จิตวิทยาการสอนคณิตศาสตร์

นานทีเดียวที่ครูพีไม่ได้เข้ามา update ข้อมูลใหม่ ๆ แก่เพื่อนพ้องน้องพี่ที่ใจดีสละเวลาอันทรงคุณค่าเข้ามาเยี่ยมเยียนคูหาเล็ก ๆ แห่งนี้ต้องขออภัยหลายเด้อ

วันนี้ก็ขอนำเรื่องราวเกี่ยวกับ "จิตวิทยาการสอนคณิต ฯ " มาเล่าสู่กันฟัง ถึงแม้นจะเป็นเรื่องเก่าแต่ก็ยังคงขลังด้วยข้อเท็จจริงที่ผ่านการวิจัยและคัดสรรกลั่นกรองมาแฃ้วอย่างเหมาะสม ครูคณิตเราหลายท่านอาจจะไม่ค่อยจะตระหนักรู้ถึงมันสักเท่าไหร่ทั้ง ๆ ที่สิ่งเหล่านี้เป็นเครื่องมือสำคัญยิ่งอย่างหนึ่งของครูคณิตมืออาชีพที่ต้องสำเหนียกเพื่อการนำมาประยุกต์ใช้ให้เกิดประสิทธิภาพสูงสุดในกระบวนการเรียนการสอนคณิตศาสตร์

ทฤษฎีการสอนต่าง ๆ ตลอดทั้งแม่บทการเรียนรู้ทั้งหมดย่อมต้องใช้จิตวิทยาเป็นพื้นฐาน นั่นคือจิตวิทยาที่ว่าด้วยการพัฒนาการของเด็ก เพื่อครูผู้สอนจะได้ใช้ดุลยพินิจว่าจะสอนเนื้อหาสาระอะไรให้เด็กได้บ้างในช่วงแต่ละวัย เด็กที่มีความสามารถ ความถนัด และความสนใจที่หลากหลายและแตกต่างกันก็ต้องใช้วิธีสอนและเทคนิคการสอนที่แตกต่างกัน ในแต่ละวัยของเด็กมีผู้ต้นคว้าและศึกษาวิจัยไว้ว่าจะเรียนรู้เรื่องอะไรบ้าง มากน้อยเพียงใด ถ้าสอนในสิ่งที่ไม่เหมาะสมกับพัฒนาการของเขาแล้วก็เป็นการสูญเปล่าผู้เรียนอาจท่องความรู้ได้แบบนกแก้ว นกขุนทอง แต่หาได้เข้าใจหรือรู้ความหมายของสิ่งที่ตนท่องได้ไม่ หรือได้ก็ไม่ทั่วถึง ไม่ชัดเจน ซึ่งเรียกว่า rote learning หรือ memorization อันเป็นแนวคิดที่มักเชื่อกันว่าจะก่อให้เกิดการเรียนรู้ขึ้นได้ซึ่งเป็นความคิดที่ไม่ถูกต้องนัก
Jean Piaget นักจิตวิทยาชาวสวิตเซอร์แลนด์ได้นำเสนอทฤษฎีอันมีรากฐานมาจากการศึกษาโครงสร้างของความรู้มากกว่าหน้าที่ของมัน Piagetสนใจศึกษาในแง่ที่ว่า 'how the mind works rather than what it does' ซึ่งพบว่าการเจริญของสมอง และสติปัญญานั้นเป็นผลสิบเนื่องจากการเจริญเติบโตและการเปลี่ยนแปลงทางร่างกายซึ่งมีองค์ประกอบดังนี้
1.Muturation เป็น ระบบประสาทหรือเนื้อเยื่อต่าง ๆ ของสมอง
2.Physical Experience เป็นประสบการณ์ด้านกายภาพ คือได้มีปฏิสัมพันธ์(interaction)กับ สิ่งแวดล้อม สัมผัสสิ่งต่าง ๆ ด้วยตนเอง เมื่อโตขึ้นจะสามารถใช้สัญลักษณ์ทางภาษาได้
3.Social Interaction เป็นโอกาสที่ได้พบปะพูดคุยแลกเปลี่ยนทัศนะกับผู้อื่นโดยเฉพาะอย่างยิ่งด้านความคิดที่เป็นนามธรรม เช่น ความดี ความงาม ความจริง ความซื่อสัตย์ เป็นต้น
4.Equillibrium เป็นสภาพที่สมดุลเป็นเหตุปัจจัยที่ทำให้เกิดความเข้าใจ สามารถคิดแก้ปัญหาและตัดสินใจแก้ปัญหาต่าง ๆ ได้

