เอกลักษณ์ ..... & .... ผลการสอบMID/FIN วิชา MATH 1

เอกลักษณ์ของระบบคณิตศาสตร์(Mathematical System) หรือ
ระบบพีชคณิต(Algebraic System)
   
        สวัสดีครับ ขอต้อนรับชาวเน็ตทุกท่านที่แวะเข้ามาเยี่ยมชม    ครูพีผู้เขียนบล็อกเองช่วงนี้ก็ไม่ค่อยได้เข้ามา update ข้อมูลสักเท่าไหร่เว้นไว้จะมีมูลเหตุจูงใจบางประการทางด้านคณิตศาสตร์ที่เห็นว่ามีประโยชน์ และจำเป็นต้องบันทึกไว้ให้ลูกหลาน และ/หรือ เพื่อนบ้านได้ตระหนักรู้เพื่อเพิ่มแง่คิด มุมมอง ข้อสังเกตที่จะผ่านไปไม่ได้เด็ดขาด

        สืบเนื่องจากการสอบ Midterm ที่ผ่านมาสำหรับนักศึกษาปริญญาโทคณิตศาสตรศึกษา ที่เรียนวิชาคณิตศาสตร์ 1 กับครูพี มีโจทย์อยู่ข้อหนึ่ง ที่กำหนดให้มีการตรวจสอบระบบคณิตศาสตร์  (R, *) บนกติกาว่า  a*b = 2a + 2b สำหรับทุก ๆ a, b ที่เป็นสมาชิกของ R  ว่าเป็นระบบที่มีเอกลักษณ์ (Identity) ภายใต้การดำเนินการ "*" หรือไม่  ซึ่งผู้สอบหลายท่านได้แสดงวิธีทำดังนี้

        สมมุติ  e เป็นเอกลักษณ์ภายใต้ * จะได้
       a*e = a   เมื่อ a เป็นสมาชิกใด ๆ ของ R
2a + 2e  =  a
         2e =  -a
           e =  -a/2
ดังนั้นระบบ (R, *) มีเอกลักษณ์ คือ -a/2

        ถ้าไม่เฉลียวใจเลยก็ดูเหมือนว่าตัวเองทำถูก  กลับบ้านคงนอนหลับฝันดีกระมัง แต่โทษที คะแนนในประเด็นนี้เป็นศูนย์แน่นอน  สงสัยไหมล่ะ ?   ด้วยเหตุที่เอกลักษณ์ คือความเป็นหนึ่ง ในระบบมันต้อง Unique คือมีเพียงตัวเดียวเท่านั้น      จากผลที่ได้ข้างบน  ลองให้ a = 6 จะได้เอกลักษณ์เป็น -6/2 = -3,   ถ้า a = -8 ก็จะได้เอกลักษณ์เป็น -(-8)/2 = 4  ซึ่งจะเกิดเอกลักษณ์ตามสูตรที่คำนวณได้มากมายไม่จำกัด อันขัดกับบทนิยามของเอกลักษณ์แน่นอน    ดังนั้นถือว่าระบบ (R, *) ไม่มีเอกลักษณ์  เมื่อไม่มีเอกลักษณ์แล้วย่อมส่งผลต่อสมบัติการมีอินเวอร์สตามมาอย่างหลีกเลี่ยงมิได้   ทั้งนี้เนื่องจากสมบัติการมีอินเวอร์สนั้นจะต้องกล่าวถึงผลที่ได้จากการโอเปอเรตกันระหว่างสมาชิกคู่อินเวอร์สต้องเท่ากับเอกลักษณ์  

        นั่นย่อมแสดงว่าระบบคณิตศาสตร์ หรือระบบพีชคณิตใดก็ตามที่ไม่มีเอกลักษณ์ ระบบนั้นย่อมไม่มีอินเวอร์สแน่นอน  ฟันธง!   ดังนั้นผู้ตอบในสถานการณ์ของโจทย์ที่กล่าวมานั้นอันหลงเข้าใจผิดไปว่า
 -a/2 เป็นเอกลักษณ์ จึงทำให้นำผลที่ได้นั้นไป Process หาอินเวอร์สต่อไป เมื่อเหตุมันผิด ผลที่ดูเหมือนจะมีเหตุมีผลมันย่อม Error แน่นอน  ถึงจะคำนวณผลได้มาก็ต้องได้คะแนน 0 ไปโดยไม่ต้องสงสัย  เอวังก็มีด้วยประการฉะนี้

        จะสังเกตว่าผลจากการคำนวณภายใต้การดำเนินการของระบบที่ให้มา ถ้าคำนวณเอกลักษณ์ออกมาได้เป็นค่าคงที่ หรือตัวคงค่าแล้ว ค่าดังกล่าวนั้นเป็นเอกลักษณ์แน่นอน   เมื่อระบบมีเอกลักษณ์แล้วค่อยนำเอกลักษณ์ที่ได้ไป Process หาอินเวอร์สของสมาชิกแต่ละตัวได้ต่อไป

        ในประเด็นนี้ผู้สอนจะต้องย้ำเน้นความเป็น Unique ของเอกลักษณ์ให้ชัดเจแก่ผู้เรียน  ยกตัวอย่างเช่นในระบบ (R, +) เอกลักษณ์คือ 0 มีเพียง 1 เดียวเท่านั้น  หรือระบบ(R, x) เอกลักษณ์คือ 1 เพียงตัวเดียวเท่านั้น


ด้วยความปราถนาดี

ครูพี


LINK :
ผลการสอบกลางภาค
ป.โท ภาคพิเศษ
MATH 1


ผลการสอบปลายภาค



สารบัญบทความ