแต่ยังไม่กล้าตัดสินใจ ครูจะต้องเปิดโอกาสให้มีการแสดงความคิดเห็นถึงเรื่องต่าง ๆ เกี่ยวกับชีวิต เด็กในวัยนี้ตามแนวคิดของ Piaget และ Bruner เห็นว่าจะมีลักษณะเช่นเดียวกับเด็กในระดับมัธยมต้น เพราะเชื่อว่าหลังจากอายุ 15 ปีขึ้นไปแล้ว พัฒนาการทางด้านสติปัญญาของเด็กจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เมื่ออายุมากขึ้น ความสามารถในการคิดแก้ปัญหาก็ละเอียดถี่ถ้วน และยังสมารถแก้ปัญหาในรูปของนามธรรมได้กว้างขวางมากขึ้น

แนวคิดของ Robert Gagne
Robert Gagne เป็นผู้เสนอแนวคิดที่เรียกว่า ลำดับขั้นการเรียนรู้ (learning hierarchy) ลำดับขั้นการเรียนรู้ หมายถึง สมรรถภาพทางสติปัญญาที่กำหนดขึ้นอย่างเฉพาะเจาะจง แล้วจัดให้มีความสัมพันธ์เป็นลำดับขั้นต่อกันโดยอาศัยแนวความคิดทางทฤษฎี การสร้างลำดับขั้นการเรียนรู้ทำได้โดยวิธีที่เรียกว่า task analysis ซึ่งจะเริ่มด้วยการกำหนดพฤกรรมขั้นสุดท้ายแล้วพิจารณาต่อไปว่า การที่ผู้เรียนจะเรียนรู้พฤติกรรมขั้นสุดท้ายได้นั้น ผู้เรียนจะต้องมีความสามารถหรือมีพฤติกรรมพื้นฐานอะไรมาก่อน จากนั้นก็ใช้วิธีการเดิมวิเคราะห์พฤติกรรมในขั้นที่ 2 ต่อไปอีกจนถึงพฤติกรรมขั้นต่ำสุดที่คาดว่าผู้เรียนในระดับหรือวัยนั้นมีอยู่แล้ว ดังนั้นพฤติกรรมหรือชิ้นงานเฉพาะขั้นต่ำกว่าจะเป็นพื้นฐานสำหรับการเรียนรู้พฤติกรรมหรือชิ้นงานเฉพาะขั้นสูงกว่าต่อไปเป็นลำดับ
การจะเรียนรู้พฤติกรรมลำดับที่ 5 ได้ จะต้องเรียนรู้พฤติกรรมลำดับที่ 4 หรือ 3 หรือ 2 หรือ 1 ก่อน การกำหนดพฤติกรรมย่อยนั้นต้องกำหนดพฤติกรรมเดียวเป็นอิสระจากกัน ถ้ากำหนดพฤติกรรมหลายอย่างจะทำให้สรุปได้ไม่แน่นอนว่าผู้เรียนได้เรียนรู้พฤติกรรมใดจริง นอกจากนี้แล้วการจัดลำดับพฤติกรรมที่เรียกว่าทักษะทางความคิด และจะทำได้ไม่ดีในพฤติกรรมด้านความจำ
นอกจากนี้แล้ว Gagne ยังแนะนำเกี่ยวกับการเรียนรู้ว่าผู้เรียนควรเรียนจากสิ่งง่าย ๆ ไม่ซับซ้อนไปหาสิ่งที่ยุ่งยากและซับซ้อนกว่า Gagne ได้วิเคราะห์พฤติกรรมการเรียนรู้แล้วแบ่งเป็นขั้นตามลำดับซึ่งมีโครงสร้างดังนี้
1. Signal learning เป็นขั้นการเรียนรู้ที่ง่ายที่สุด เกิดการเรียนรู้ตามธรรมชาติ เนื่องจากความใกล้ชิดของสิ่งเร้าและการกระทำซ้ำ ๆ กัน โดยมากจะเกี่ยวข้องกับอารมณ์และตวามรู้สึกของผู้เรียนจะไปบังคับไม่ให้เกิดการเรียนรู้ชนิดนี้ไม่ได้
2. Stimulus-Response learning การเรียนรู้ในขั้นนี้เกิดจากการตอบสนองสิ่งเร้าง่าย ๆ ไม่ซับซ้อน ต่างจากชนิดแรกตรงที่ผู้เรียนสามารถควบคุมพฤติกรรมได้ การตอบสนองสิ่งเร้านี้เป็นไปอย่างตั้งใจ เช่น การออกเสียงตามครู เป็นต้น
3. Chaining การเรียนรู้ในขั้นนี้เป็นการเรียนรู้เนื่องมาจากการเชื่อมโยงของ S-R ZStimulus-Response) ซึ่งต่อเนื่องกันเป็นลูกโซ่ ทำให้เกิดพฤติกรรมที่เกี่ยวกับการกระทำ เช่น เขียน หรืออ่านหนังสือ
4. Verbal association มีลักษณะคล้ายกับประเภทที่ 3 แตกต่างกันเพียงขั้นนี้เกี่วข้องกับการใช้ภาษา ซึ่งมีความสำคัญในการสื่อความหมายเช่น เรียก 8 ว่า เลขแปด เป็นต้น
5. Discrimination learning เป็นการเรียนรู้ในลักษณะที่เด็กสามารถแยกแยะสิ่งของต่าง ๆ หรือสามารถมองเห็นความแตกต่างของสิ่งของ
การที่จะเกิดการเรียนรู้ประเภท 3-4 ได้นั้นต้องเกิดการเรียนรู้ประเภท 2 ก่อน แต่การเรียนรู้ประเภท 4 ก็มิได้มีพื้นฐานมาจากการเรียนรู้ประเภทที่ 3 และการเรียนรู้ประเภทที่ 5 จะเกิดขึ้นได้ต้องอาศัยการเรียนรู้ประเภทที่ 3 หรือ 4 เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
6. Concept learning การเรียนรู้แนวคิดเป็นความสามารถที่ผู้เรียนรู้เห็นความเหมือนกันของสิ่งของหรือเหตุการณ์ ทำให้ผู้เรียนตอบสนองในลักษระที่เป็นกลุ่ม เช่นแนวคิดเกี่ยวกับการดำเนินการบนเซต การเรียนรู้ในขั้นนี้จะง่ายเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับการเรียนรู้ในขั้นที่ 4
7. Principle learning เป็นการเรียนรู้ที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเชื่อมโยงแนวคิดตั้งแต่สองแนวคิดเข้าด้วยกัน และสามารถตั้งเป็นกฎเกณฑ์ขึ้น แล้วนำเอาไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ ที่คล้ายคลึงกัน เช่น 3+2=5 รวมแนวคิดทั้งหมด 5 ชนิดเข้าด้วยกัน
8. Problem solving เมื่อเรียนรู้ถึงกฎเกณฑ์ต่าง ๆ แล้วเด็กก็จะนำความรู้หรือกฎเกณฑ์นั้นไปแก้ปัญหาใหม่ ๆ ได้

จากโครงสร้างการเรียนรู้ตามแบบของ Gagne จะเห็นว่าการวางแผนการจัดการเรียนรู้ของครูจะต้องวางโครงเรื่องที่จะสอนตั้งแต่ระดับง่าย ๆ ต่อเนื่องกันไปจนถึงระดับสูงที่ยุ่งยากซับซ้อน สิ่งใดที่ผู้เรียนยังไม่รู้ก็ต้องให้ผู้เรียนได้เรียนรู้เสียก่อน ก่อนที่จะเรียนรู้สิ่งที่สูง ๆ ขึ้นไป Gagne ถือว่าการเรียนรู้ในขั้นที่ 4 สำคัญมาก


