Maths/ปรนัย/หายนะ

สารบัญบทความ

บทความนี้ครูพีขอแสดงทัศนะเกี่ยวกับการนำเครื่องมือการวัดผลตัวหนึ่งที่เรียกว่า "ข้อสอบแบบปรนัย" หรือ "ข้อสอบแบบเลือกตอบ" มาใช้เพื่อการวัดประเมินผลทางคณิตศาสตร์ไม่ว่าจะด้วยจุดประสงค์เพื่อใช้ในการปรับปรุงแก้ไขผู้เรียนเพื่อให้บรรลุมาตรฐานการเรียนรู้หรือตัวชี้วัดที่กำหนด และ/หรือ การตัดสินผลการเรียนก็ตาม ทั้งนี้เนื่องจากครูผู้สอน นักวิจัย ทางด้านการเรียนการสอนคณิตศาสตร์นิยมใช้มากในการเก็บรวบรวมข้อมูลประกอบนวัตกรรมต่าง ๆ ในการทดลอง หรือสำรวจ ตรวจสอบคุณภาพการเรียนการสอนคณิตศาสตร์

โดยที่เนื้อหาสาระของคณิตศาสตร์นั้นเป็นวิชาที่มีลักษณะเป็นนามธรรมที่ว่าด้วยความคิดและเหตุผล พูดง่าย ๆ ว่าเป็นศาสตร์ที่เสริมสร้างศักยภาพทางความคิดให้แก่ผู้เรียนได้อย่างวิเศษสุด สมกับคำกล่าวที่ว่า "เก่งคณิตศาสตร์ฉลาดทุกวิชา" สร้างคนให้เป็นคนที่ "คิดเป็น ทำเป็น แก้ปัญหาเป็น และสามารถดำรงชีวิตร่วมกับผู้อื่นในสังคมประชาธิปไตยที่เคารพศักดิ์ศรีความเป็นมนุษย์ได้อย่างเป็นสุข" พูดกันง่าย ๆ ว่า "เก่ง ดี มีความสุึข" และในมาตรฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐานปี 2551 ที่ใช้อยู่ในปัจจุบันก็กำหนดไว้ในมาตรฐานด้านทักษะกระบวนการ ที่ผู้เรียนต้องมีคุณภาพทั้งด้านการแก้ปัญหา การให้เหตุผล การสื่อสาร การสื่อความหมาย การนำเสนอ การเชื่อมโยง และความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ ล้วนเป็นคุณภาพสำคัญที่พัฒนาคนให้เป็นมนุษย์ที่สมบูรณ์มีความคิดเชิงวิเคราะห์ และมีวิจารณญาณบนฐานของข้อมูล และการให้เหตุผลเชิงตรรกยะที่สมเหตุสมผลแบบวิทยาศาสตร์ชนิดแบบ "พิสูจน์ วัด สัมผัสได้" แล้วการวัดและประเมินโดยมุ่งใช้ข้อสอบปรนัยเป็นหลักซึ่งง่ายต่อการตรวจให้คะแนนแต่บล็อกความคิดของคนว่ามันจะคุ้มกับการสูญเสียศักยภาพที่สำคัญของผู้เรียนคณิตศาสตร์ดังที่กล่าวมาเบื้องต้นหรือไม่

ในขณะนี้ข้อสอบแบบปรนัยชนิดเลือกตอบ ได้แพร่หลายในวงการศึกษาโดยทั่วไปของไทยอย่างกว้างขวางแทบจะกล่าวได้ว่าเป็นขวัญใจของผู้ออกข้อสอบ และเป็นทักษะชีวิตสำคัญของผู้สอบ หรือนักเรียนเลยทีเดียว ครูอาจารย์จำนวนมากล้วนทราบถึงข้อดีของข้อสอบชนิดนี้และได้นำไปใช้ออกข้อสอบอย่างแพร่หลาย เพื่อเป็นการเพิ่มมุมมอง และข้อสังเกตในการนำข้อสอบประเภทนี้ไปใช้ ครูพีจึงใคร่เสนอแนวคิดบางประการเกี่ยวกับข้อสอบประเภทนี้ ไว้ดังต่อไปนี้

ผลเสียของข้อสอบแบบเลือกตอบ
(1) ปิดโอกาสการแสดงความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ของผู้เรียน เนื่องจากข้อสอบประเภทนี้ผู้พัฒนาข้อสอบได้คิดคำตอบมาให้เรียบร้อยแล้ว ผู้ตอบต้องคิดหรือตอบภายในกรอบ(คอก)ที่กำหนดไว้ให้เท่านั้น

(2) ข้อสอบประเภทนี้ให้โทษแก่ผู้ตอบที่เห็นประเด็นสำคัญยิ่งกว่าผู้ตอบโดยทั่วไปหรือผู้ออกข้อสอบเองอาจไม่ตระหนักรู้ขาดความรอบคอบในการกลั่นกรองตัวเลือกที่ถูกต้อง เป็นข้อสอบที่ไม่ยุติธรรมเข้าข้างผู้รู้แนวคิดอย่างผิวเผิน เพราะปัญหาที่ต้องใช้ความคิดจริง ๆ ไม่อาจสร้างในรูปตัวเลือกได้อย่างสะดวก ตัวอย่าง เช่น

จงเลือกคำตอบที่ถูกที่สุด
1. กรณฑ์ที่สองของ 3 ตรงกับข้อใด
ก. 1.73 ข. 1.742 ค. 1.83 ง. 1.812

2. สาขาคณิตศาสตร์ในข้อใดต้องใช้เหตุผลมากที่สุด
ก. เลขคณิต ข. พีชคณิต ค. เรขาคณิต ง. สถิติ