ระดับความเจริญทางสติปัญญาของ Piaget1.Sensory-motor period เป็นช่วงวัยแรกเกิดถึงสองขวบ (0-2 ปี) เด็กที่อยู่ในระยะนี้จะรับร฿สิ่งต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวที่สามารถมองเห็นและสัมผัสได้ เด็กจะเรียนรู้ลักษณะของสิ่งต่าง ๆ ตามสภาพความเป็นจริงที่สามารถมองเห็นได้ การรับรู้ในขั้นต้นจะเริ่มจากความสามารถแยกแยะความแตกต่างระหว่างสิ่งของที่มองเห็นรอบ ๆ ตัว เช่น ขวดนม ตุ๊กตา ที่นอน แต่หลังจากเด็กอายุได้ 1เดือนแล้ว จะขยายความสนใจไปในสิ่งที่มีโครงสร้างที่ซับซ้อนขึ้นได้ เช้า เมื่อนำกรอบไม้สัก 2 อันโดยที่อันหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมธรรมดาแต่อีกอันหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมอยู่ภายในด้วย มาให้เด็กเลือก เด็กส่วนใหญ่จะเลือกรูปที่มีเส้นทะแยงมุมอยู่ด้วย เพราะมีรูปแบบที่ซับซ้อนมากกว่า
ความสัมพันธ์ระหว่างเด็กกับสิ่งของในระยะต้นนี้จะอยู่ในรูปของการจับคู่แบบสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (one to one correspondence)เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างปากของเด็กกับนมของแม่ นอกจากนี้เด็กจะเรียนรู้ถึงการแสดงกิริยาต่าง ๆ เพื่อให้ได้มาในสิ่งที่เขาต้องการ เช่น เมื่อเห็นแมวก็บอกให้เขารู้ว่านี่เป็นแมวนะ อย่าจับ กลัวมัน คราวต่อไปถ้าเด็กร้อง เราก็บอกว่า อย่าร้องเดี๋ยวแมวมา เด็กก็จะหยุดร้องเป็นต้น เมื่อเด็กอายุเกิน 1 ขวบ เขาจะเริ่มรับรู้และรู้จักสิ่งของต่าง ๆ ที่อยู้ในสายตา สามารถสร้างภาพพจน์ของสิ่งของที่ไม่อยู่ในสายตาได้บ้าง
เมื่อเด็กอายุประมาณ 2 ขวบ เขาจะเรียนรู้ถึงการเลียนแบบคนที่อยู่ใกล้ชิด และสิ่งของต่าง ๆ อาจจะเลียนแบบได้ทันที หรือเมื่อเวลาผ่านไปแล้วก็ได้ สิ่งเหล่านี้จะสังเกตุได้เมื่อเด็กเล่นขายของกันจะสมมุติว่าตัวเองเป็นคนขาย หรือคนซื้อ สมมุติให้ตุ๊กตาแทนน้องหรือลูก เป็นต้น ประสบการณ์เหล่านี้จะทำให้เด็กเกิด cognitive frame work คือพิจารณาประสบการณ์ที่ตัวเองเห็นแล้วรับเอาไว้ และยังสามารถนำเอาไปใช้ทีหลังได้ สิ่งนี้สำคัญมากในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ เด็กจะเริ่มแต่งเรื่องต่าง ๆ ขึ้นเป็นเรื่องเป็นราวอันเกิดจากความคิดฝัน จินตนาการของเขา และเห็นว่ามันเป็นเรื่องจริง วัยนี้ถือว่าเป็นสัยที่สำคัญมาก ถ้าเด็กขาดประสบการณ์ที่ดีในเบื้องต้น จะทำให้เกิดปัญหาในการเรียนพื้นฐานอันจะส่งผลต่อการเรียนรู้ในเรื่องที่มีความซับซ้อนมากขึ้นด้วย

2.Concrete operation period (อายุ 2-11)เป็นวัยที่เริ่มมาโรงเรียน ครูจึงเป็นผู้มีบทบาทสำคัญยิ่งต่อพัฒนาการของเด็กในระยะนี้ และสามารถแบ่งได้เป็นสองระยะย่อย คือ Preoperation Subperiod(อายุ 2-7 ปี) เป็นระยะที่เด็กมีความสามารถในการใช้คำพูดต่าง ๆ ได้คล่องแคล่วขึ้น สามารถแยกความแตกต่างของคำที่ใช้และเข้าใจความหมายมากขึ้น สามารถแยกความแตกต่างของวัตถุสิ่งของต่าง ๆ จากลักษณะภายนอกที่มองเห็นได้ เด็กจะเริ่มแสดงพฤติกรรมเพื่อให้ได้มาซึ่งสิ่งที่ตนต้องการด้วยวิธีการต่าง ๆ มากมายในระยะแรกคือ ระยะ sensory motor เด็กจะรับรู้เหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นในเวลาจำกัด แต่เมื่อเด็กเจริญเติบโตมาถึงระยะนี้ เด็กจะสามารถรับรู้ถึงเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นทั้งในอดีต ปัจจุบัน และอนาคตได้ โดยเด็กสามารถใช้คำพูดอธิบายถึงเหตุการณ์ต่าง ๆ ที่เกิดขึ้นแล้วและสามารถที่จะพูดถึงสิ่งที่ตั้งใจจะทำในเวลาต่อไปได้อย่างถูกต้อง ทางด้านพฤติกรรม เด็กจะแสดงพฤติกรรมเพื่อให้ได้มาซึ่งสิ่งที่ตนต้องการและใช้ความพยายามมากกว่าหนึ่งพฤติกรรม ในวัยนี้เด็กจะเรียนรู้ในสิ่งที่เป็นนามธรรมมากขึ้นทั้งนี้ขึ้นอยู่กับตวามสามารถของเด็กแต่ละคนว่าจะพัฒนาขึ้นมาได้มากน้อยเพียงใด
เด็กในวัยนี้จะเรียนรู้คำศัพท์ต่าง ๆ มากขึ้น และเริ่มเข้าใจเกี่ยวกับสิ่งของเฉพาะสิ่ง ความเข้าใจตอนแรกจะมุ่งไปทางการแสดงพฤติกรรม เช่น เด็กที่เคนรับประทานของที่มีรสเผ็ดเมื่อไปรับประทานอะไรที่มีรส หวาน มัน เปรี้ยว หรือ ขม เขาก็จะบอกว่าเผ็ดไปหมดแสดงว่าเขาไม่สามารถจำแนกความแตกต่างของคำได้ เมื่อโตขึ้นเขาก็จะค่อย ๆ เรียนรู้ถึงความแตกต่างของคำได้มากขึ้นเป็นลำดับเรื่อยไปจนเรียนรู้ว่าเผ็ดนั้นต่างจากรสอื่น ๆ ที่กล่าวถึง การที่เด็กได้พัฒนาเรียนรู้ของคำต่าง ๆ ที่เป็นนามธรรมมากขึ้นนั้น เป็นแกนหลักที่สำคัญในการเรียนรู้คณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตามเด็กในวัยนี้ยังต้องอาศัยสิ่งที่เป็นรูปธรรม (concrete object)อยู่มาก เด็กจะเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรมโดยอาศัยเฉพาะสิ่งที่มองเห็นและจับต้องได้เท่านั้น