การนำเสนอสาระเกี่ยวกับจิตวิทยาการสอนคณิตศาสตร์ขอจบลงเพียงเท่านี้


ด้วยความปราถนาดี

ครูพี/

คัพท์ศาสตร์การสอน

ในภาคเรียนที่ 1/53 นี้ ครูพีรับหน้าที่ในการสอนวิชา "คณิตศาสตร์ศึกษา" รหัส 4095601 ซึ่งเป็นวิชาแกนบังคับในหลักสูตร ปริญญาโทคณิตศาสตร์ศึกษา มหาวิทยาลัยราชภัฏอุบลราชธานี โดยมีจุดมุ่งหมายเพื่อให้ให้ผู้เรียนได้ตระหนักรู้ในปรัชญาการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ มีความรู้ ความเข้าใจในเชิงวิเคราะห์และสังเคราะห์เพื่อพัฒนาหลักสูตร เนื้อหา และตำราคณิตศาสตร์ทั้งในระดับประถมศึกษาและมัธยมศึกษา
เนื่องจากในการสืบค้นข้อมูลเพื่อประกอบการรายงานและ/หรืออภิปรายนั้น ผู้ศึกษาจำเป็นต้องเกี่ยวข้องกับคำศัพท์ซึ่งเป็นแนวคิดในศาสตร์การสอนอันอาจจะเป็นฉนวนปิดกั้นทำให้ไม่อาจหยั่งเห็นบริบทของเรื่องราวที่กำลังศึกษาได้ถ้าหากไม่เข้าใจในคำศัพท์ซึ่งเป็นหลักมูลฐานก่อน ดังนั้นเพื่ออำนวยความสะดวกในการค้นคว้าครูพีจึงนำเสนอแนวคิดของคำศัพท์สำคัญตามลำดับดังนี้

1. ศาสตร์การสอน(Science of Teaching)
หมายถึง ความรู้เกี่ยวกับการเรียนรู้และการสอนที่สังคมโลกได้สั่งสมมาตั้งแต่อดีตจวบจนปัจจุบัน ซึ่งผู้สอนสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการช่วยให้ผู้เรียนสามารถเรียนรู้ได้ตามเป้าหมาย จุดมุ่งหมาย และ วัตถุประสงค์ของการสอนที่กำหนด ความรู้ดังกล่าวได้มาจากการคิด การวิเคราะห์ของนักปราชญ์ และนักคิดทั้งหลาย หรือได้มาจากการศึกษาค้นคว้า ทดสอบ พิสูจน์ ตามกระบวนการทางวิทยาศาสตร์ของนักจิตวิทยาและนักการศึกษาต่าง ๆ ข้อความรู้ดังกล่าวประกอบด้วย ปรัชญาการศึกษา บริบททางการสอน ทฤษฎี หลักการ แนวคิด ระบบ รูปแบบ วิธีการ เทคนิค และจิตวิทยาทางการเรียนรู้และการสอน การวางแผนและออกแบบการจัดการเรียนการสอน การดำเนินการเรียนการสอน การวัดและการประเมินผล

2. ศิลปะการสอน (Art of Teaching)
หมายถึงความรู้และความสามารถในการนำจิตวิทยา วิธีการและเทคนิคต่าง ๆ ไปใช้ในการสอนเพื่อช่วยให้การสอนมีความน่าสนใจ สนุก มีชีวิตชีวา และช่วยให้ผู้เรียนสามารถเรียนรู้ได้ง่าย สะดวก รวดเร็ว ราบรื่นและมีความสุข

3. บริบททางการสอน (Teaching Context)
หมายถึงสิ่งแวดล้อมทั้งที่เป็นรูปธรรมและนามธรรมที่เกี่ยวข้องกับการเรียนการสอนซึ่งมีความสัมพันธ์/มีอิทธิพลต่อการสอน ทั้งในระดับจุลภาค(micro) ซึ่งเป็นระดับที่ใกล้ตัวผู้เรียนผู้สอนมากที่สุด ไปจนถึงระดับมหภาค (macro) ซึ่งเป็นระดับที่ไกลตัวผู้เรียนมากที่สุด เช่น สภาพทางจิตใจและความรู้ทางวิชาการของผู้สอน สภาพแวดล้อมทั้งภายในภายนอกตัวผู้เรียน บรรยากาศผู้บริหาร การบริหารงาน บุคลากรในโรงเรียน สภาพของโรงเรียน สภาพแวดล้อมในโรงเรียน ผู้ปกครอง บุคคลในชุมชน สภาพทางสังคม เศรษฐกิจและการเมืองของชุมชน ทรัพยากรในชุมชน นโยบายและแผนการจัดการศึกษาระดับชาติ การบริหารการศึกษาระดับชาติ การเปลี่ยนแปลงทางการเมือง การเคลื่อนไหวและความก้าวหน้าทางวิชาการของโลก เป็นต้น

4. ปรัชญาการศึกษา (Educational Pholosophy)
หมายถึงความคิด หรือระบบของความคิดที่เกี่ยวกับการศึกษาที่ตั้งอยู่บนรากฐานของปรัชญาแม่บทปรัชญาใดปรัชญาหนึ่ง ปรัชญาการศึกษาเป็นปรัชญาที่แตกหน่อมาจากปรัชญาทั่วไปอันเป็นปรัชญาที่ว่าด้วยความรู้ความจริงของชีวิต ปรัชญาการศึกษาเป็นความเชื่อ ความศรัทธา การเห็นคุณค่าในความคิดทางการศึกษาใด ๆ ที่ผลักดันให้บุคคลคิดและกระทำการต่าง ๆ ในด้านการจัดการศึกษาให้มีความสอดคล้องกับความเชื่อนั้น ๆ

5. ทฤษฎีการเรียนรู้ ( Learning Theory)
หมายถึงข้อความรู้ที่พรรณา อธิบาย ทำนาย ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับการเรียนรู้ซึ่งได้รับการพิสูจน์ ทดสอบตามกระบวนการทางวิทยาศาสตร์ และได้รับการยอมรับว่าเชืื่อถือได้ และสามารถนำไปนิรนัยเป็นหลักหรือกฎการเรียนรู้ย่อย ๆ หรือนำไปใช้เป็นหลักในการจัดกระบวนการเรียนรู้ให้แก่ผู้เรียนได้ ทฤษฎีโดยทั่วไปมักประกอบด้วยหลักการย่อย ๆ หลายหลักการ

6. หลักการเรียนรู้ (Learning Principle)
หมายถึงข้อความรู้ย่อย ๆ ที่พรรณา อธิบาย ทำนาย ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับการเรียนรู้ซึ่งได้รับการพิสูจน์ ทดสอบตามกระบวนการทางวิทยาศาสตร์ และได้รับการยอมรับว่าเชืื่อถือได้ สามารถนำไปใช้ในการจัดกระบวนการเรียนรู้ให้แก่ผู้เรียนได้ หลักการเรียนรู้หลาย ๆ หลักการอาจนำไปสู่การสร้างทฤษฎีการเรียรรู้ได้

7. แนวคิดเกี่ยวกับการเรียนรู้ (Concept/Approach on Learning)
คือความคิดเกี่ยวกับการเรียนรู้ที่พรรณา อธิบาย ทำนาย ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ที่เกี่ยวกับการเรียนรู้ของมนุษย์ที่นักคิด นักจิตวิทยา หรือนักการศึกษาได้นำเสนอและได้รับการียอมรับในระดับหนึ่งว่าเป็นแนวคิดที่น่าเชื่อถือด้วยเหตุผลใดเหตุผลหนึ่ง

8. ทฤษฎีการสอน(Teaching/Instruction Theory)
คือข้อความรู้ที่พรรณา อธิบาย ทำนาย ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ทางการสอนที่ได้รับการพิสูจน์ การทดสอบ และการยอมรับว่าเชื่อถือได้ซึ่งนักจิตวิทยา หรือนักการศึกษาอาจพัฒนาหรือแปลงมาจากทฤษฎีการเรียนรู้เพื่อนำไปใช้เป็นหลักในการจัดการเรียนการสอนให้เป็นไปตามจุดมุ่งหมายที่กำหนดไว้ ทฤษฎีการสอนหนึ่ง ๆ มักประกอบด้วยหลักการสอนย่อย ๆ หลายหลักการ

9. หลักการสอน (Teaching/Instruction Principle)
คือข้อความรู้ย่อย ๆ ที่พรรณา อธิบาย ทำนาย ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ทางการสอนที่ได้รับการพิสูจน์ การทดสอบ และการยอมรับว่าเชื่อถือได้ สามารถนำไปใช้ในการสอนผู้เรียนให้เกิดการเรียนรู้ตามวัตถุประสงค์ที่กำหนด หลักการสอนหลาย ๆ หลักการอาจนำไปสู่การสร้างทฤษฎีการสอนได้

10. แนวคิดทางการสอน (Teaching / Instructionnal Concept/Approach)
คือความคิดเกียวกับการสอนที่พรรณา อธิบาย ทำนาย ปรากฏการณ์ต่าง ๆ ทางการสอนที่นักคิด นักจิตวิทยา หรือนักการศึกษา ได้นำเสนอและได้รับการยอมรับในระดับหนึ่งว่าเป็นแนวคิดที่น่าเชื่อถือด้วยเหตุผลใดเหตุผลหนึ่ง