จะเห็นว่า ข้อ 1 นั้น ผู้เรียนที่รู้แนวคิดคณิตศาสตร์แบบผิวเผินจะเลือกคำตอบ ข แต่ถ้าผู้เรียนเข้าใจแนวคิดคณิตศาสตร์อย่างแท้จริงทราบว่ากรณฑ์ที่สองของ 3 นั้นเป็นจำนวนอตรรกยะ จึงไม่มีตัวเลือกใดถูกต้อง เพราะทุกคำตอบที่กำหนดล้วนเป็นจำนวนตรรกยะทั้งสิ้น อาจเป็นเหตุให้ผู้เรียนที่ฉลาดเข้าใจในแนวคิดอย่างทั่วถึงชัดเจน มีความคิดต่อต้านรุนแรงจนถึงอาจเลิกทำข้อสอบ เพราะเห็นว่าผู้ออกข้อสอบไม่รู้จริง จึงไม่อาจวัดความสามารถเขาได้ เด็กฉลาดที่มีความคิดเห็นไม่รุนแรง หรือมีความจำเป็นต้องทำข้อสอบเพราะหมายถึงการตัดสินชะตาชีวิตของเขา อาจปลงใจได้ว่า "คนที่โง่พอที่จะออกข้อสอบเช่นนี้ ก็คงโง่พอที่จะคิดว่าข้อ ข เป็นตัวเลือกที่ถูกต้อง" ถ้ามีคนคัดค้านการออกข้อสอบเช่นนี้ผู้ออกข้อสอบก็อาจให้เหตุผลว่า ไม่ได้ให้ผู้ตอบเลือกคำตอบที่ถูก แต่ให้เลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุด จะเห็นว่าผู้ออกข้อสอบใช้ความไม่ชัดเจนคลุมเครือของคำว่า ถูกที่้สุด แก้ไข/ปิดบังความไม่เข้าใจในแนวคิดคณิตศาสตร์นั้น
สำหรับ ข้อ 2 นั้นผู้ออกข้อสอบคงคิดว่าตัวเลือก ค ถูกต้อง แต่ผู้ที่เข้าใจลักษณะของคณิตศาสตร์อย่างแท้จริงแล้วย่อมเห็นว่า ทุกสาขาของคณิตศาสตร์ต่างต้องใช้เหตุผลมากทัดเทียมกันเพราะต่างก็เป็นคณิตศาสตร์เช่นเดียวกัน เมื่อจำเป็นต้องตอบก็ต้องเดาใจผู้ออกข้อสอบโดยเลือกข้อ ค

อุทาหรณ์ที่ยกมานี้นักวัดผลบางท่านอาจเห็นว่ามันไม่น่าจะมีผลเลวร้ายอะไร เพราะสุดท้ายแล้วผู้ตอบที่ฉลาดก็ต้องเลือกคำตอบที่ถูกต้องที่สุดและได้คะแนนข้อนั้นไป การตอบเช่นนี้แสดงถึงความไม่ประณีต รอบคอบของนักวัดผลเหล่านั้น การที่ผู้ตอบซึ่งฉลาด สุขุม ต้องพิจารณาไตร่ตรองโดยใช้เวลานานในการเลือกคำตอบมากกว่าเด็กที่รู้เพียงผิวเผินเสมือนเป็นการลงโทษเด็กฉลาด ทำให้เขาคิดผิดไปว่าความสุขุมรอบคอบไม่สำคัญ หรืออาจคิดว่าการศึกษาส่วนใหญ่ส่งเสริมความไม่ซื่อสัตย์ต่อความจริง ดังนั้นจึงไม่ควรศึกษาต่อไป เป็นการสร้างเจตคติที่ไม่ดีต่อการศึกษาคณิตศาสตร์ได้

(3) ข้อสอบประเภทนี้พิจารณาเฉพาะคำตอบหรือผลสรุปสุดท้าย ไม่ได้พิจารณาถึงคุณภาพของความคิดที่นำไปสู่ผลสรุปนั้น
นักเรียนที่มีความคิดเชื่อมโยงมีเหตุผลตามลำดับขั้นตอนโดยอ้างอิงข้อมูลและทฤษฎีที่ถูกต้องแม้นจะสรุปผลผิด ย่อมสมควรให้คะแนนสูงกว่านักเรียนที่สรุปผลถูก ต้องให้เหตุผลเลอะเลือนสับสน ถ้านักเรียนสองประเภทนี้ตอบข้อสอบแบบเลือกตอบ คนประเภทเเรกสอบตก แต่คนประเภทหลังกลับได้คะแนนสูง

(4) ข้อสอบประเภทนี้ละเลยต่อทักษะในการสื่อความหมาย สื่อสาร และการนำเสนอ
ทักษะการสื่อความหมาย สื่อสาร และการนำเสนอ ซึ่งต้องใช้ความสามารถทั้งการพูด อ่านและเขียน จำเป็นต้องมีการฝึกฝนอยู่เสมอ เมือข้อสอบเป็นปรนัยชนิดเลือกตอบเท่านั้น ก็จะมีอิทธิพลให้ผู้สอนไปในแนวซึ่งไม่เน้นถึงความสำคัญของทักษะเหล่านี้ มุ่งแต่เพียงให้ทราบข้อเท็จจริง อันเป็นการละเลยต่อทักษะชีวิตที่สำคัญในการดำรงอยู่ของมนุษย์


การใช้ข้อสอบประเถทเลือกตอบนั้นในบางสถานการณ์ก็มีความจำเป็น และมีประโยชน์มาก แต่ผู้ออกข้อสอบควรตระหนักถึงความวิบัติเสียหายที่อาจเกิดขึ้นได้ โดยหาทางที่จะทำให้เกิดข้อเสียหายต่อคุณภาพเชิงวิชาการทา่งคณิตศาสตร์ให้น้อยที่สุด ผู้สอนที่ไม่เข้าใจเนื้อหาวิชาอย่างถ่องแท้แล้วใช้ข้อสอบแบบเลือกตอบสามารถนำประเทศชาติไปสู่หายนะได้นะ...จะบอกให้...



หมายเหตุ
ปรัชญาการเรียนการสอนคณิตศาสตร์ สรุปเป็นแนวคิดสำคัญดังนี้

1. หลักการหรือกฏเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบันเป็นสิ่งที่นักคณิตศาสตร์ได้คิดค้นขึ้น การเรียนการสอนคณิตศาสตร์ควรหาแนวทางหรือชี้แนะให้นักเรียนได้ค้นพบหลักการต่าง ๆ อีกครั้งหนึ่ง
2. โดยธรรมชาติแล้วคณิตศาสตร์มีลักษณะเป็นนามธรรม การเรียนการสอนควรเริ่มจากความคิดรวบยอดที่เป็นรูปธรรมไปสู่นามธรรม
3. การสอนคณิตศาสตร์ควรมุ่งการประยุกต์ หรือการนำไปใช้