ความสามารถคิดย้อนกลับ(Reversibility)
ในขั้น Preoperation Subperiod นี้เด็กไม่สามารถมองเห็นสิ่งต่าง ๆ ในแง่ของการคิดย้อนกลับ (reverse) ได้ เช่น ถ้าเรานำดินน้ำม้นขนาดเท่า ๆ กันมาสองก้อน ก้อนหนึ่งทำเป็นแท่งยาว ๆ คล้ายดินสอแล้วให้เด็กเลือกว่าก้อนใดมีปริมาณของดินน้ำมันมากกว่ากัน เด็กส่วนมากจะเลือกก้อนที่ยาว แสดงให้เห็นว่าความสามารถในการคิดย้อนกลับของเด็กยังไม่มี ทั้ง ๆ ที่ความจริงแล้วดินน้ำมันทั้งสองก้อนนั้นมาจากดินน้ำมันที่มีขนาดเท่า ๆ กัน และมีรูปร่างเหมือน ๆ กัน แต่เด็กตัดสินใจโดยอาศัยรูปร่างเท่าที่เห็นเท่านั้น ความคิดย้อนกลับนี้เป็นส่วนหนึ่งของความเข้าใจเรื่องเครื่องหมายในวิชาคณิตศาสตร์ เช่น 3+4=7 แล้ว 7-4=3 หรือ 7-3=4 จากตัวอย่างจะเห็นว่าเมื่อนำเอา 3 มารวมกับ 4 แล้วได้ผลลัพธ์เป็น 7 แต่เมื่อกลับเครื่องหมายโดยนำ 4 ไปลบออกจาก 7 ผลลัพธ์จะเป็น 3 หรือถ้านำ 3 ไปลบออกจาก 7 ผลลัพธ์จะเป็น 4 จะเห็นว่าวิธีการทางคณิตศาสตร์เกี่ยวข้องกับความสามารถในการคิดย้อนกลับของเด็ก หรือถ้าเรามีประโยคสัญลักษณ์ ถ้า 3 + 4 = 7 แล้ว (3+4)+ 5 = 7+5 ประโยคเดิมคือ 3 + 4 = 7 ได้ถูกเปลี่ยนแปลงโดยบวก 5 เข้ากับ 3+4 ดังนั้น 7 ต้องบวกด้วย 5 ด้วยสมการจึงจะยังคงเป็นจริงเหมือนเดิม สิ่งเหล่านี้เป็นการยากที่เด็กจะเข้าใจได้ว่า การทำจำนวนที่เท่ากันด้วยการเพิ่มปริมาณขึ้นเท่า ๆ กันทั้งสองข้างของสมการ ผลที่ได้จะทำให้สมการนั้นเป็นจริง เด็กจะต้องคิดย้อนกลับไปถึงตอนแรกว่า ประโยคสัญลักษณ์นี้เท่ากันมาตั้งแต่แรก
การคิดย้อนกลับเป็นความสามารถที่เด็กเข้าใจได้ยากตั้งแต่ในช่วงต้นจนถึงช่วงปลาย preoperation Subperiod ซึ่งครูผู้สอนต้องระมัดระวังไม่พลั้งเผลอไปเร่งให้เด็กเข้าใจถึงความสัมพันธ์ระหว่างเครื่องหมายสองชนิดในแง่ของการคิดย้อนกลับ