11. ระบบการสอน/ระบบการเรียนการสอน (Teaching/Instructional System)
คือองค์ประกอบต่าง ๆ ของการเรียนการสอนที่ได้รับการจัดให้มีความสัมพันธ์กันและส่งเสริมกันอย่างเป็นระบบ เพื่อช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ตามจุดมุ่งหมายที่กำหนดไว้

12. รูปแบบการสอน/รูปแบบการเรียนการสอน (Teaching/Instructional Model)
คือแบบแผนการดำเนินการสอนที่ได้รับการจัดเป็นระบบอย่างสัมพันธ์สอดคล้องกับทฤษฎี/หลักการเรียนรู้หรือการสอนที่รูปแบบนั้นยึดถือและได้รับการพิสูจน์ ทดสอบว่ามีประสิทธิภาพสามารถช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ตามจุดมุ่งหมายเฉพาะของรูปแบบนั้น ๆ โดยทั่วไปแบบแผนการดำเนินการสอนดังกล่าวมักประกอบด้วย ทฤษฎี/หลักการ ที่รูปแบบนั้นยึดถือและกระบวนการสอนที่มีลักษณะเฉพาะอันจะนำผู้เรียนไปสู่จุดมุ่งหมายเฉพาะที่รูปแบบนั้นกำหนดซึ่งผู้สอนสามารถนำไปใช้เป็นแบบแผนหรือแบบอย่างในการจัดและดำเนินการสอนอื่น ๆ ที่มีจุดมุ่งหมายเฉพาะเช่นเดียวกันได้

13. วิธีสอน
คือขั้นตอนที่ผู้สอนดำเนินการให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ตามวัตถุประสงค์ด้วยวิธีการต่าง ๆ ที่แตกต่างกันไปตามองค์ประกอบและขั้นตอนสำคัญอันเป็นลักษณะเด่นหรือลักษณะเฉพาะที่ขาดไม่ได้ของวิธีนั้น ๆ เช่น วิธีสอนโดยใช้การบรรยาย องค์ประกอบสำคัญของการบรรยายคือ เนื้อหาสาระที่จะบรรยาย และขั้นตอนสำคัญคือการเตรียมเนื้อหาสาระ การบรรยาย (พูด บอก เล่า อธิบาย) และการประเมินผลการเรียนรู้ของผู้เรียนที่เกิดจากการบรรยาย ดังนั้นวิธีสอนโดยใช้การบรรยายก็คือกระบวนการหรือขั้นตอนที่ผู้สอนใช้ในการช่วยให้ผู้เรียนเกิดการเรียนรู้ตามวัตถุประสงค์ที่กำหนด โดยการเตรียมเนื้อหาสาระที่จะบรรยายแล้วบรรยายคือ พูด บอก เล่า อธิบาย เนื้อหาสาระหรือสิ่งที่ต้องการสอนแก่ผู้เรียนและประเมินผลการเรียนรู้ของผู้เรียนด้วยวิธีใดวิธีหนึ่ง

14. เทคนิคการสอน
คือกลวิธีต่าง ๆ ที่ใช้เสริมกระบวนการ ขั้นตอน วิธีการ หรือการกระทำใด ๆ เพื่อช่วยให้กระบวนการ ขั้นตอน วิธีการหรือการกระทำนั้น ๆ มีคุณภาพและประสิทธิภาพมากขึ้น ดังนั้น เทคนิคการสอนจึงหมายถึงกลวิธีต่าง ๆ ที่ใช้เสริมกระบวนการสอน ขั้นตอนการสอน วิธีการสอน หรือการดำเนินการทางการสอนใด ๆ เพื่อช่วยให้การสอนมีคุณภาพและประสิทธิภาพมากขึ้น เช่น ในการบรรยาย ผู้สอนอาจใช้เทคนิคต่าง ๆ ที่สามารถช่วยให้การบรรยายมีคุณภาพและประสิทธิภาพมากขึ้น เช่น การยกตัวอย่าง การใช้สื่อ การใช้คำถาม เป็นต้น

15. ทักษะการสอน
คือ ความสามารถในการปฏิบัติการสอนด้านต่าง ๆ อย่างชำนาญซึ่งครอบคลุมการวางแผนการเรียนการสอน การออกแบบการเรียนการสอน การจัดการเรียนการสอน การใช้วิธีสอน เทคนิคการสอน รูปแบบการเรียนการสอน ระบบการสอน สื่อการสอน การประเมินผลการเรียนการสอน รวมทั้งการใช้ทฤษฎีและหลักการเรียนรู้และการสอนต่าง ๆ

16. นวัตกรรมการสอน
คือสิ่งใหม่ที่ทำขึ้น ซึ่งอาจอยู่ในรูปของความคิดหรือการกระทำ หรือสิ่งประดิษฐ์ต่าง ๆ ดังนั้นนวัตกรรมการสอนจึงหมายถึง แนวคิด วิธีการ หรือสิ่งประดิษฐ์ใหม่ ๆ ที่สามารถนำมาใช้ในการจัดการเรียนการสอนซึ่งอาจเป็นสิ่งใหม่ทั้งหมดหรือใหม่เพียงบางส่วนหรืออาจเป็สิ่งใหม่ในบริบทหนึ่งหรือในช่วงเวลาหนึ่ง หรืออาจเป็นสิ่งใหไม่ที่กำลังอยู่ในกระบวนการพิสูจน์ทดสอบ หรือได้รับการยอมรับนำไปใช้แล้ว แต่ยังไม่แพร่หลายหรือเป็นส่วนหนึ่งของระบบงานปกติ

17. การวิจัยด้านการเรียนการสอน
คือ การศึกษาหาคำตอบให้แก่ปัญหา หรือ คำถามต่าง ๆ เกี่ยวกับการเรียนการสอน ด้วยกระบวนการทางวิทยาศาสตร์ เพื่อให้ได้คำตอบที่น่าเชื่อถือ ตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับองค์ประกอบสำคัญของการเรียนการสอน ครอบคลุมตัวแปรเกี่ยวกับผู้เรียน ผู้สอน บริบทของการเรียนการสอน กระบวนการเรียนการสอน และผลผลิตของการเรียนการสอน



ศัพท์เทคนิค หรือศัพท์ทางวิชาการที่ใช้ในวงการศึกษานั้นมีจำนวนมาก เนื่องจาก นักคิด นักการศึกษา หรือนักจิตวิทยาแต่ละคนก็พยายามกำหนดศัพท์ใหม่ ๆ ขึ้นใช้อธิบายความคิด ความเข้าใจของตน แม้บางครั้งความหมายอาจไม่แตกต่างไปจากศัพท์เดิมที่ใช้กันอยู่ ดังนั้นผู้อ่านหรือผู้ศึกษาศาสตร์ทางการศึกษาหรือการสอน ซึ่งควรอ่านอย่างวิเคราะห์ให้เข้าใจความหมายของศัพท์ที่ใช้เพื่อจะได้ไม่เกิดความสับสนในการสือ่ความหมายกับผู้อื่น เพราะบางครั้งศัพท์ที่แตกต่างกันอาจใช้ในความหมายเดียวกันได้ หรือในทำนองเดียวกันความหมายใดความหมายหนึ่งอาจมีผู้เรียกชื่อต่างกันก็ได้
แนวคิดต่าง ๆ เกี่ยวกับการสอนต่าง ๆ นั้นมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ปรัชญาการศึกษาช่วยชี้ทิศทางในการจัดการศึกษาและก่อให้เกิดทฤษฎีการเรียนรู้ต่าง ๆ ที่ช่วยอธิบายธรรมชาติหรือลักษณะของการเรียนรู้ที่ดี ความก้าวหน้าทางวิทยาการและเทคโนโลยีที่เกิดขึ้นมาตามลำดับจากอดีตจนถึงปัจจุบันช่วยให้เกิดทฤษฎี หลักการ และแนวคิดเกี่ยวกับการเรียนรู้ที่หลากหลายซึ่งสามารถอธิบายให้เข้าใจถึงธรรมชาติและลักษณะของกระบวนการเรียนรู้ที่ดีในแง่มุมต่าง ๆ กัน ทฤษฎี หลักการ และแนวคิดเกี่ยวกับการสอนทั้งของต่างประเทศและประเทศไทยที่สั่งสมมาแต่อดีตจนถึงปัจจุบันได้ให้แนวทางที่หลากหลายในการจัดการศึกษาและการเรียนการสอน ครูสามารถเลือกทฤษฎี หลักการและแนวคิดต่าง ๆ มาใช้เป็นแนวทางในการจัดการศึกษาและการเรียนการสอนตามที่ตนเห็นว่าเหมาะสมโดยคึงนึงถึงบริบททางการสอนซึ่งมีความสัมพันธ์โยงใยส่งผลต่อการเรียนการสอน
ครูอาจใช้ระบบการสอน หรือรูปแบบการเรียนการสอนที่มีผู้ได้พัฒนามาจากทฤษฎี หลักการ หรือแนวคิดเกี่ยวกับการเรียนรู้และการสอนต่าง ๆ หรืออาจพัฒนาระบบและรูปแบบการเรียนการสอนขึ้นใช้ตามความเหมาะสมก็ได้ รูปแบบการเรียนการสอนโดยทั่วไป ประกอบด้วยขั้นตอน หรือกระบวนการที่จะนำไปสู่วัตถุประสงค์เฉพาะของรูปแบบนั้น ซึ่งในการดำเนินการตามขั้นตอนต่าง ๆ จำเป็นต้องอาศัยวิธีสอนและเทคนิคการสอนต่าง ๆ เข้ามาช่วยให้การดำเนินการตามกระบวนการสอนเป็นไปอย่างมีคุณภาพและประสิทธิภาพสูงสุด นอกจากนั้นผู้สอนยังสามารถเลือกนวัตกรรมทางการเรียนการสอนต่าง ๆ รวมทั้งนำผลงานวิจัยทางด้านการเรียนการสอนมาใช้ประโยชน์ในการจัดการเรียนการสอนได้