ด้วยความปราถนาดี

ครูพี

ครูคณิตนวกะดุจพระบวชใหม่

สารบัญบทความ
ดูชื่อเรื่องแล้วหลายท่านอาจจะฉงนสงสัยกันไปใหญ่กระมัง อะไรกันวะ "ครูนวกะ" พิมพ์ สะกดการันต์อะไรผิดไปหรือเปล่านี่ จริง ๆ แล้วมันก็เป็นเช่นชื่อเรื่องนั่นแหละ พระนวกะ ก็คือพระบวชใหม่ ครูนวกะที่ครูพีใช้ในที่นี้ก็คือครูมือใหม่ ครูฝึกสอน ครูฝึกหัด อะไรที่มันใหม่ซิง ๆ นี่มันล้วนตื่นเต้นทั้งนั้น แม้นจะมีปริยัติ หรือหลักทฤษฎีอยู่เต็มหัวก็ตาม เป็นพระก็เคอะเขิน ครองผ้าก็ไม่เรียบร้อย ออกบิณฑบาตก็ งก ๆ เงิ่น ๆ ท่องบทสวดอะไรยังไม่ได้ เวลาเข้าร่วมสังฆกรรมต่าง ๆ ก็ใช้ลูกก้มลูกเดียว ... ครูมือใหม่ก็เฉกเช่นเดียวกัน ยิ่งมีอาจารย์พี่เลี้ยง อาจารย์นิเทศกำลังสังเกตการสอนอยู่ด้วย น้ำลายมันเหนียว แขนขามันสั่นพันกันยุ่งไปหมด ... ขนาดติดสินบนเด็ก ๆ ไว้ล่วงหน้าแล้วนาว่าให้เรียบร้อย ตั้งใจเรียน....ให้ทุกอย่างผ่านไปด้วยดีแล้วจะมีรางวัล... นักศึกษาระดับปริญญาตรีสาขาคณิตศาสตร์ มีไฟต์บังคับคือต้องออกฝึกสอนจึงจะสำเร็จการศึกษาตามหลักสูตรได้ ...จากประสบการณ์การเป็นนักศึกษาฝึกสอน อาจารย์พี่เลี้ยง และอาจารย์นิเทศนักศึกษาที่ผ่านมา มีข้อบกพร่องบางประการในการสอนที่นักศึกษาควรแก้ไขดังต่อไปนี้

1. นักศึกษาไม่ทราบความเชื่อมโยงต่อเนื่องของเนื้อหาที่สอน นักศึกษาหลายคนเตรียมการสอนเฉพาะเรื่องที่จะสอนเท่านั้น ซึ่งไม่เป็นการเพียงพอเพราะสิ่งที่จะสอนใหม่ย่อมต้องสัมพันธ์กับสิ่งที่เรียนมาแล้ว และบางครั้งผู้เรียนไม่เข้าใจคำอธิบายของผู้สอนซึ่งอาจจะด้วยสาเหตุที่ไม่เข้าใจในแนวคิดเดิม ๆ ที่เรียนไปแล้ว เช่น ครูมือใหม่หลายคนเริ่มสอนด้วยทฤษฎีบทที่สิบขึ้นไป โดยที่ตนเองก็มิได้ทบทวนศึกษาเนื้อหาสาระทฤษฎีบทต้น ๆ ให้ถ่องแท้ ไม่ได้แสดงความสัมพันธ์ ความเชื่อมโยงต่อเนื่องระหว่างทฤษฎีเหล่านั้น เมื่อผู้เรียนถามปัญหาซึ่งต้องใช้ทฤษฎีตอนต้น ๆ มาใช้ก็ตอบหรือให้ความกระจ่างแก่ผู้เรียนไม่ได้ ทำให้ผู้เรียนขาดความเชื่อมั่นศรัทธาครูผู้สอน

2. ผู้สอนไม่สามารถตอบปัญหาที่ผู้เรียนถามได้ตรงจุด ถูกต้องและชัดแจ้ง ตัวอย่างเช่น ปัญหาเกี่ยวกับทฤษฎีที่ว่าด้ายการเท่ากันทุกประการของสามเหลี่ยมสองรูปว่า ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมีด้านที่เท่ากันสองด้าน ด้านต่อด้าน และมุมระหว่างด้านเท่าเท่ากัน แล้วสามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะเท่ากันทุกประการ (ด.ม.ด.) สิ่งที่สำคัญและควรระวังในที่นี้คือ มุมต้องอยู่ในระหว่างด้านเท่า ผู้เรียนหลายคนจะใช้ทฤษฎีบทนี้โดยไม่ระวัง ไม่ตระหนักถึงว่ามุมนั้นต้องเป็นมุมที่อยู่ระหว่างด้านที่เท่ากันหรือไม่ เมื่อครูมือใหม่ให้คำแนะนำติติงว่าผิด ผู้เรียนก็จะย้อนถามว่าทำไมถึงผิด และครูมักจะยกทฤษฎีขึ้นมาอธิบายชี้แจงซึ่งก็ไม่อาจสร้างความกระจ่างชัดในเหตุผลให้เกิดขึ้นแก่ผู้เรียนได้ ให้ทำโจทย์ปัญหาในลักษณะคล้ายคลึงกันก็ยังคงผิดตามเดิม เพียงแค่ครูมือใหม่สร้างรูปง่าย ....

สามเหลี่ยม ABC กับสามเหลี่ยม ABC1 มีด้านเท่ากันสองด้าน คือ AB เท่ากับด้าน AB (ด้านร่วม) ด้าน AC เท่ากับด้าน AC1 และมุมหนึ่งมุมเท่ากันคือ มุม B (มุมร่วม) ซึ่งผู้เรียนเห็นได้ชัดเจนว่าสามเหลี่ยมสองรูปนี้ไม่ใช่สามเหลี่ยมที่เท่ากันทุกประการ จะทำให้ตระหนักถึงความสำคัญของข้อความ "มุมในระหว่างด้านที่เท่ากัน" ได้อย่างแจ่มชัด
3. ครูมือใหม่ไม่ได้ใช้ความรู้วิชาคณิตศาสตร์ที่เรียนในระดับอุดมศึกษามาช่วยอธิบายเนื้อหาให้เข้าใจได้ง่าย และถูกต้องชัดเจน
เช่น เมื่อผู้เรียนเข้าใจว่า (a+1)/(a+1) = 0 ครูมือใหม่ไปอธิบายว่า "มันตัดกันไปได้หมด" และยกตัวอย่างประกอบให้เห็นเช่น 4/4
เป็น 1 มิใช่ 0 คำกล่าวที่ว่า "ตัดกันไปได้หมด" ยิ่งเป็นการตอกย้ำให้ผู้เรียนเข้าใจว่า (a+1)/(a+1) ควรเท่ากับ 0 ในเรื่องนี้นั้น เมื่อเราพิจารณาปัญหาแล้วจะเห็นว่าผู้เรียนไม่เข้าใจแนวคิดของการหารได้ดีพอ เราควรต้องอธิบายว่า
m/n = # หมายถึง m = n x # ดังนั้น
(a+1)/(a+1) = # หมายถึง a+1 = (a+1) x # นั่นคือ # ต้องเป็น 1