Concrete operational subperiod(อายุ 7-11) เริ่มต้นของวัยนี้ เด็กยังไม่สามารถเข้าใจเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้ดีมานัก เช่น ถ้ามีที่แขวนเสื้อกับเสื้อซึ่งเรียงกันอยู่คนละรูปแบบแล้วให้เด็กจับคู่แบบ 1-1 จะทำให้เขาเกิดความยุ่งยากใจในการจัดการมาก
เมื่อเด็กเข้าสู่วัย concrete operation period เขาจะมีความเข้าใจดีขึ้นว่าการเปลี่ยนแปลงรูปร่าง ลักษณะของกลุ่มไม่มีผลต่อจำนวนสมาชิกในกลุ่ม เด็กในระยะนี้จะเริ่มมองเหตุการณ์ต่าง ๆ กว้างขึ้น ไม่มองสิ่งต่าง ๆ ด้านเดียวและสามารถคิดย้อนกลับได้ด้วย
จากการทดลองเกี่ยวกับดินน้ำมันที่ปั้นเป็นก้อนกลมสองก้อนที่เด็กในระยะ preoperational ไม่สามารถคิดย้อนกลับถึงปริมาณของดินน้ำมันได้ แต่เด็กในช่วงวัยประมาณ 7 ปี เริ่มสามารถคิดย้อนกลับไปสู่จุดเริ่มต้นได้ เด็กจะเริ่มเข้าใจดีขึ้นว่าการเปลี่ยนแปลงรูปร่างของสี่งของนั้นไม่ได้เปลี่ยนแปลงปริมาณไปด้วย ความคิดของเด็กเริ่มไม่จำกัดอยู่กับเฉพาะในสิ่งที่เห็นเท่านั้น เด็กจะเริ่มเรียนรู้ถึงการมองสิ่งต่าง ๆ ในลักษณะของภาพรวม เช่น มีปัญหาว่า มีไก่ 9 ตัว กินอาหารอยู่ในกรง เมื่อกินอาหารอิ่มแล้วไก่ 6 ตัว เข้าไปฟักไข่ ส่วนอีก 3 ตัว เดินเล่นอยู่ ถามว่ามีไก่อยู่ในกรงทั้งหมดกี่ตัว คำตอบที่ถูกต้องคือ 9 ตัว ซึ่งแสดงให้เห็นว่าการที่ 6 และ 3 ได้เปลี่ยนรูปการจัดไป แต่ก็ไม่ส่งผลต่อผลรวมเดิมของมัน
ระยะนี้ถึงแม้นเด็กจะเริ่มเข้าใจว่าการเปลี่ยนแปลงใด ๆ ในการจัดกลุ่มใหม่ว่าไม่เป็นการเปลี่ยนแปลงจำนวนของสมาชิกในกลุ่มที่มีอยู่ก็ตาม แต่เด็กก็ยังไม่เข้าใจว่าน้ำหนักหรือปริมาณของสิ่งของจะไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน การเข้าใจในเรื่องน้ำหนัก เด็กจะเข้าใจเมื่ออายุประมาณ 9 ขวบ ในขณะที่ความเข้าใจในเรื่องปริมาตรจะเข้าใจเมื่ออายุประมาณ 11 ถึง 12 ปี
Piaget ทำการทดลองโดยใช้ตุ๊กตาและท่อนไม้ ซึ่งตุ๊กตากับท่อนไม้มีขนาดต่างกันอย่างละ 10 ชิ้น โดยให้เด็กเรียงตุ๊กตาและท่อนไม้และกำหนดว่าตุ๊กตาแต่ละตัวต้องจับคู่กับท่อนไม้ที่มีขนาดเดียวกัน การเรียงต้องเรียงจากเล็กสุดไปหาใหญ่สุด เด็กอายุ 7 ขวบ สามารถจับคู่สิ่งของดังกล่าวได้ถูกต้อง แต่ถ้าเรียงตุ๊กตาและท่อนไม้ให้สลับกัน คือ เรียงตุ๊กตาจากตัวเล็กสุดไปหาใหญ่สุด ส่วนท่อนไม้ให้เรียงจากท่อนใหญ่สุดไปหาเล็กสุด เด็ก 7 ขวบไม่สามารถจับคู่ได้ถูกต้อง แสดงว่าเด็กยังไม่สามารถจัดแยกตุ๊กตาและจัดแยกท่อนไม้ได้ในเวลาเดียวกัน ทำให้การจับคู่ผิดพลาด แต่เมื่อเด็กเข้าสู่วัย concrete operation stage แล้วเขาก็จะสามารถจับคู่ตุ๊กตาและท่อนไม้ที่มีมีรูปแบบตามที่กล่าวมาแล้วได้ถูกต้อง อันเป็นพื้นฐานความสามารถในการเข้าถึงความหมายของจำนวนต่าง ๆ ได้
การที่ครูเข้าใจพัฒนาการของเด็ก ทำให้ครูสามารถจัดแผนการเรียนรู้ให้สอดคล้องกับความสามารถของเด็กเฉพาะเรื่องไป เช่น ถ้าเด็กสามารถมองเห็นความสัมพันธ์ของจำนวนสมาชิกในกลุ่มที่กำหนดให้กับตัวเลขที่เป็นจำนวนนับต่าง ๆ ได้ จะเป็นพื้นฐานที่สำคัญต่อการเข้าใจในเรื่องจำนวนและตัวเลข ถ้าเด็กสามารถจัดลำดับสมาชิกในกลุ่มตามคุณสมบัติที่กำหนดให้ได้ก็จะเป็นพื้นฐานที่สำคัญที่เด็กจะเข้าใจคุณสมบัติต่าง ๆ ของตัวเลขได้ เด็กที่มีความสามารถในการมองปัญหาได้สองด้านจะสามารถแก้ปัญหาโจทย์ที่มีทั้งความแตกต่าง และการเปรียบเทียบของสมาชิกในกลุ่มที่กำหนดให้ เช่น เพรียวมีรถยนต์ 6 คัน พาวมีรถยนต์ 4 คัน เพียวจะมีรถยนต์มากกว่าพาวกี่คัน เด็กจะเปรียบเทียบจำนวนสมาชิกในกลุ่ม คือ 6 และ 4 และใช้วิธีจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง จำนวนรถยนต์ที่เหลือหลังการจับคู่คือจำนวนที่มากกว่า
ในระยะ concrete operation period เด็กจะสนใจสิ่งต่าง ๆ มากขึ้น เริ่มสนใจเกมที่มีกฏเกณฑ์และมีคู่แข่งขัน ดังนั้นครูจึงควรผลิตเกมต่าง ๆ ทางคณิตศาสตร์ให้เด็กได้เล่นจะได้รับความสนใจอย่างมาก
เด็กในระยะ concrete operation period นี้เริ่มสามารถรับรู้เกี่ยวกับรูปทรงทางเรขาคณิต เวลา การเคลื่อนที่ ความเร็ว และอัตราเร็วต่าง ๆ ได้ ครูอาจใช้เส้นจำนวน(number line) หรือเส้นเวลา (time line) แสดงให้เด็กได้เห็น
ในที่สุดแล้ว Piaget ได้ค้นพบว่าในการเรียนเกี่ยวกับเส้นจำนวนนั้น เป็นการสำคัญมากที่ครูจะต้องระมัดระวังให้ความกว้างของแต่ละช่วงมีขนาดเท่า ๆ กัน มิฉะนั้นแล้วจะทำให้เด็กสับสน แต่อย่างไรก็ตามควรจะสอนจากของจริงก่อนจะทำให้เด็กเข้าใจได้ดีกว่าการใช้เส้นจำนวน
นั่นคือในช่วง concrete operation นั้นเด็กจะเรียนรู้เยวกับสิ่งของ น้ำหนัก ปริมาตร มีการพัฒนาในด้านความสามารถที่จะเข้าใจแนวคิดของการจำแนกและเรียงลำดับ (classifying and ordering) ซึ่งเป็นพื้นฐานสำคัญในการเข้าใจตัวเลขและจำนวนต่าง ๆ