อ้างอิง :
ทิศนา แขมมณี. ศาสตร์การสอนองค์ความรู้เพื่อการจัดกระบวนการเรียนรู้ที่มีประสิทธิภาพ. กรุงเทพฯ:สำนักพิมพ์แห่งจุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย, 2547.


หมายเหตุ ขอเพิ่มเติมความหมายของคำศัพท์ เกี่ยวกับการเรียนการสอนที่อาจมีหลายคนยังสับสน

1. วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรม :

หมายถึง วัตถุประสงค์ของการสอนที่กำหนดเป็นพฤติกรรมที่สังเกตได้ชัดเจนว่า นักเรียนต้องแสดงพฤติกรรมอะไรได้บ้าง จึงจะถือว่านักเรียนเกิดการเรียนรู้ เช่น สอนการบวกเลขระดับประถมศึกษา ครูอาจกำหนดวัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรมว่า เมื่อจบบทเรียนแล้วนักเรียนต้องทำแบบฝึกหัดการบวกเลขได้ถูกต้อง 5 ข้อ เป็นต้น

วัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรมที่สมบูรณ์ประกอบด้วย 3 ส่วน ได้แก่
1. พฤติกรรมที่ชัดเจนหรือพฤติกรรมที่คาดหวังว่านักเรียนต้องทำได้ เมื่อนักเรียนเกิดการเรียนรู้ (พฤติกรรมที่สังเกตได้ชัดเจน) ส่วนใหญ่มักกำหนดเป็นคำกริยา
2. สถานการณ์หรือเงื่อนไขในการแสดงพฤติกรรม หมายถึงพฤติกรรมที่กำหนดไว้นั้น จะแสดงออกในสถานการณ์หรือเงื่อนไขใด
3. เกณฑ์ในการตัดสินหรือยอมรับว่าพฤติกรรมนั้นว่าถึงระดับเกิดการเรียนรู้แล้ว
ตัวอย่าง ของวัตถุประสงค์เชิงพฤติกรรมได้แก่
- นักเรียนชี้ตำแหน่งของเทือกเขาที่สำคัญในแผนที่ประเทศไทยได้ถูกต้อง 5 เทือกเขา
- นักเรียนตอบข้อสอบปรนัยมีตัวเลือกเรื่องสสารได้ถูกต้องอย่างน้อย 60 ข้อ จากข้อสอบทั้งหมด 100 ข้อ
- นักเรียนแต่งโคลงสี่สุภาพจากหัวข้อที่กำหนดให้ได้ถูกต้องในเวลา 10 นาที
ชี้ ตอบ และ แต่ง คือพฤติกรรมที่สังเกตได้ชัดเจน แผนที่ประเทศไทย ข้อสอบปรนัยแบบมีตัวเลือกเรื่องสสาร และ หัวข้อที่กำหนด คือสถานการณ์ หรือเงื่อนไขที่กำหนดให้แสดงพฤติกรรม 5 เทือกเขา 60 ข้อ จาก 100 ข้อ และ 10 นาที คือเกณฑ์การตัดสินพฤติกรรมว่าเกิดการเรียนรู้แล้ว

2. ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง เป็นข้อกำหนดเกี่ยวกับคุณภาพที่ต้องการให้เกิดขึ้นแก่นักเรียน หลังจากผ่านกระบวนการเรียนรู้ในสาระการเรียนรู้แต่ละปีหรือแต่ละภาคซึ่งเรานิยมเขียนแสดงไว้ในคำอธิบายรายวิชา เวลาเขียนต้องให้ครอบคลุมทั้ง 3 ด้าน คือ มีคำกริยาที่แสดงสมรรถนะความรู้ (K-Knowledge) แสดงความสามารถที่เป็นทักษะกระบวนการ (P-Process) และแสดงคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม (A-Attitude) อย่าง เช่น
1. อ่าน คำที่มีอักษรนำ อักษรควบ คำที่มีตัวการันต์ และการผันวรรณยุกต์ได้ถูกต้อง อ่านได้ชัดเจน จำคำได้แม่นยำและเข้าใจหลักการอ่าน นำไปสู่การเขียนคำได้ถูกต้อง
2. เขียนอย่างมีมารยาทโดยใช้ภาษาที่สุภาพรับผิดชอบต่อการเขียน และใช้แหล่งอ้างอิง และมีนิสัยรักการเขียน
จะ เห็นว่าข้อ 1 มีทั้ง K และ P ส่วน ข้อ 2 แสดง A ซึ่งในขณะเดียวกันก็มี K และ P ซ่อนอยู่ด้วย

3. จุดประสงค์การเรียนรู้ คำนี้กำหนดไว้เพื่อเป็นขอบเขตในการจัดกระบวนการเรียนรู้ตามแผนการจัดการ เรียนรู้นั้น ๆ และมุ่งให้เกิดผลในแต่ละรายการที่ระบุ การเขียนจุดประสงค์การเรียนรู้ควรแสดงให้เห็นถึงเป้าหมายของการเรียนรู้ที่ เป็นภาระงานและพฤติกรรมที่ผู้เรียนพึงแสดงออกในระดับต่าง ๆ ที่สำคัญนั้นจุดประสงค์การเรียนรู้ต้องสอดคล้องกับผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ที่กำหนดไว้ ซึ่งจะครอบคลุมทั้งด้านความรู้ (K-Knowledge) ทักษะ/กระบวนการ((P-Process) และคุณธรรม จริยธรรม ค่านิยม (A-Attitude) ด้วยเช่นกัน เพื่อให้เห็นความสอดคล้องกันกับผลการเรียนรู้ที่คาดหวังที่ระบุไว้ข้างต้น ตัวอย่างจุดประสงค์การเรียนรู้
1. อ่านสะกดคำ อ่านคำ ผันอักษรจากนิทานที่อ่าน และเข้าใจความหมาย
2. อ่าน เขียนคำ สำนวนโวหารจากเรื่องที่อ่านได้ถูกต้อง
3. นำคำมาแต่งประโยค เรียบเรียงประโยค ข้อความ ใช้สื่อความหมายได้ตรงตามจุดประสงค์และหลักเกณฑ์การเขียน
4. ใช้ห้องสมุดเพื่อค้นคว้าในการอ่านและเขียน มีนิสัยรักการอ่านและเขียน มีมารยาทในการใช้ห้องสมุด



ด้วยความปราถนาดี
ครูพี/

เศษส่วนย่อยที่คล้อยตามเศษส่วน

ในหลาย ๆ สถานการณ์ของโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเศษส่วนที่ผู้แก้โจทย์จำเป็นต้องกระจายเศษส่วนให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อยของมันจึงจะสามารถมองเห็นโครงสร้างซึ่งเป็นรูปแบบที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ตามที่ต้องการได้ ตัวอย่างเช่นโจทย์เกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมซึ่งแต่ละเทอมอยู่ในรูปเศษส่วน ถ้าไม่แปลงให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อยแล้วก็ไม่มีทางที่จะกำหนดผลบวกย่อยของอนุกรมนั้นได้เลย
ดังนั้นวันนี้ครูพีจึงขอนำเรื่องราวเหล่านี้มาเล่าสูกันฟังหวังว่าคงเป็นประโยชน์แก่ผู้สนใจคามสมควร