4. ครูมือใหม่ขาดความรู้รอบตัวที่เพียงพอ
ดังในสถานการณ์การสอนเกี่ยวกับเรื่องดอกเบี้ย มีครูบางคนกล่าวว่า "ถ้าใครให้นักเรียนยืมเงินแล้วคิดดอกเบี้ยทบต้น ถือว่าเป็นการเอาเปรียบ เห็นแก่ตัว ควรคิดดอกเบี้ยเชิงเดียว" แสดงว่าครูเข้าใจผิดในเรื่องนี้อย่างมาก เพราะการคิดดอกเบี้ยทบต้นนั้นเป็นการยุติธรรม และเป็นที่ยอมรับกันในวงการธุรกิจสากล ครูจะสอนเนื้อหาใด ควรจะมีความรู้ในวิชานั้น ๆ นอกเหนือจากในหนังสือเรียน

5. ครูมือใหม่ชอบยกตัวอย่างในหนังสือเรียน หรือพิสูจน์ตามหนังสือเรียน
ตัวอย่างใดที่มีอยู่ในหนังสือเรียนแล้วก็ควรให้ผู้เรียนได้ศึกษาด้วยตนเอง ตัวอย่างที่ผู้สอนจะยกมาแสดงควรเป็นตัวอย่างที่ครูคิดขึ้นมา หรือเอามาจากหนังสืออื่น เพราะจะช่วยให้ผู้เรียนมีความรู้หลากหลาย กว้างขวาง การยกตัวอย่างในหนังสือเรียนนอกจากจะเป็นการแสดงว่าครูไม่ได้ศึกษาค้นคว้าหาความรู้นอกเหนือไปจากหนังสือเรียนแล้ว ยังปลูกฝังนิสัยไม่ดีแก่เด็ก เพราะเมื่อครูอธิบายให้หมดแล้วเด็กก็ไม่จำเป็นต้องอ่านหนังสือเพิ่มเติมอะไรอีก นิสัยรักการอ่านซึ่งเป็นสิ่งที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งในการศึกษา ก็จะถูกละเลยมิได้ให้การส่งเสริมเท่าที่ควร

แต่อย่างไรก็ตามแม้นจะมีข้อบกพร่องเหล่านี้ ครูฝึกสอนส่วนมากก็มักจะสอนได้ดี ทั้งนี้เพราะมีความปราถนาดีต่อเด็ก มีจริยธรรมและจิตวิญญาณของครูเต็มเปี่ยม และพยายามปรับปรุงตนเองตลอดเวลา การให้ปัญญาย่อมได้ปัญญา ความรัก ปัญญา และเมตตาย่อมส่งผลให้ครูคณิตศาสตร์มือใหม่ได้ประสบผลสำเร็จที่ดีงามในปัจจับันและกาลอนาคตต่อไปอย่างแน่นอน


ด้วยความปราถนาดี

ครู PEE/

ความคงทนในการเรียนรู้/ความคงทนในการจำ

สารบัญบทความ

อนุสนธิจากการสอบเค้าโครงวิทยานิพนธ์ของนักศึกษาระดับปริญญาโทคณิตศาสตร์ศึกษา ที่วิจัยในเชิงเปรียบเทียบ ความคงทนในการเรียนรู้ (Retention) หรือ ความคงทนในการจำ จากการสอนโดยใช้นวัตกรรมที่แตกต่างกัน

ปัญหาของเรื่องนี้คือผู้วิจัยจะใช้วิธีการนำคะแนนเฉลี่ยผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนหลังสิ้นสุดการเรียนการสอนโดยใช้นวัตกรรมนั้น ๆ แล้วสองสัปดาห์ (อาจมากหรือน้อยกว่านี้) มาทดสอบนัยสำคัญตามระดับที่ตั้งไว้เพื่อการตัดสินใจว่าเป็นไปตามสมมุติฐานเกี่ยวกับความคงทนในการเรียนรู้ที่กำหนดไว้หรือไม่ ...เป็นการถูกต้องเหมาะสมหรือไม่...ซึ่งกรรมการที่ปรึกษาวิทยานิพนธ์ที่ทำหน้าที่เป็นกรรมการสอบเค้าโครงบางท่านมีความเห็นแย้งว่าการดำเนินการเช่นนั้นมันไม่น่าจะเป็นการวัีดความคงทนในการเรียนรู้ ที่ถูกต้องแล้วมันต้องวัดความคงทนในการเรียนรู้เฉพาะในแต่ละนวัตกรรมโดยการนำคะแนนเฉลี่ยหลังเรียนและหลังเรียนแล้ว 2 สัปดาห์ (หรือมากน้อยกว่านี้ตามเกณฑ์ที่ใช้เป็นหลัก) มาทดสอบเปรียบเทียบกันและตัดสินว่าในแต่ละวิธีนั้นมีความคงทนในการเรียนรู้จริงหรือไม่เท่านั้น การนำคะแนนเฉลี่ยหลังเรียนแล้วสองสัปดาห์ของแต่ละวิธีมาเปรียบเทียบกันแล้วตัดสินใจไปว่าวิธีใดมีความคงทนในการเรียนรู้มากน้อยกว่ากันเป็นการเปรียบเทียบความคงทนในการเรียนไม่ได้ เพราะคะแนนเฉลี่ยดังกล่าวมิใช่ตัวชี้วัดความคงทนในการเรียนรู้(ครูพีก็ไม่ทราบด้วยซิว่าทำไมไม่เป็น เพราะการคงความรู้ไว้ได้หลังจากการเรียนผ่านไปแล้ว จะไม่เรียกว่าความคงทนในการเรียนรู้หรือความคงทนในการจำแล้วก็ไม่รู้ว่าจะให้เรียกว่าอะไร) ตัวผู้สอบเค้าโครงฯเองซึ่งน่าจะเป็นผู้ที่รู้เรื่องราวของสิ่งที่ตนจะวิจัยได้ดีที่สุดกลับตอบคำถามแบบ อ้ำ ๆ อึ้ง ๆ หาเหตุผล หลักฐานมาชี้แจงอ้างอิงไม่ได้ แสดงให้เห็นว่าผู้วิจัยยังขาดการศึกษาเอกสารและงานวิจัยที่เกี่ยวข้องกับการวัดความคงทนในการเรียนรู้ในเชิงการเปรียบเทียบอย่างหลากหลาย เวลาสอบต้องมีความมั่นใจ สิ่งใดที่คิดว่ากรรมการสอบจะถามอาจจำเป็นต้องเตรียมเอกสารหลักฐานเพื่อการนำมาแสดงให้ประจักษ์ว่ากระบวนวิธีดังกล่าวนั้นได้มีการใช้ทั่วไปในแวดวงวิชาการในเรื่องนั้น ๆ เพราะกรรมการสอบเองถ้ามิใช่ผู้เชี่ยวชาญและเคยวิจัยในเรื่องในลักษณะเช่นนั้นมาย่อมสงสัย ใคร่ถามได้ ... ต้องเตรียมให้พร้อม...ในเรื่องนี้ผู้สอบเองต้องรู้เรื่องดีที่สุดและสามารถฝ่าด่านคำถามไปได้ด้วยความมั่นใจ ตอบโต้หักล้างด้วยเหตุผลเชิงวิชาการกับกรรมการผู้ทำการสอบได้ มิใช่เป็นนาย"ครับผม"ตลอดการสอบ แสดงให้เห็นความหน่อมแน๊มของเจ้าตัวอย่างน่าหมั่นไส้ ถูกรุกไล่จนแต้มบนเวที...ให้มันได้อย่างนี้ซิน่า!