3. Formal operation period เด็กอายุตั้งแต่ 11 ขวบขึ้นไป ในระยะ concrete operation เด็กมีความสามารถที่จะตั้งสมมติฐานและทำการทดลองตามสมมติฐานที่ตั้งขึ้นได้ แต่เด็กในช่วง formal operations จะสามารถรวบรวมหาเหตุผลต่าง ๆ มาพิสูจน์ข้อสมมติฐานที่ตั้งขึ้นนั้น เช่น (1/2)/(1/3) = y ในการแก้ปัญหานี้เด็กต้องสามารถคิดสิ่งที่เป็นนามธรรมเกี่ยวกับการหารและเศษส่วนได้ เด็อาจคิดว่า (1/2)/(1/3) = y นั้นเหมือนกับ 1/2 = yx(1/3) เพราะเคยเรียนมาแล้วว่า 6/3 = 2 มีความสัมพันธ์กับ 6 = 2x3 และเด็กก็รู้ว่าจะสามารถคูณทั้งสองข้างของสมการด้วย 3 ได้ ดังนั้นจากประโยคแรกจะได้ (1/2)x3 = yx(1/3)x3 หรือ (3/2) = yx(3/3) หรือ 3/2 = y นั่นเอง
เด็กในวัยนี้จะสามารถมองเห็นปัญหาต่าง ๆ ได้กว้างขวางมากขึ้น และสามารถนำความสัมพันธ์ของเรื่องต่าง ๆ ที่เรียนมาแล้วมาใช้แก้ปัญหาโจทย์ได้ โดยบางครั้งไม่จำเป็นต้องใช้ของจริงหรือสิ่งที่จับต้องได้เข้าไปช่วยในการเรียนเลย เด็กในระยะนี้จะสามารถเข้าใจแนวคิดต่าง ๆ ที่เป็นนามธรรมและซับซ้อนได้มากขึ้น เด็กจะชอบวิชคณิตศาสตร์เพราะรู้สึกสนุกต่อการที่สามารถแก้ปัญหาและหาคำตอบที่ถูกต้องได้
จากทฤษฎีพัฒนาการทางสติปัญญาของ Piaget แสดงให้เห็นว่าการที่ครูจะทำให้ผลของการเรียนการสอนดีขึ้นนั้น ครูควรต้องเข้าใจพฤติกรรมต่าง ๆ ของเด็กที่แสดงออก และควรจัดบทเรียนโดยคำนึงถึงความสามารถในการรับรู้ของเด็กในวัยนั้น ๆ ด้วย

จุดประสงค์ในการศึกษาของ Piaget
1. ต้องการสร้างคนให้มีความสามารถกระทำสิ่งใหม่ มีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ รู้จักประดิษฐ์คิดค้น และแสวงหาความรู้ด้วยตนเองโดยไม่ลอกเลีบยแบบจากผู้อื่น
2. ต้องการให้คนสามารถพิสูจน์ปัญหาต่าง ๆ ก่อนที่จะยอมรับและสามารถวิพากษ์วิจารณ์ได้
3. ต้องการให้ผู้เรียนมีความกระตือรือร้นที่จะแสวงหาความรู้ด้วยตนเองตั้งแต่เด็ก โดยส่วนหนึ่งเป็นธรรมชาติของเด็กเอง และอีกส่วนหนึ่งครูจะเป็นผู้จัดให้


Jerome S.Bruner เป็นผู้อำนวยการของ Harvard's Center for Cognitive Studies เป็นผู้ที่ศึกษาเกี่ยวกับพัฒนาการทางสติปัญญา(cognitive development) โดยอาศัยขั้นตอนต่าง ๆ จากการศึกษาของ Piaget และนำมาศึกษาต่อ Bruner มีความเห็นต่อการจัดการศึกษาว่า ทฤษฎีพัฒนาการจะเป็นตัวเชื่อมระหว่างทฤษฎีการเรียนรู้และทฤษฎีการสอน การที่ Bruner กล่าวเช่นนี้แสดงว่าวิชาการต่าง ๆ เราสามารถสอนให้เด็กคนใดของเวลาใดในขั้นของพัฒนาการก็ได้ ถ้าผู้สอนสามารถสามารถสอนอย่างสอดคล้องกับระยะพัฒนาการของเด็กนั้น ๆ
Bruner คิดว่าความพร้อมนั้นเป็นสิ่งสำคัญแต่ในขณะเดียวกันความพร้อมก็เป็นสิ่งที่สอน หรือทำให้เกิดขึ้นได้โดยไม่จำเป็นต้องรอให้เกิดขึ้นเอง ควรจ้ดให้เด็กเกิดความพร้อมขึ้นเพื่อที่จะเรียนให้ทันเพื่อน ข้อควรระวังในการจัดให้เกิดความพร้อมนั้นอาจมีผลทั้งในทางบวกและลบ ทางบวกคือทำให้ครูทราบว่าความพร้อมสามารถจะจัดให้เกิดขึ้นได้โดยไม่ต้องรอ ในทางลบคือถ้าจัดความพร้อมให้ไม่ถูกส่วนจะทำให้เด็กเกิดความเบื่อหน่าย กลายเป็นเครื่องกีดขวางการเรียนรู้ของเด็กไป