การกระจายเศษส่วนเป็นเศษส่วนย่อย
สูตร
กำหนด m และ x เป็นจำนวนเต็มบวก
m / x(x + m) = 1/x - 1/(x + m)
[ เนื่องจาก (x + m) - x = m ]

การพิจารณาที่มาของสูตรอาจพิจารณาจากกรณีตัวอย่างดังต่อไปนี้

1 / (3 x 4) = 1/3 - 1/4

4 / ( 5 x 9 ) = 1/5 - 1/9

6 / (6 x 12) = 1/6 - 1/12

จึงสรุปเป็นสูตรได้ว่า
เศษส่วนใดที่ผลต่างของตัวประกอบของส่วนเท่ากับเศษ จะสามรถกระจายเศษส่วนนั้นเป็นเศษส่วนย่อยได้ทันที กล่าวคือ

m / x(x + m) = 1/x - 1/(x + m)
[ เนื่องจาก (x + m) - x = a ]

ตัวอย่างโจทย์
ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกของ 1/(1x2) + 2/(2x4) + 3/(4x7) + 4/(7x11)
วิธีทำ ให้ s = 1/(1x2) + 2/(2x4) + 3/(4x7) + 4/(7x11)
เนื่องจาก ผลต่างของตัวประกอบของส่วนของแต่ละเทอมต่างก็เท่ากับ 1 ตรงกับเศษพอดี ดังนั้นจะสามารถแยกเศษส่วนในแต่ละเทอมเป็นเศษส่วนย่อยได้ทันที ดังนี้
s = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/4) + (1/4 - 1/7) + (1/7 - 1/11)
= (1/1 - 1/11) = 10/11 #

ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของ 1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)
วิธีทำ ผลต่างของตัวประกอบของส่วนเป็น 2 ทุกจำนวน ดังนั้นต้องทำตัวเศษของแต่ละเทอมเป็น 2
ให้ s = 1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)
= (2/2) [1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)]
= (1/2) [2/(1x3) + 2/(3x5) + 2/(5x7) + 2/(7x9) + 2/(9x11)]
= (1/2) [ (1/1 - 1/3) + ( 1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + (1/7 - 1/9) + (1/9 - 1/11) ]
= (1/2) [ 1/1 - 1/11]
= 5/11 #

ตัวอย่าง 3 จงหาค่าของ 1/(a)(a+1) + 2/(a + 1)(a + 3) + 3/(a + 3)(a + 6) + 4/(a + 6)(a + 10)
วิธีทำ ให้ s = 1/(a)(a+1) + 2/(a + 1)(a + 3) + 3/(a + 3)(a + 6) + 4/(a + 6)(a + 10)
= [(1/a) - 1/(a+1)] + [1/(a+1) - 1/(a+3)] + [1/(a+3) - 1/(a+6)] + [1/(a+6) - 1/(a+10)]
= 1/a - 1/(a+10)
= 10 / a(a+10) #

ตัวอย่าง 4 จงหาค่าของ 1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/(13x14x15)
วิธีทำ ให้ s = 1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/(13x14x15) ..........(1)
ผลต่างระหว่างพจน์หลังสุดและพจน์แรกของตัวส่วนของทุกเศษส่วนเท่ากันหมดคือ 3-1 = 2, 4 - 2 = 2, 5 - 3 = 2, ... ,15 - 13 = 2
2x(1) จะได้ 2s = 2/(1x2x3) + 2/(2x3x4) + 2/(3x4x5) + ... + 2/(13x14x15)
= [1/(1x2) - 1/(2x3)] + [1/(2x3) - 1/(3x4) ] + [1/(3x4) - 1/(4x5)] + ... + [1/(13x14) - 1/(14x15) ]
= 1/(1x2) - 1/(14x15)
= (105 - 1) / 210
= 104 / 210
= 52/105

ดังนั้น s = 26/105 #

ตัวอย่าง 5 จงหาค่าของ
1/[x(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)(x+3)] + ... + 1/[(x+2)(x+3)(x+4) + 1/[(x+3)(x+4)(x+5)
วิธีทำ ให้ s = 1/[x(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)(x+3)] + 1/[(x+2)(x+3)(x+4) ] + 1/[(x+3)(x+4)(x+5)]
2s = 2/[x(x+1)(x+2)] + 2/[(x+1)(x+2)(x+3)] + 2/[(x+2)(x+3)(x+4) ] + 2/[(x+3)(x+4)(x+5)]
= 1/[x(x+1)] - 1/[(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)] - 1/[(x+2)(x+3)] + ... + 1/[(x+3)(x+4)] - 1/[(x+4)(x+5)]
= 1/[x(x+1)] - 1/[(x+4)(x+5)]
= ( 8x + 20 ) / [x(x+1)(x+4)(x+5)]
= 4(2x + 5) / [x(x+1)(x+4)(x+5)]

s = 2(2x + 5) / [x(x+1)(x+4)(x+5)] #


เอวังก็มีด้วยประการฉะนี้

ด้วยความปราถนาดี
ครูพี

"เอื้อเฟื้อเผื่อแผ่ รู้จักเพียงพอ"
ในขณะที่ใช้เส้นทางอันคับแคบอยู่นั้น ต้องรู้จักเผื่อแผ่ทางเดินให้ผู้อื่นใช้ด้วย ในยามที่ได้ลิ้มรสชาติอันเอร็ดอร่อยอยู่นั้น ต้องรู้จักแบ่งปันให้ผู้อื่นได้ลิ้มชิมบ้างเช่นนี้จึงจักเป็นวิธีการหาความสุขจากการใช้ชีวิตที่ดีที่สุด

จาก ... คัมภีร์รากผัก

เกร็ดคำทำนาย
กลั่นธรรม

THE BEST PROBLEMS

การเรียนคณิตศาสตร์ที่ดียิ่งวิธีหนึ่งคือการเรียนรู้จากโจทย์ที่ดี มีการวางเงื่อนไขที่ต้องใช้หลักการอย่างมีศิลปะและเทคนิควิธีที่ถูกต้องเหมาะสมกับบริบทของโจทย์ มีลักษณะท้าทายไม่ง่ายอย่างชั่วพลิกฝ่ามือหรือแสนเข็ญสุดจะหยั่งคาด เมื่อได้ทำและทำได้ก็ให้ความรู้สึกที่ดีแก่ผู้ทำ กระตุ้นสารโดพามีนในสมองหลั่ง หวังที่จะทำซ้ำ ๆ อย่างจดจ่อ อ้อนี่ละหนาที่เขาว่า สุขใดฤาจะสุขเท่ากับพลังอำนาจแห่งความเข้าใจหรือปัญญา แต่ไม่ง่ายนาจะบอกให้ในการแสวงหาโจทย์ดี ๆ ดังที่ครูพี เลือกสรรกลั่นกรองนำมาฝาก ลองทำดูก่อนนะครับ
ก่อนดูเฉลย ถ้าผู้สอนไม่กระตุ้นให้โดพามีนในตนหลั่งได้ก่อนแล้วอย่าคิดหวังจะให้ลูกศิษย์ทำได้ .... เริ่มเลยนะครับ แล้วงานนี้ไม่จบง่าย ๆ ครูพีก็ update เพิ่มเติมไปเรื่อย ๆ ไม่รู้ google จะรำคาญตัดออกจากสารบบเมื่อไหร่ก็ไม่รู้นะครับ

ข้อ 1 แดงตื่นขึ้นมาในตอนเช้าของวันอังคาร เขาฉุกคิดสงสัยขึ้นมาว่า ถ้าในอีก 100 วัน ถัดไปมันจะตรงกับวันใด

ข้อ 2 พิลดามีแสตมป์ราคา 3 บาทอยู่ 4 ดวง และแสตมป์ราคา 5 บาทอยู่ 3 ดวง พิลดาจะสามารถใช้แสตมป์เหล่านี้ (อย่างน้อย 1 ดวง) มาประกอบกันให้มีมูลค่ารวมแตกต่างกันได้ทั้งหมดกี่วิธี

ข้อ 3 จงหาผลรวมของจำนวนนับ 25 ตัวแรก นั่นคือ S = 1 + 2 + 3 + ... + 25 แล้ว S จะมีค่าเท่าไร