มุมมองนี้ครูพีเห็นว่าการนำคะแนนเฉลี่ยหลังการเรียนสิ้นสุดลงแล้ว 2 สัปดาห์ (หรือต่างจากนี้) ของแต่ละนวัตกรรมมาเปรียบเทียบกันนั้นมันเป็นการถูกต้องแล้วเพราะถ้าเราพิจารณานิยามศัพท์เฉพาะที่ผู้วิจัยเปรียบเทียบความคงทนในการเรียนรู้ได้ตั้งไว้จะเป็น ดังนี้

ความคงทนในการเรียนรู้ หมายถึง ปริมาณความรู้ในการเรียนวิชาคณิตศาสตร์ที่นักเรียนยังสามารถระลึกได้จากคะแนนตอบแบบทดสอบวัดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนภายหลังการทดสอบ 2 สัปดาห์
....แต่ถ้าตั้งต่างจากนี้ ก็ตัวใครตัวมัน!

ถ้ากำหนดแนวคิดไว้เช่นนี้ก็คงไม่มีใครตีความกันไว้เป็นอย่างอื่น มันสามารถนำคะแนนเฉลี่ยหลังเรียนแล้ว 2 สัปดาห์ของแต่ละนวัตกรรมมาเปรียบเทียบกัน แล้วตัดสินเกี่ยวกับความคงทนในการเรียนรู้ได้อย่างแน่นอน และการนิยามศัพท์เฉพาะไว้เช่นนี้เป็นข้อกำหนดที่รับรู้กันโดยทั่วไปในวงการศึกษาวิจัยเกี่ยวกับการเปรียบเทียบความคงทนในการเรียนรู้หรือความคงทนในการจำ

ผู้อ่านที่สนใจอาจค้นคว้าศึกษาจากงานวิทยานิพนธ์ ปริญญาการศึกษามหาบัณฑิต มหาวิทยลัยขอนแก่น ปี 2541 เรื่อง "การเปรียบเทียบผลสัมฤทธิ์ทางการเรียน และความคงทนในการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ระหว่างวิธีสอนที่ใช้สิ่งช่วยจัดมโนมติล่วงหน้ากับการสอนตามปกติ ชั้นมัธยศึกษาปีที่ 1" ของรุ่งทิวา ศิริภักดิ์ ซึ่งมี รศ.ดร.เพ็ญณี แนรอท เป็นประธานกรรมการที่ปรึกษาฯ และ รศ.วิมล สำราญวานิช เป็นกรรมการที่ปรึกษาฯ ซึ่งมีในห้องสมุดมหาวิทยาลัยราชภัฏอุบลของเรา ยืมไปอ่านซะบ้างจะได้ชัดเจน มั่นใจ ขึ้น และยังมีงานวิจัยชิ้นอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้อีกหลายเล่ม ลองเข้าไปสืบค้นดู

"ค้นให้มาก อ่านให้มาก เมื่อรักจะทำอะไรให้ได้ดี งานวิจัยเป็นเรื่องของข้อเท็จจริง ตรรกะและเหตุผล มิใช่ความรู้สึกว่าน่าจะเป็นอย่างนี้ อย่างนั้น ทุกอย่างต้องมีหลักเกณฑ์อ้างอิงได้"



ด้วยความปราถนาดี

ครูพี/





ข้อคิด เพื่อสร้างเสริมคุณธรรมและสร้างสุขนิสัย

จงกำหนดเป้าหมายการทำงาน และเป้าหมายการศึกษา

ขอให้กำหนดเป้าหมายการทำงาน และเป้าหมายการศึกษา ทั้งระยะสั้นและระยะยาวแล้วเดินไปตามนั้น... เรือที่แล่นไปในทะเลโดยไร้เป้าหมายก็คงจะเคว้งคว้าง อัปปางกลางทะเล ไม่ถึงฝั่งแน่ ชีวิตที่ขาดเป้าหมายก็ยากที่จะประสบความสำเร็จได้ดังใจปราถนา...