ขั้นตอนการพัฒนาการทางสติปัญญาของ Bruner แบ่งได้เป็น 3 ขั้น
1. Enactive representation เปรียบได้กับขั้น sensory motor ของ Piaget เด็กในขั้นนี้จะเข้าใจสิ่งแวดล้อม และแสดงความเข้าใจนั้น ๆ ด้วยการกระทำและจะเป็นผลต่อเนื่องไปเรื่อย ๆ จนโตมิได้หยุดอยู่ในช่วงระยะนี้เท่านั้น เช่น เด็กจับของเล่นแล้วเขย่าเกิดเสียงดังขึ้น ถ้าของเล่นตกเด็กก็จะดูที่มือแล้วเขย่ามือ เพราะคิดว่าจะดังเหมือนของเล่น ซึ่งเป็นการรับรู้ และแสดงออกด้วยการกระทำ ในชีวิตจริงของคนเรานั้นบางครั้งจะพบว่าผู้ที่ไม่ได้อยู่ในวัยนี้แล้วก็ยังใช้วิธีแก้ปัญหาด้วยการลงมือทำจริง ๆ เช่น การขับรถยนต์ การเล่นฟุตบอล ซึ่งได้ผลดีกว่าการอธิบายโดยใช้คำพูดเพียงอย่างเดียว ดังนั้น Bruner จึงแบ่งขั้นตอนการพัฒนาการทางสติปัญญาให้อนู่แต่เพียงระยะแรกของชีวิตเท่านั้น โดยถือว่าเป็นกระบวนการที่ต่อเนื่องตลอดชีวิต คนจะนำไปใช้ในช่วงใดของชีวิตก็ได้
2. Iconic representation เด็กที่อยู่ในระยะนี้พัฒนาการทางด้านสติปัญญาอยู่ที่การมองเห็นและการใช้ประสาทสัมผัส Bruner มีความเห็นว่าผลจากการกระทำและการมองเห็นในระยะแรก ๆ นั้นทำให้เด็กเกิดภาพในใจ เช่นเมื่อเด็กเล่นของเล่นอยู่ ถ้าของเล่นตกจากมือ เด็กจะมองหาของเล่นนั้น ถ้าเราไม่หยิบให้เด็กจะแสดงอาการหงุดกงิด ไม่สบายใจโดยเด็กจะไม่เขย่ามือแทนเหมือนระยะ enactive นั่นแสดงว่าเด็กสามารถมองเห็นภาพของเล่นในใจได้
3. Symbolic representation เด็กในระยะนี้สามารถถ่ายทอดสิ่งที่ได้รู้ ได้เห็นมาโดยอาศัยภา หรือสัญลักษณ์ได้ การที่เด็กสามารถใช้ภาษาซึ่งแสดงให้เห็นถึงขั้นตอนของความคิดนั้นเป็นขั้นตอนที่สูงสุดของการพัฒนาการทางสติปัญญา เด็กสามารถคิดหาเหตุผลซึ่งในที่สุดก็จะสามารถเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรมและสามารถแก้ปัญหาได้ เด็กสามารถคิดหาเหตุผลซึ่งในที่สุดก็จะสามารถเข้าใจสิ่งที่เป็นนามธรรม และสามารถแก้ปัญหาได้ ความคิด ความเข้าใจในแนวคิดต่าง ๆ จะเกิดขึ้นพร้อม ๆ กับภาษา
Bruner มีความเห็นว่าตนเราจะมีการพัฒนาตามขั้นตอน ดังนี้ เริ่มจากการกระทำไปสู่ขั้นจินตนาการและขั้นใช้สัญลักษณ์เป็นภาษาตามลำดับ ซึ่งทุกคนจะต้องผ่านขั้นตอนต่าง ๆ เหล่านี้ทั้งสิ้น แต่ขั้นตอนทั้งสามนี้จะคาบเกี่ยวกันอยู่ตลอดเวลาไม่ตัดขาดจากกันโดยเด็ดขาดเหมือนแนวคิดของ Pisget

การนำความคิดของ Bruner ไปใช้ในการเรียนการสอน 1. การเรียนรู้ของเด็กเล็ก ๆ ต้องคำนึงถึงในแง่ที่ให้เด็กได้แก้ปัญหาด้วยการกระทำ ใช้อุปกรณ์ที่เป็นรูปธรรมเพื่อให้เด็กสามารถสร้างภาพในใจได้
2. กระตุ้นให้เด็กเกิดการเรียนรู้โดยการกระทำด้วยตนเอง คิดค้นด้วยตนเอง กระตุ้นให้เกิดการเรียนรู้ด้วยการค้นพบ (discovering learning) ครูอาจช่วยด้วยการจัดสิ่งแวดล้อมให้
3. เน้นการจัดการเรียนการสอนแก่เด็กมากว่าทำอย่างไรถึงจะช่วยให้เด็กเกิดการพัฒนาการมากขึ้น นั่นคือ เด็กจะได้เรียนเนื้อหาวิชาโดยการจัดประสบการณ์แบบ nonverbal ทำให้เกิดการสอนแบบ nonverbal instructional package
4. ในการจัดการเรียนการสอนครูต้องคำนึงถึงทฤษฎีแห่งการเรียนรู้และทฤษฎีของการสอนซึ่งจะทำให้การสอนมีประสิทธิภาพมากขึ้น