ข้อ 4 ที่ร้านขายอุปกรณ์การเรียนแห่งหนึ่ง ปากกาทุกด้ามมีราคาเดียวกัน และดินสอทุกแท่งมีราคาเดียวกัน
ปากกา 3 ด้าม และดินสอ 2 แท่ง ราคารวมกัน 78 บาท แต่ ปากกา 2 ด้าม และดินสอ 3 แท่ง ราคารวมกัน 72 บาท
จงหาว่าดินสอราคาแท่งละกี่บาท

ข้อ 5 ชาวนา 3 คนเกี่ยวข้าวเสร็จในเวลา 3 สัปดาห์ กับ 2 วัน
ถ้าใช้ชาวนา 4 คน ทำงานอย่างเดียวกันโดยแต่ละคนทำงานในอัตราดียวกัน (สัปดาห์หนึ่งทำงาน 6 วัน) จะต้องใช้เวลานานเท่าใดจึงจะทำงานเสร็จ

ข้อ 6 สมบัติซื้อไก่มาตัวหนึ่งราคา 100 บาท ขายไปในราคา 150 บาท ซื้อกลับมาในราคา 200 บาท และขายไปอีกในราคา 250 บาท สมบัติได้กำไรหรือขาดทุนไปเท่าไร

ข้อ 7 เพรียวพันธ์มีเหรียญสตางค์ชนิดเหรียญละ 5 สตางค์ และ 25 สตางค์ รวมกัน 30 อัน และมีมูลค่ารวมกัน 4.10 บาท เพรียวพันธ์มีเหรียญชนิดละกี่อัน

ข้อ 8 ตัดบัตรรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดกว้าง 2 นิ้ว ยาว 3 นิ้ว ออกจากแผ่นกระดาษรูปสี่เหลี่ยมมุมฉากขนาดกว้าง 2 ฟุต และยาว 3 ฟุต สามารถตัดบัตรขนาดดังกล่าวได้อย่างมากที่สุดกี่แผ่น

ข้อ 9 ในการแข่งขันโบว์ลิ่ง 3 เกม สุวิจักขณ์ทำคะแนนได้ 139, 143 และ 144 คะแนน ในเกมที่ 4 สุวิจักขณ์จะต้องทำคะแนนให้ได้อีกเท่าไรจึงจะได้คะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 145 คะแนน

ข้อ 10 หนังสือเล่มหนึ่งหนา 500 หน้า พิมพ์เลขหน้าไว้เป็น 1, 2, 3,... มีเลขโดด 1 ปรากฏเป็นเลขหน้าของหนังสือเล่มนี้ทั้งหมดกี่ตัว


ข้อ 11 ลูกแก้วจำนวนหนึ่งสามารถแบ่งให้เท่ากันไม่ว่าจะเป็นการแบ่งให้เด็ก 2, 3, 4, 5 หรือ 6 คน
ลูกแก้วจำนวนนี้มีอย่างน้อยที่สุดกี่ลูก


ข้อ 12 วิมลเดินทางไปราชการเป็นระยะทาง 60 กิโลเมตรด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย 20 กิโลเมตรต่อชั่วโมง และเดินทางกลับด้วยอัตราเร็วเฉลี่ย 30 กิโลเมตรต่อชั่วโมง
วิมลเดินทางทั้งไปและกลับด้วยอัตราเร็วกี่กิโลเมตรต่อชั่วโมง


ข้อ 13 ตัวเลขสี่หลัก 3DD1 หารด้วย 9 ลงตัว
เลขโดด D คืออะไร


ข้อ 14 พิจารณาผลบวก
1/(1x2) + 1/(2x3) + 1/(3x4) + 1/(4x5) + 1/(5x6)
จงเขียนผลบวกดังกล่าวในรูปเศษส่วนอย่างต่ำ


ข้อ 15 ถ้านับเพิ่มทีละ 3 โดยเริ่มจาก 1 จะได้ลำดับตัวเลขเป็น 1, 4, 7, 10, ,...
จำนวนในอันดับที่ 100 คือจำนวนใด


ข้อ 16 ทุเรียนกวน 100 กิโลกรัม แบ่งใส่กล่อง กล่องละ 5/4 กิโลกรัม ราคาขายกล่องละ 52.50 บาท
เมื่อขายหมดทุกกล่องจะได้เงินกี่บาท


ข้อ 17 กำหนดให้ 1/3 = 1/M + 1/N เมื่อ M, N เป็นจำนวนเต็มหน่วยที่ต่างกัน (จำนวนเต็มหน่วยได้แก่ 0, 1, 2, 3, 4, ... )
จงหาค่าของ M และ N

ข้อ 18 ให้ A และ B แทนจำนวน และ A*B = (A + B) / 2
จงหาค่าของ 3 * (6 * 8)


ข้อ 19 2, 4, 6 และ 8 เป็นตัวอย่างของจำนวนคู่เรียงกันสี่จำนวน ถ้าจำนวนคู่ห้าจำนวนเรียงกันมีผลรวเป็น 320
จงหาจำนวนคู่ที่น้อยที่สุดในห้าจำนวนนี้


ข้อ 20 เอกรัฐตัดหญ้าได้ 600 ตารางหลาในเวลา หนึ่งชั่วโมงครึ่ง
ถ้าให้เอกรัฐตัดหญ้า 600 ตารางฟุต (ด้วยอัตราเร็วเท่าเดิม) จะต้องใช้เวลานานเท่าไร

ข้อ 21 จำนวนที่หาร 109 แล้วมีเศษเหลือเป็น 4 มีอยู่หลายจำนวน
จงเขียนจำนวนที่มีสองหลักทั้งหมดที่มีสมบัติดังกล่าว

ข้อ 22 พ่อค้าบรรจุลูกแก้วใส่กล่องสองขนาด กล่องเล็กบรรจุแก้วกล่องละ 5 ลูก กล่องใหญ่บรรจุลูกแก้วกล่องละ 12 ลูก
ถ้าพ่อค้าบรรจุลูกแก้ว 99 ลูกใส่กล่อง โดยใช้กล่องมากกว่า 10 ใบ อยากทราบว่าพ่อค้าบรรจุลูกแก้วใส่กล่องขนาดเล็กและขนาดใหญ่ชนิดละกี่กล่องโดยไม่มีเศษเหลือ

ข้อ 23 กำหนด a และ b เป็นจำนวนสองจำนวนที่แตกต่างกัน เลือกจากจำนวนนับ 50 จำนวนแรกอย่างไม่เจาะจง
จงหาค่ามากที่สุดของ (a + b) / (a - b)


ข้อ 24 นาฬิกาแขวนเรือนหนึ่งตีบอกเวลา 1 ที ในเวลา 1 นาฬิกา ตี 2 ทีในเวลา 2 นาฬิกา ตี 3 ทีในเวลา 3 นาฬิกา เป็นเช่นนี้เรื่อยไป
ในช่วงเวลา 12 ชั่วโมง นาฬิกาเรือนนี้ตีบอกเวลาทั้งหมดกี่ที

ข้อ 25 ตุ้มน้ำหนัก 5 อัน มีน้ำหนักเฉลี่ย 13 กรัม เพิ่มตุ้มน้ำหนักซึ่งหนัก 7 กรัมอีกหนึ่งอัน
จงหาน้ำหนักเฉลี่ยของตุ้มน้ำหนัก 6 อันนี้

ข้อ 26 เหรียญสตางค์กองหนึ่งประกอบด้วยเหรียญหนึ่งสตางค์ และเหรียญสิบสตางค์ อย่างละ 100 อัน ให้นักเรียนเลือกเหรียญ 21 อัน ให้มีมูลค่ารวมกันเป็น 1 บาท โดยต้องเลือกเหรียญแต่ละชนิดอย่างน้อย 1 อัน
นักเรียนต้องเลือกเหรียญแต่ละชนิด ชนิดละกี่อัน

ข้อ 27 นักเรียนกลุ่มหนึ่งมี 30 คน พูดภาษาจีนได้ 8 คน พูดภาาาลาวได้ 12 คน พูดได้ทั้งสองภาษา (จีนและลาว) 3 คน
มีนักเรียนกี่คนในกลุ่มนี้ที่พูดภาษา(จีนและลาว) 3 คน



(พักยก)


ด้วยความปราถนาดี
ครูพี/

"จิตโอบอ้อมอารี คุณความดียืนยาว"