ใหญ่ ๆ ตั้งไว้ให้หาเศษจะ get กันไหมนี่

สารบัญบทความ


เราสามารถประยุกต์เอาความรู้เกี่ยวกับ สมภาค(congruence) และสมบัติพื้นฐานของ
สมภาคมาใช้ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่ ๆ ได้ โดยพิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 1 จงหาเศษจากการหาร 7^10 ด้วย 51
วิธีทำ เราจะต้องหา x โดยที่ 7^10 ≡ x (mod 51) เมื่อ 0 ≤ x < 51
เนื่องจาก 7^2 ≡ -2 (mod 51) ดังนั้น (7^2)^5 ≡ (-2)^5 (mod 51) ≡ -32 (mod 51) และ
-32 ≡ 19 (mod 51) จะได้ 7^10 ≡ 19 (mod 51) แสดงว่าเศษที่ต้องการเป็น 19 □


ตัวอย่าง 2 จงหาเศษที่เกิดจากการหาร 2^11 ด้วย 23

วิธีทำ เราจะต้องหา x โดยที่ 2^11 ≡ x (mod 23) เมื่อ 0 ≤ x < 23
2^5 ≡ 9 (mod 23)
(2^5)^2 ≡ 9^2 (mod 23)
2^10 ≡ 81 (mod 23) และ 81 ≡ 12 (mod 23)
ดังนั้น 2^10≡ 12 (mod 23)
2 ≡ 2 (mod 23) จะได้ 2^11≡ 24(mod 23) และ 24≡ 1 (mod 23)
แสดงว่า 2^11 ≡ 1 (mod 23) ดังนั้นเศษที่ต้องการเท่ากับ 1 □


ตัวอย่าง 3 จงหาเศษจากการหาร 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 99! + 100! ด้วย 12
วิธีทำ เนื่องจาก 4! ≡ 0 (mod 12) , 5! ≡ 0 (mod 12) , ... , 100! ≡ 0 (mod 12)
จะได้ 4! + ... + 99! + 100! ≡ 0 (mod 12)
1! + 2! + 3! + 4! + ... + 99! + 100! ≡ (1! + 2! + 3!) (mod 12) ≡ (1+2+6) ≡ 9 (mod 12)

ดังนั้นเศษที่ต้องการ คือ 9 นั่นเอง #

แนวคิดเกี่ยวกับ สมภาคนี้ ครูผู้สอนระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ควรต้องสอนเสริมเพิ่มเติมเข้าไปในเนื้อหาเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 ก็จะเป็นการติดปีกทางปัญญา เพิ่มมุมมองการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์แก่ลูกศิษย์ได้มากยิ่งขึ้น แต่อย่างไรก็ตามครูผู้สอนก็ต้องฝึกวิทยายุทธให้เจนจบครบเครื่องก่อนนะครับ ...ตกม้าตายก็ตัวใครตัวมันก็แล้วกัน

หมายเหตุ
ความสัีมพันธ์ "สมภาค" มอดุโล m จะมีสมบัติเป็น ความสัมพันธ์ชนิดสมมูล นั่นคือ มีสมบัติ สะท้อน สมมาตร และถ่ายทอด และสมบัติบางอย่างที่เหมือนกับสมการ คือ การบวก ลบ คูร ด้วยจำนวนที่เท่ากัน และการยกกำลัง


ด้วยความปราถนาดี

ครูพี/

ข้อคิด

เมื่อทำงาน หรือเรียนต้องตั้งใจทำให้ดีที่สุด



เมื่อทำงานให้แก่หน่วยงานหรือบริษัทใดให้ทำให้ดีที่สุดอย่างสุดความสามารถ สุดจิตสุดใจ เมื่อเรียนหนังสือก็เช่นเดียวกัน ให้ตั้งใจมั่นและขยันหมั่นเพียร ทุ่มเททุกอย่างให้กับการเรียนรู้ ถ้าเธอทำได้เธอจะได้รับดอกผลตอบแทนในภายหน้า เพราะการทุ่มเทในวันนี้ก็คือการลงทุนของเธอสำหรับวันหน้านั่นเอง...

หอ รอ มอ ...ผิดกันให้พอ

สารบัญบทความ

อนุสนธิจากการสอบกลางภาค (Midterm) วิชา ทฤษฎีจำนวน (Theory of Number) ของนักศึกษาป.ตรี ที่ครูพีสอนในภาคเรียนที่ 2/53 ซึ่งผู้เรียนได้ผ่านการศึกษา นิยาม ทฤษฏีเกี่ยวกับ การหารลงตัว ตัวหารร่วมมาก และตัวคูณร่วมน้อยมาแล้ว โดยครูพีได้กำหนดโจทย์ข้อสอบข้อหนึ่งว่า

"จงแสดงวิธีการหาจำนวนเต็มบวกที่มีค่ามากที่สุดซึ่งหาร 157, 141 และ 109 แล้วเหลือเศษเท่ากัน"

นักศึกษาเข้าสอบเกือบร้อยคน มีเพียง 1 คนเท่านั้นที่พอแสดงวิธีการ ที่มาที่ไปของกระบวนการได้ พอมีเหตุมีผล... นอกนั้นศูนย์! ครับท่าน! มันจะอะไรขไหนหนาดพ่อคุณแม่คุณ...โจทย์แบบนี้มีเห็นกันอยู่เกลื่อนกล่นทั่วไปในข้อสอบเกี่ยวกับการประยุกต์ ห.ร.ม. บางคนรู้ว่าจะทำอย่างไร แต่ไร้เหตุผลที่จะนำแจ้งแถลงไขให้ชัดเจนได้ว่าทำไมต้องทำเช่นนั้น จึงทำได้เพียงใช้วิธีจับคู่ลบกัน(ใหญ่ตั้ง เล็กลบ)ให้ครบคู่เพื่อดูความสัมพันธ์ดังนี้ 157 - 141 = 16, 157 - 109 = 48 และ 141-109 = 32 แล้ว นำผลที่ได้คือ 16, 48 และ 32 มาหา ห.ร.ม. เป็น 16 แล้วบอกเป็นคำตอบออกมา ...ใช่มันเป็นคำตอนที่ถูกต้องของโจทย์ข้อนี้ ...ก็พอมีคะแนนให้บ้าง แต่วัตถุประสงค์ของโจทย์ต้องการให้ชี้แจงแสดงเหตุผลถึงที่มาที่ไปโดยประยุกต์แนวคิดเกี่ยวกับการหารมาแก้ปัญหา ไม่ใช่ให้ใช้วิชามารโดยไม่รู้ที่ไปที่มา ...จำมาอย่างนี้นี่นา...เคล็ดลับตลอด...มันเป็นคณิตศาสตร์แบบไสยศาสตร์ไหมนี่ ?