ลักษณะทางสติปัญญา(mental characteristics)
ลักษณะทางสติปัญญาของเด็กระดับมัธยมศึกษาตอนต้น เด็กวัยนี้สามารถเข้าใจแนวคิดที่เป็นนามธรรมได้ดีขึ้น จึงสามารถเข้าใจหลักศีลธรรมจรรยาได้มากขึ้น แต่บางแนวคิด เด็กจะเข้าใจได้ยากจำเป็นที่ครูจะต้องแสดงความเห็นใจ และไม่แสดงการดูถูก ครูต้องอดทนที่จะอธิบายให้เด็กเข้าใจ เด็กวัยนี้ยังมีช่วงของความสนใจยาวขึ้น มีจินตนาการสูง ครูจะต้องให้การบ้านที่ท้าทายจินตนาการในทุกวิถีทางที่จะทำได้ หรืออาจเป็นเกม ปริศนา หรือปัญหาที่น่าคิดแทนแบบฝึกหัดที่น่าเบื่อหน่าย หรืออาจตั้งชื่อเรื่องให้ดูสนุกสนานก็ได้ พัฒนาการทางสติปัญญาตามความเห็นของ Piaget ว่าเด็กวัยนี้มีอายุระหว่าง 12-15 ขวบ เป็นช่วงสุดท้ายของการพัฒนาการทางสติปัญญาซึ่งเด็กอยู่ในขั้น formal operation ซึ่งสามารถคิดเกี่ยวกับสิ่งที่เป็นนามธรรมได้ทุกเรื่อง และยังตั้งสมมติฐานได้อีกด้วย ส่วน Bruner เห็นว่าเด็กในวัยนี้สามารถใช้สัญลักษณ์ได้กว้างขวางขึ้น ครูมีวิธีช่วยให้เด็กได้พัฒนาขึ้นไปอีก โดยกระตุ้นให้ใช้วิธีสอนโดยการค้นพบด้วยการเน้นความเข้าใจในแนวคิดและสิ่งที่เป็นนามธรรมต่าง ๆ
สรุปการสังเกตของ Piaget และ Brner ได้ว่าเด็กในวัยนี้สามารถคิดอย่างมีเหตุผล แต่อาจจะไม่ใช่เหตุผลเดียวกับที่ผู้ใหญ่คิด ซึ่งครูอาจทราบเหตุผลของเด็กได้โดยการกระตุ้นให้มีการแสดงความคิดเห็นอย่างอิสระ หรืออาจให้เขียนรายงานโดยไม่ให้คะแนนก็ได้
ลักษณะทางสติปัญญาของเด็กมัธยมปลาย เด็กในวัยนี้พัฒนาการด้านสติปัญญาสูงเกือบเท่าผู้ใหญ่ เพียงแต่ยังขาดประสบการณ์จึงไม่สามารถใช้ได้อย่างมีประสิทธิภาพมากนัก นอกจากนี้เด็กยังคำนึงถึง "ปรัชญาชีวิต" โดยมุ่งไปในเรื่องของศาสนา ศีลธรรม จรรยา และการเมืองแต่ยังไม่กล้าตัดสินใจ ครูจะต้องเปิดโอกาสให้มีการแสดงความคิดเห็นถึงเรื่องต่าง ๆ เกี่ยวกับชีวิต เด็กในวัยนี้ตามแนวคิดของ Piaget และ Bruner เห็นว่าจะมีลักษณะเช่นเดียวกับเด็กในระดับมัธยมต้น เพราะเชื่อว่าหลังจากอายุ 15 ปีขึ้นไปแล้ว พัฒนาการทางด้านสติปัญญาของเด็กจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่เมื่ออายุมากขึ้น ความสามารถในการคิดแก้ปัญหาก็ละเอียดถี่ถ้วน และยังสมารถแก้ปัญหาในรูปของนามธรรมได้กว้างขวางมากขึ้น