คนเราควรมีจิตใจโอบอ้อมอารีต่อผู้อื่นไม่ทำให้เขารู้สึกไม่พึงพอใจ คุณงามความดีที่สั่งสมไว้ก่อนตายจะคงอยู่ยาวนานตลอดไป และสามารถทำให้คนที่ยังอยู่ระลึกถึงอย่างมีเสื่อมคลาย

ข้อคิดดี ๆ จากคัมภีร์รากผัก

กลั่นคำธรรมะ

เกร็ดโหร

มนตรา

ทฤษฎีเศษเหลือเหนือพหุนาม

ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารพหุนามที่เป็นตัวตั้งด้วยพหุนามที่เป็นตัวหารซึ่งมีดีกรีต่ำกว่านั้นนอกเหนือจากจะหาได้ด้วยวิธีการตั้งหารตามปกติแล้ว ถ้าในกรณีที่ตัวหารเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งแล้วเราสามารถจะหาเศษจากการหารได้ง่าย ๆ ด้วยการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือเข้ามาช่วย ซึ่งน่าจะทำให้ประหยัดเวลามากกว่าและมีโอกาสผิดพลาดจากการคำนวณน้อยกว่าวิธีการตั้งหารตรง ๆ นอกจากนี้แล้วยังสามารถประยุกต์หลักการเกี่ยวกับทฤษฎีเศษเหลือนั้นไปใช้ในการแก้โจทย์ปัญหาที่ซับซ้อนเกี่ยวกับการหารพหุนามได้อย่างมีประสิทธิภาพ
หลักการที่ควรรู้ ซึ่งผู้เรียนคณิตศาสตร์ควรจำและเข้าใจมีดังนี้

1. ให้ P(x) เป็นพหุนาม ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นจำนวนจริงซึ่งเป็นค่าคงตัว แล้ว เศษที่ได้จากการหารเท่ากับ P( c )

2. ถ้าหารพหุนาม P(x) ด้วยพหุนาม ax - b เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริง และ a ไม่เท่ากับ 0 แล้วเศษที่ได้จากการหารจะัเท่ากับ P(b/a)

3. x - c เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) ก็ต่อเมื่อ P(c) = 0

4. ax - b เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x0 ก็ต่อเมื่อ P(b/a) = 0


ตัวอย่าง 1. จงหาเศษจากการหาร x^3 - x^2 - 3x + 6 ด้วย x - 2
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 - x^2 - 3x + 6 แล้ว แทน x ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 2^3 - 2^2 - 3(2) + 6 = 4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น 4 #

ตัวอย่าง 2 จงหาเศษจากการหาร x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 ด้วย x + 3
วิธีทำ ให้ p(x) = x^3 + 4(x^2) + 5x + 2 แล้ว แทน x ด้วย -3 ลงใน P(x) จะได้ P(-3) = (-3)^3 +4((-3) ^2) +5(-3) + 2 = -4
แสดงว่า เศษจากการหารเป็น -4 #

ตัวอย่าง 3 (ข้อสอบ Entrance) กำหนด P(x) = x^5 + a(x^3) - x + b โดยที่ a, b เป็นจำนวนจริง ถ้า x - 1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 และ x + 1 หาร P(x) เหลือเศษ 1 แล้ว x หาร P(x) จะเหลือเศษเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. -1
2. 0
3. 1
4. 2

แนวคิด จาก P(x) = x^5 + a(x^3) - x + b
ถ้า x - 1 หาร P(x) เหลือเศษ -1 จะได้ P(1) = -1 และ
x + 1 หาร P(x) เหลือเศษ 1 จะได้ P(-1) = 1
จะกำหนดสมการได้เป็น
a + b = 1 ..........(1)
-a + b = -1 ..........(2)
แก้ระบบสมการจะได้ a = 0 และ b = -1
ดังนั้น P(x) = x^6 - x - 1
เมื่อหารด้วย x หรือ x-0 ก็แทน x ด้วย 0 ลงไปใน P(x) จะได้ P(0) = -1 ซึ่งเป็นเศษตามต้องการ #


ตัวอย่าง 4 (Entrance) กำหนดให้ x + 1 และ x - 1 เป็นตัวประกอบของพหุนาม P(x) = 3(x^2) + x^2 - ax + b เมื่อ a และ b เป็นค่าคงตัว เศษเหลือที่ได้จากการหาร P(x) ด้วย x - a - b เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 15
2. 17
3. 19
4. 21

แนวคิด ให้ P(x) = 3(x^3) + x^2 - ax + b
เนื่องจาก x + 1 เป็นตัวประกอบของ P(x) แสดงว่าเมื่อหาร P(x) ด้วย x + 1 เศษเป็น 0
และ x - 1 เป็นตัวประกอบของ P(x) แสดงว่าเมื่อหาร P(x) ด้วย x - 1 เศษเป็น 0
ดังนั้น P(-1) : 3[(-1)^3] + (-1)^2 - a(-1) + b = 0
a + b = 2 ..........(1)
และ P(1) : 3(1^3) + 1^2 -a(1) + b = 0
-a + b = -4 ..........(2)
แก้ระบบสมการ จะได้ a = 3, b = -1
ดังนั้น P(x) = 3(x^3) + x^2 - 3x -1
จะได้ x - a - b = x - 2
หาเศษโดยแทน x ด้วย 2 ลงใน P(x) จะได้ P(2) = 21 ซึ่งเป็นเศษตามต้องการ #


หวังว่าเกร็ดเล็ก ๆ นี้จะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่สนใจบ้างนะครับ


ด้วยความปราถนาดี
ครูพี/



"ใจสูงมาจากความเรียบง่าย
แต่สูญสลายเพราะความฟุ้งเฟ้อ"

คนที่สามารถทนกิน ทนดื่ม อาหารชั้นเลวได้ โดยมากเป็นผู้ที่เปี่ยมด้วยความคิดและจิตใจที่สูงส่ง ส่วนคนที่มุ่งแต่หาอาหารและเครื่องดื่มชั้นดี ก็ต้องยอมตนเป็นทาสรับใช้ผู้อื่นอย่างไม่เกรงอัปยศหมดศักดิ์ศรี ดังนั้น เราจึงสามารถมองดูอุดมคติอันสูงส่งของคนได้จากความไม่ใส่ใจในลาภสักการะ แต่ทว่าอุดมคติอันสูงส่งก็อาจสูญสลายไปได้เพราะอาหารและเครื่องประดับชั้นดี


คมความคิดดี ดี จากคัมภีร์รากผัก

ลิงค์ เกร็ดพยากรณ์
link คาถา/มนตรา
Approach to กลั่นคำธรรมะ

คำนวณง่าย ๆ ในช่วง

ในเนื้อหาของระบบจำนวนจริง สิ่งที่สำคัญอย่างยิ่ง topic หนึ่ง คือเรื่องราวเกี่ยวกับช่วง (class interval) อันเป็นเซตย่อยของจำนวนจริงซึ่งมีทั้งช่วงเปิด(open interval) และช่วงปิด(close interval) ผู้เรียนต้องเข้าใจใน concept และจดจำข้อตกลงในการใช้สัญลักษณ์ให้ชัดเจนเพราะมิฉะนั้นจะเป็นอุปสรรคอย่างยิ่งในการสื่อความหมาย และไม่อาจใช้ช่วงแทนเซตคำตอบ(solution set) ของอสมการในบริบทของโจทย์ที่เผชิญอยู่ได้อย่างเหมาะสม และกระชับรัดกุม ซึ่งการเขียนเซตคำตอบในรูปช่วงนั้นจะดีกว่าการเขียนเซตคำตอบตามธรรมดาทั่วไป

ตามประเด็นของเรื่องที่ตั้งนั้นจะว่ากันถึงวิธีการในการวิเคราะห์ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของผลบวก ลบ คูณ และ หารของจำนวนจริงสองจำนวนโดยที่แต่ละจำนวนนั้นเลือกมาจากแต่ละช่วงที่กำหนดให้ ไม่ง่ายนาจะบอกให้ จะตายกันในห้องสอบเอาได้นาถ้าประมาท

จะยกกรณีศึกษาขึ้นมาพิจารณากันดังนี้

กำหนด A = [1, 8] และ B = [-1, 2] ข้อต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด

1. { x | x = a + b เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [0, 10]
2. { x | x = a - b เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [2, 6]
3. { x | x = ab เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [-8, 16]
4. { x | x = b/a เมื่อ a และ b เป็นสมาชิกจากเซต A และ B ตามลำดับ }
= [-1/8 , 2]