วิธีทำ หรือ กระบวนการที่ถูกต้องเป็นดังนี้

สมมุติ x เป็นจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดที่หารทั้งสามจำนวนที่กำหนดให้ แล้วเหลือเศษ r เท่ากัน แล้วใช้ทฤษฎีบทที่ชื่อ Division Algorithm หรือ Euclidean Algorithm สรุปในรูปแบบ ตัวตั้ง เท่ากับ ตัวหารคูณผลลัพธ์ บวก เศษ โดยเศษนั้นต้องไม่ติดลบ และน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร นั่นคือ

157 = xq + r , 0 ≤ r <|x|=x → r = 157 - xq ...... (1)
141 = xt + r , 0 ≤ r <|x|=x → r = 141 - xt ...... (2)
109 = xs + r , 0 ≤ r <|x|=x → r = 109 - xs ...... (3)

ดำเนินการต่อไปโดย

(1)-(2) จะได้ 0 = 16 - xq + xt → 16 = xq - xt = x(q-t) แสดงว่า x | 16
(1)-(3) จะได้ 0 = 48 - xq + xs → 48 = xq - xs= x(q-s) แสดงว่า x | 48
(2)-(3) จะได้ 0 = 32 - xt + xs → 32 = xt - xs = x(t-s) แสดงว่า x | 32

จากผลดังกล่าวนี้จะเห็นว่า x ต้องเป็นตัวหารร่วมของ 16, 48 และ 32 ที่สำคัญที่สุดคือ x ต้องเป็นตัวหารร่วมที่มากที่สุดด้วย นั่นคือ x = (16, 48, 32) = 16 เป็นจำนวนตามต้องการ that you see!

อนาคตครูคณิตทั้งหลาย ควรเข้าใจอย่างลึกซึ้งในกระบวนการนี้ เพราะคุณต้องเอาไปสอนเขา .....Are you get it ! ?


ด้วยความปราถนาดี ครูพี

สวดมหาพุทธมนต์ทุกวัน แล้วฝันจะเป็นจริง : "นัมเมียว โฮเร็ง เงเคียว "




ข้อคิด เพื่อชีวิตที่มีค่า

แบ่งเวลาพักผ่อนโดยการไปดูการแสดงละคร นิทรรศการศิลปะหรืออื่น ๆ บ้าง
หาเวลาไปดูการละเล่นบ้างหรือไปดูการแสดงละคร ดนตรี การแสดงพื้นบ้าน นิทรรศการศิลปะ ตามที่ตัวเองนิยมชมชอบ สิ่งเหล่านี้เป็นอาหารของจิตใจ ผูกพันเธอกับสุนทรียะของสิ่งที่ศิลปินสรรค์นฤมิตขึ้นมา เธออาจค้นพบสัจธรรมแห่งชีวิตที่ลิขิตจากงานศิลปะเหล่านี้ก็เป็นได้

เศษ กับ เศษตกค้าง มันต่างกันไหมนี่

สารบัญบทความ

ครูพีต้องเผชิญกับวิบากกรรม เพื่อทำให้ลูกศิษย์ get กับ concept ของคำว่า "เศษ" และ "เศษตกค้าง" ครั้งแล้วครั้งเล่า ซ้ำ ๆ และ ซาก ๆ พูดแล้วพูดอีก เอาแล้วเอาอีก คนที่ไม่รู้มันก็ยังคง say "์No" อยู่เหมือนเดิม จะไม่รู้เสียอย่าง ใครจะทำไม? คนรู้แล้วก็สุดจะเซ็ง...แล้วมันจะสอนโดยยึดผู้เรียนเป็นสำคัญได้อย่างไรวะนี่....บนเวทีที่มีทั้งเต่าและกระต่าย ...เฮ้อ! กรรมของตู แท้ ๆ...

เราจะว่าด้วยเรื่องแนวคิดของคำว่า "เศษ" ซึ่งฝรั่งเรียกว่า Remainder ในทฤษฎีจำนวนได้ระบุเรื่องนี้ ความปรากฏอยู่ใน "ขั้นตอนวิธีการหาร หรือทฤษฎีบทพื้นฐานของยุคลิด (Division Algorithm or Fundamental Theorem of Euclid)" มีรายละเอียดดังนี้

"ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 แล้วจะมีจำนวนเต็มเพียงคู่เดียว(unique) คือ q และ r โดยที่ a = bq+r เมื่อ 0≤r<|b|" เรียก a ว่า ตัวตั้ง เรียก b ว่าตัวหาร (ต้องไม่เป็น 0) เรียก q ว่าผลลัพธ์ หรือ ผลหาร และเรียก r ว่า เศษ


สมการเกี่ยวกับการหารตามทฤษฎีนี้ ที่จริงแล้วมันมิใช่ของใหม่ ใคร ๆ ก็รู้กันทั้งนั้นว่า ตัวตั้ง เท่ากับตัวหารคูณผลลัพธ์บวกเศษ ใครไม่รู้ก็บ้าแล้วโว้ย! เพียงช่วงนั้นยังไม่ได้เน้นย้ำเรื่องเศษที่ได้จากการหาร เพราะกล่าวถึงการหารจำนวนโดยทั่วไป

ใครสนใจรายละเอียดของการพิสูจน์ก็ไปค้นคว้าศึกษาเพิ่มเติมจากหนังสือทฤษฎีจำนวน ซึ่งมีผู้รู้ได้เขียนไว้หลายท่าน สิ่งที่ครูพีต้องการเน้นย้ำทำความเข้าใจกับผู้ศึกษาเรื่องนี้ คือ ตัวเศษที่เกิดขึ้นจากการหารนั้นมันต้องไม่ติดลบ เป็นศูนย์ได้ในกรณีหารลงตัว และจุดสำคัญคือ ค่าของเศษต้องน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหารเสมอ ในที่นี้ครูพีจขอแจงประเด็นให้เห็นเป็นกรณี ๆ ไป ดังนี้

กรณี 1 เมื่อตัวตั้ง และ ตัวหาร เป็น จำนวนเต็มบวก
1.1 a > b เช่น a = 9 , b=5 → 9 = 5(1) + 4 เมื่อ 0 ≤ 4 < |5| = 5 ผลลัพธ์ คือ 1 เศษ คือ 4 1.2 a = b เช่น a = 9 , b=9 → 9 = 9(1) + 0 เมื่อ 0 ≤ 0 < |9| = 9 ผลลัพธ์ คือ 1 เศษ คือ 0 เป็นการหารลงตัว 1.3 a < a =" 5" b="9" 5 =" 9(0)" a =" 0" b =" 7" 0 =" 7(0)" a =" -11," b =" -7" 11 =" (-7)(2)" a="-14" b =" 6" 14 =" (6)(-3)" style="font-weight: bold;">"เศษตกข้าง(Residue)" เรื่องนี้มันเกี่ยวของกับ แนวคิดของสมภาค(congruence) นั่น คือ
a ≡ r(mod m) จะกล่าวว่า r เป็นเศษตกค้าง modulo m โดยที่ a, r เป็น จำนวนเต็ม และ m є Z+ นั่นก็แสดงว่า เศษตกข้าง r อาจเป็นจำนวนเต็บลบ ก็ได้ อนึ่งถ้าเศษตกข้าง r เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบ และน้อยกว่า m แล้ว เศษตกค้างก็ย่อมเท่ากับเศษที่เกิดจากการหาร a ด้วย m หรือ r ด้วย m เช่น 17 ≡ 3(mod 7) จะเห็นว่าเศษตกค้าง 3 ของ 17 mod 7 จะเท่ากับ เศษที่เกิดจากการหาร 17 ด้วย 7 ....เอวังก็มีด้วยประการฉะนี้