แนวคิดของ Robert Gagne
Robert Gagne เป็นผู้เสนอแนวคิดที่เรียกว่า ลำดับขั้นการเรียนรู้ (learning hierarchy) ลำดับขั้นการเรียนรู้ หมายถึง สมรรถภาพทางสติปัญญาที่กำหนดขึ้นอย่างเฉพาะเจาะจง แล้วจัดให้มีความสัมพันธ์เป็นลำดับขั้นต่อกันโดยอาศัยแนวความคิดทางทฤษฎี การสร้างลำดับขั้นการเรียนรู้ทำได้โดยวิธีที่เรียกว่า task analysis ซึ่งจะเริ่มด้วยการกำหนดพฤกรรมขั้นสุดท้ายแล้วพิจารณาต่อไปว่า การที่ผู้เรียนจะเรียนรู้พฤติกรรมขั้นสุดท้ายได้นั้น ผู้เรียนจะต้องมีความสามารถหรือมีพฤติกรรมพื้นฐานอะไรมาก่อน จากนั้นก็ใช้วิธีการเดิมวิเคราะห์พฤติกรรมในขั้นที่ 2 ต่อไปอีกจนถึงพฤติกรรมขั้นต่ำสุดที่คาดว่าผู้เรียนในระดับหรือวัยนั้นมีอยู่แล้ว ดังนั้นพฤติกรรมหรือชิ้นงานเฉพาะขั้นต่ำกว่าจะเป็นพื้นฐานสำหรับการเรียนรู้พฤติกรรมหรือชิ้นงานเฉพาะขั้นสูงกว่าต่อไปเป็นลำดับ
การจะเรียนรู้พฤติกรรมลำดับที่ 5 ได้ จะต้องเรียนรู้พฤติกรรมลำดับที่ 4 หรือ 3 หรือ 2 หรือ 1 ก่อน การกำหนดพฤติกรรมย่อยนั้นต้องกำหนดพฤติกรรมเดียวเป็นอิสระจากกัน ถ้ากำหนดพฤติกรรมหลายอย่างจะทำให้สรุปได้ไม่แน่นอนว่าผู้เรียนได้เรียนรู้พฤติกรรมใดจริง นอกจากนี้แล้วการจัดลำดับพฤติกรรมที่เรียกว่าทักษะทางความคิด และจะทำได้ไม่ดีในพฤติกรรมด้านความจำ
นอกจากนี้แล้ว Gagne ยังแนะนำเกี่ยวกับการเรียนรู้ว่าผู้เรียนควรเรียนจากสิ่งง่าย ๆ ไม่ซับซ้อนไปหาสิ่งที่ยุ่งยากและซับซ้อนกว่า Gagne ได้วิเคราะห์พฤติกรรมการเรียนรู้แล้วแบ่งเป็นขั้นตามลำดับซึ่งมีโครงสร้างดังนี้
1. Signal learning เป็นขั้นการเรียนรู้ที่ง่ายที่สุด เกิดการเรียนรู้ตามธรรมชาติ เนื่องจากความใกล้ชิดของสิ่งเร้าและการกระทำซ้ำ ๆ กัน โดยมากจะเกี่ยวข้องกับอารมณ์และตวามรู้สึกของผู้เรียนจะไปบังคับไม่ให้เกิดการเรียนรู้ชนิดนี้ไม่ได้
2. Stimulus-Response learning การเรียนรู้ในขั้นนี้เกิดจากการตอบสนองสิ่งเร้าง่าย ๆ ไม่ซับซ้อน ต่างจากชนิดแรกตรงที่ผู้เรียนสามารถควบคุมพฤติกรรมได้ การตอบสนองสิ่งเร้านี้เป็นไปอย่างตั้งใจ เช่น การออกเสียงตามครู เป็นต้น
3. Chaining การเรียนรู้ในขั้นนี้เป็นการเรียนรู้เนื่องมาจากการเชื่อมโยงของ S-R ZStimulus-Response) ซึ่งต่อเนื่องกันเป็นลูกโซ่ ทำให้เกิดพฤติกรรมที่เกี่ยวกับการกระทำ เช่น เขียน หรืออ่านหนังสือ
4. Verbal association มีลักษณะคล้ายกับประเภทที่ 3 แตกต่างกันเพียงขั้นนี้เกี่วข้องกับการใช้ภาษา ซึ่งมีความสำคัญในการสื่อความหมายเช่น เรียก 8 ว่า เลขแปด เป็นต้น
5. Discrimination learning เป็นการเรียนรู้ในลักษณะที่เด็กสามารถแยกแยะสิ่งของต่าง ๆ หรือสามารถมองเห็นความแตกต่างของสิ่งของ
การที่จะเกิดการเรียนรู้ประเภท 3-4 ได้นั้นต้องเกิดการเรียนรู้ประเภท 2 ก่อน แต่การเรียนรู้ประเภท 4 ก็มิได้มีพื้นฐานมาจากการเรียนรู้ประเภทที่ 3 และการเรียนรู้ประเภทที่ 5 จะเกิดขึ้นได้ต้องอาศัยการเรียนรู้ประเภทที่ 3 หรือ 4 เพียงอย่างใดอย่างหนึ่งเท่านั้น
6. Concept learning การเรียนรู้แนวคิดเป็นความสามารถที่ผู้เรียนรู้เห็นความเหมือนกันของสิ่งของหรือเหตุการณ์ ทำให้ผู้เรียนตอบสนองในลักษระที่เป็นกลุ่ม เช่นแนวคิดเกี่ยวกับการดำเนินการบนเซต การเรียนรู้ในขั้นนี้จะง่ายเพียงใดนั้นขึ้นอยู่กับการเรียนรู้ในขั้นที่ 4
7. Principle learning เป็นการเรียนรู้ที่เกิดขึ้นเนื่องจากการเชื่อมโยงแนวคิดตั้งแต่สองแนวคิดเข้าด้วยกัน และสามารถตั้งเป็นกฎเกณฑ์ขึ้น แล้วนำเอาไปใช้ในสถานการณ์ต่าง ๆ ที่คล้ายคลึงกัน เช่น 3+2=5 รวมแนวคิดทั้งหมด 5 ชนิดเข้าด้วยกัน
8. Problem solving เมื่อเรียนรู้ถึงกฎเกณฑ์ต่าง ๆ แล้วเด็กก็จะนำความรู้หรือกฎเกณฑ์นั้นไปแก้ปัญหาใหม่ ๆ ได้

จากโครงสร้างการเรียนรู้ตามแบบของ Gagne จะเห็นว่าการวางแผนการจัดการเรียนรู้ของครูจะต้องวางโครงเรื่องที่จะสอนตั้งแต่ระดับง่าย ๆ ต่อเนื่องกันไปจนถึงระดับสูงที่ยุ่งยากซับซ้อน สิ่งใดที่ผู้เรียนยังไม่รู้ก็ต้องให้ผู้เรียนได้เรียนรู้เสียก่อน ก่อนที่จะเรียนรู้สิ่งที่สูง ๆ ขึ้นไป Gagne ถือว่าการเรียนรู้ในขั้นที่ 4 สำคัญมาก


การนำเสนอสาระเกี่ยวกับจิตวิทยาการสอนคณิตศาสตร์ขอจบลงเพียงเท่านี้


ด้วยความปราถนาดี

ครูพี/