หลักคิด
ให้ใช้จุดปลายเป็นตัวแทนของสมาชิกในแต่ละช่วง แต่ถ้าในช่วงใดมี 0 เป็นสมาชิกอยู่ด้วย ต้องนำ 0 มาประกอบการพิจารณาด้วย
ในที่นี้ ในเซต A กำหนดสมาชิกที่เป็นตัวแทน a ได้เป็น a = 1 และ a = 8
ในเซต B กำหนดสมาชิก b ที่เป็นตัวแทนได้เป็น b = -1, 0 และ 2 จะได้

กรณี a + b
a = 1, b = -1 จะได้ a + b = 0* ........... ค่าต่ำสุด
a = 1, b = 0 จะได้ a + b = 1
a = 1, b = 2 จะได้ a + b = 3

a = 8, b = -1 จะได้ a + b = 7
a = 8, b = 0 จะได้ a + b = 8
a = 8, b = 2 จะได้ a + b = 10** .......... ค่าสูงสุด

ดังนั้น a + b อยู่ในช่วง [0, 10] แสดงว่า ข้อ 1 เป็นจริง


กรณี a - b
a = 1, b = -1 จะได้ a - b = 2
a = 1, b = 0 จะได้ a - b = 1
a = 1, b = 2 จะได้ a - b = -1 * .......... ค่าต่ำสุด

a = 8, b = -1 จะได้ a - b = 9** ..........ค่าสูงสุด
a = 8, b = 0 จะได้ a - b = 8
a = 8, b = 2 จะได้ a - b = 6

ดังนั้น a - b อยู่ในช่วง [-1, 9] แสดงว่า ข้อ 2 เป็น เท็จ


กรณี ab
a = 1, b = -1 จะได้ ab = -1
a = 1, b = 0 จะได้ ab = 0
a = 1, b = 2 จะได้ ab = 2

a = 8, b = -1 จะได้ ab = -8* .......... ค่าต่ำสุด
a = 8, b = 0 จะได้ ab = 0
a = 8, b = 2 จะได้ ab = 16 .......... ค่าสูงสุด

ดังนั้น ab อยู่ในช่วง [-8, 16] แสดงว่า ข้อ 3 เป็นจริง


กรณี b/a
a = 1, b = -1 จะได้ b/a = -1* ........... ค่าต่ำสุด
a = 1, b = 0 จะได้ b/a = 0
a = 1, b = 2 จะได้ b/a = 2** .......... ค่าสูงสุด

a = 8, b = -1 จะได้ b/a = -1/8
a = 8, b = 0 จะได้ b/a = 0
a = 8, b = 2 จะได้ b/a = 1/4

ดังนั้น b/a อยู่ในช่วง [-1, 2] แสดงว่า ข้อ 4 เป็นเท็จ


หวังว่า เกร็ดเล็ก ๆ ที่นำมาฝากนี้คงเป็นประโยชน์แก่ผู้อ่านอยู่บ้างนะครับ

ด้วยความปราถนาดี
ครูพี


"เมื่อสมหวังต้องรู้พอ
เมื่อผิดหวังต้องไม่ท้อ"

ในยามประสบโชคดีมีชื่อเสียงนั้นบ่อยครั้งจะนำโชคร้ายตามมาด้วย ดังนั้นเมื่อได้รับความสุขสมหวังแล้วต้องรู้จักความเพียงพอด้วย
ส่วนในยามที่ต้องประสบกับอุปสรรคหรือความพ่ายแพ้ บางทีมันกลับนำมาซึ่งสิ่งที่เป็นประโยชน์ต่อการได้รับความสำเร็จก็เป็นได้ ดังนั้นในขณะที่ต้องประสบกับความผิดหวังก็มิควรเลิกล้มความพยายามเสียง่าย ๆ


....จากคัมภีร์รากผัก

Blog ฟรี ๆ ดี ๆจากครูพี
เกร็ดพยากรณ์
คำศักดิ์สิทธิ
จิตหนึ่ง
ภูมิปัญญาลาว

พลิกสถานการณ์แล้วผ่านตลอด

วันนี้ครูพีของหยิบปัญหาค่าของฟังก์ชันที่อาจพากันสับสนได้ เพราะมันอาจไม่ง่ายอย่างที่คิด เราคงคุ้นชินจากตัวอย่าง หรือโจทย์ปัญหาในลักษณะ เช่น กำหนด f(x) = 5x - 3 จงหาค่าของ f(7x) , f(-2) ซึ่งง่ายมาก เพียงเราแทน x ด้วย 7x หรือ -2 ลงไปในสูตรหรือเงื่อนไขของฟังก์ชันก็หาคำตอบได้โดยพลันดังนี้
จาก f(x) = 5x - 3 จะได้ f(7x) = 5(7x) - 3 = 35x - 3
และ f(-2) = 5(-2) - 3 = -13 หมู ๆ ง่ายมากใช่ไหมล่ะ ?

เอาใหม่นะครับ สมมุติโจทย์กำหนด f(2x + 4) = 3x - 7 แล้ว ให้หา f(x) และ f(0) จะมีเทคนิควิธีในการคำนวณค่าได้อย่างไร บางคนอาจจะงงแล้วใช่ไหมล่ะ เอจะเอาไงดีเล่นบอกสูตรฟังก์ชันมาเป็นพวงอย่างนี้ ใจเย็น ๆ ทุกปัญหามีทางออกเสมอ

พิจารณา จากสูตร f(2x + 4) = 3x - 7 เรากำหนดตัวแปร A มารองรับ 2x + 4 นั่นคือ A = 2X + 4 แล้วแก้สมการโดยเขียน x ในรูป A จะได้ x = (A - 4)/2 จะได้ f(A) = 3[(A-4)/2] - 7 = (3A-12-14)/2 = (3A-26)/2 = (3/2)A - 13
นั่นคือ กำหนดสูตรหลักเป็น f(A) = (3/2)A - 13 จะได้ f(x) = (3/2)x -13 และ f(0) = (3/2)(0) - 13 = -13

หลักนี้สามารถนำไปประยุกต์หา function inverse ได้
ตัวอย่าง เช่น โจทย์กำหนด f(2x-3) = 4x+2 จงหา ฟังก์ชัน inverse ของ f ณ x
ในที่นี้ทำได้ 2 วิธี ดังนี้

วิธีที่ 1 หา f(x) ออกมาก่อน ดังนี้
ให้ A = 2x - 3 จะได้ x = (A+3)/2 ดังนั้น f(A) = 4[(A+3)/2] + 2 = 2A + 8
นั่นคือได้สูตรหลักเป็น f(A) = 2A + 8
จะได้ f(x) = 2x + 8 ให้ y = f(x)
y = 2x + 8
หา inverse โดยการสลับ x และ y จะได้ x = 2y + 8 จากนั้นแก้สมการโดยเขียน y ในรูป x จะได้ y = (x-8)/2 = x/2 - 4

นั่นคือฟังก์ชัน inverse ของ f ณ x เป็น x/2 - 4 นั่นเอง


วิธีที่ 2 จาก f(2x - 3) = 4x + 2 จะได้ ฟังก์ชัน inverse ณ 4x + 2 เท่ากับ
2x - 3
สมมุติให้ A = 4x + 2 จะได้ x = (A-2)/4 ดังนั้น จะได้ฟังก์ชัน inverse ณ A เป็น 2[(A-2)/4] - 3 = (A-8)/2 = A/2 - 4
นั่นคือฟังก์ชัน inverse ของ f ณ x เป็น x/2 - 4 นั่นเอง


ด้วยความปราถนาดี
ครู พี/

"นั่งสมาธิดูใจ ปรากฏทั้งความว่างและความฟุ้งซ่าน"

การนั่งสมาธิอยู่เพียงลำพังยามดึกสงัดเพื่อดูความเคลื่อนไหวส่วนลึกในใจนั้น ตอนแรกจะรู้สึกว่าความคิดฟังซ่านต่าง ๆ หายไป คล้ายว่าจิตเดิมแท้ปรากฏขึ้น และนำมาซึ่งความเข้าใจในสัจธรรมแห่งชีวิต แต่แล้วก็ต้องพบว่าจิตเดิมแท้นั้นเพียงแต่ปรากฏตัวออกมาชั่วขณะเท่านั้น ความคิดฟุ้งซ่านยังคงไม่สามารถถูกขจัดออกไปได้ คิดถึงตอนนี้แล้วให้รู้สึกละอายอย่างยิ่ง

....จาก คัมภีร์รากผัก

เชื่อมโยงสู่ง blog กรองธรรม


link บล็อก มนตรา


link บล็อก เกร็ดโหร







ครูพี/