หมายเหตุ

1) a ≡ r(mod m) ↔ m | a - r ↔ a - r = mq เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม

2) เศษที่เกิดจากการหารด้วย m มี m ตัว คือ 0, 1, 2, ..., m-1

3) a ≡ r(mod m) จะได้ เศษที่เกิดจากการ a ด้วย m เท่ากับเศษที่เกิดจากการหาร r ด้วย m




ด้วยความปราถนาดี
ครูพี





"นัมเมียว โฮเร็ง เงเคียว"
มหาพุทธมนต์คุ้มครองทุกคน


ข้อคิด ดี ๆ
ความใกล้ชิดเป็นญาติอย่างยิ่ง

ไม่ว่าเธอจะไปทำอะไรหรืออยู่ที่ไหน ขอให้ถือเป็นกิจวัตรที่จะติดต่อพูดจาหรือเขียนจดหมายถึงพ่อแม่ พี่น้องและเพื่อนสนิท และแสดงความรักของเธอที่มีต่อเขาเหล่านั้นให้ประจักษ์ จงทำอย่างสม่ำเสมอ "ความใกล้ชิดเป็นญาติอย่างยิ่ง" การห่างเหินทำให้ญาติมิตรเหมือนคนแปลกหน้า

ผลแบ่งกั้น...มันมีแค่นี้!?

สารบัญบทความ

ช่วงเวลา 8.00 - 9.00 ครูพีสอนวิชาทฤษฎีจำนวนของนักศึกษาระดับปริญญาตรี มีข้อมูลเก็บตกที่น่าสนใจและคิดได้ในช่วงนั้นจึงขอบันทึกไว้เพื่อเตือนความจำหรืออาจมีใครใคร่รู้ และหรือจะแชร์มุมมองก็ยินดีรับฟัง

เรื่องที่จะกล่าวถึงนี้คือแนวคิดเกี่ยวกับ "ผลแบ่งกัน" (Partition) นั่น คือ เซต P จะเป็นผลแบ่งกั้นของเซต A เมื่อ A ไม่เป็นเซตว่างก็ต่อเมื่อ เซต P ประกอบด้วยสมาชิกซึ่งแต่ละตัวต้องเป็นเซตย่อยของ A และไม่เป็นเซตว่าง อินเตอร์เซกชันของสองเซตใด ๆ ใน P เป็นเซตว่าง และยูเนียนของทุกเซตใน P จะต้องเท่ากับเซต A เสมอ โดยแนวคิดนี้จึงเสมือนมีผลแบ่งกั้นของ Z เพียง 2 เซตเท่านั้น คือ
P1 = { E, O } และ P2 = { Z-, Z0, Z+ } ในเบื้องต้นมันก็มองเห็นเพียงสองผลแบ่งกั้นนี้จริง ๆ แต่เมื่อพิจารณาในขอบเขตแนวคิดของสมภาค(congruence) มอดุโล m เมื่อ m เป็นจำนวนเต็มบวกแล้วจะสามารถสร้างผลแบ่งกั้นของ Z ได้มากมายไม่จำกัด ตัวอย่าง เช่น

ในมอดุโล 3 เศษที่เกิดจากการหารจำนวนเต็มใด ๆ ด้วย 3 มี 3 ตัว คือ 0, 1, 2
( เศษที่เกิดจากการหารจำนวนเต็มด้วย m มี m จำนวน คือ 0, 1, 2, ..., m-1 )

พิจารณา
เซตของจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 เศษ 0 แทนด้วย [0] = {...,-6, -3, 0, 3, 6, ... }
เซตของจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 เศษ 1 แทนด้วย [1] = {...,-5, -2, 1, 4, 7, ... } และ
เซตของจำนวนเต็มที่หารด้วย 3 เศษ 2 แทนด้วย [2] = {...,-4, -1, 2, 5, 8, ... }

ถ้าให้ P = { [0], [1], [2] } จะเห็นว่า P เป็นผลแบ่งกั้นของ Z เช่นกัน สังเกตได้โดยทุก ๆ สมาชิกใน P ไม่เป็นเซตว่าง และต่างก็เป็นเซตย่อยของ Z และไม่มีเซตสองคู่ใน P ที่ต่างกันมีสมาชิกร่วม และเมื่อนำทั้งเซตทั้งหมดมายูเนียนกันก็จะได้เท่ากับเซต Z พอดี

ในลักษณะเดียวกันนี้เราจะสามารถสร้างผลแบ่งกั้นขึ้นมาจากมอดุโล m ใด ๆ ได้อีกมากมาย

ความคิดเชื่อมโยง concept ในเนื้อหาคณิตศาสตร์ต่าง ๆ จะทำให้การเรียนคณิตศาสตร์มีชีวิตชีวา และมีความหมายมากขึ้น มุมมองอะไรที่เราสังเกตเห็นในเนื้อหาต่าง ๆ ที่ไม่ได้เขียนไว้ในเนื้อหาสาระตรง ๆ ของรายวิชานั้น ผู้สอน และ/หรือ ผู้เรียนควรบันทึกเก็บไว้เพื่อเพิ่มมุมมองให้ตนเอง หรือเป็นกิจกรรมเสริมเพิ่มเติมให้เเก่ผู้เรียนก็น่าจะเป็นอานิสงส์ และเป็นการพัฒนาเนื้อหาวิชาให้มีคุณค่ามากจริงขึ้น หรือคุณว่าไม่จริง



ด้วยความปราถนาดี

ครูพี/

พระพุทธองค์คุ้มครอง : "นัมเมียว โฮเร็ง เงเคียว"



สุดยอด VDO ฝึกสติแบบเคลื่อนไหว กำลังใจ ดี ๆ จากบล็อกครูพี
คัดสรรกลั่นกรองเพื่อคุณทุกคนที่เข้าเยี่ยมชม โปรดลิงค์ ! ครับท่าน