เศษส่วนย่อยที่คล้อยตามเศษส่วน

ในหลาย ๆ สถานการณ์ของโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเศษส่วนที่ผู้แก้โจทย์จำเป็นต้องกระจายเศษส่วนให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อยของมันจึงจะสามารถมองเห็นโครงสร้างซึ่งเป็นรูปแบบที่จะนำไปสู่ผลลัพธ์ตามที่ต้องการได้ ตัวอย่างเช่นโจทย์เกี่ยวกับการหาผลบวกของอนุกรมซึ่งแต่ละเทอมอยู่ในรูปเศษส่วน ถ้าไม่แปลงให้อยู่ในรูปเศษส่วนย่อยแล้วก็ไม่มีทางที่จะกำหนดผลบวกย่อยของอนุกรมนั้นได้เลย
ดังนั้นวันนี้ครูพีจึงขอนำเรื่องราวเหล่านี้มาเล่าสูกันฟังหวังว่าคงเป็นประโยชน์แก่ผู้สนใจคามสมควร

การกระจายเศษส่วนเป็นเศษส่วนย่อย
สูตร
กำหนด m และ x เป็นจำนวนเต็มบวก
m / x(x + m) = 1/x - 1/(x + m)
[ เนื่องจาก (x + m) - x = m ]

การพิจารณาที่มาของสูตรอาจพิจารณาจากกรณีตัวอย่างดังต่อไปนี้

1 / (3 x 4) = 1/3 - 1/4

4 / ( 5 x 9 ) = 1/5 - 1/9

6 / (6 x 12) = 1/6 - 1/12

จึงสรุปเป็นสูตรได้ว่า
เศษส่วนใดที่ผลต่างของตัวประกอบของส่วนเท่ากับเศษ จะสามรถกระจายเศษส่วนนั้นเป็นเศษส่วนย่อยได้ทันที กล่าวคือ

m / x(x + m) = 1/x - 1/(x + m)
[ เนื่องจาก (x + m) - x = a ]

ตัวอย่างโจทย์
ตัวอย่าง 1 จงหาผลบวกของ 1/(1x2) + 2/(2x4) + 3/(4x7) + 4/(7x11)
วิธีทำ ให้ s = 1/(1x2) + 2/(2x4) + 3/(4x7) + 4/(7x11)
เนื่องจาก ผลต่างของตัวประกอบของส่วนของแต่ละเทอมต่างก็เท่ากับ 1 ตรงกับเศษพอดี ดังนั้นจะสามารถแยกเศษส่วนในแต่ละเทอมเป็นเศษส่วนย่อยได้ทันที ดังนี้
s = (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/4) + (1/4 - 1/7) + (1/7 - 1/11)
= (1/1 - 1/11) = 10/11 #

ตัวอย่าง 2 จงหาผลบวกของ 1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)
วิธีทำ ผลต่างของตัวประกอบของส่วนเป็น 2 ทุกจำนวน ดังนั้นต้องทำตัวเศษของแต่ละเทอมเป็น 2
ให้ s = 1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)
= (2/2) [1/(1x3) + 1/(3x5) + 1/(5x7) + 1/(7x9) + 1/(9x11)]
= (1/2) [2/(1x3) + 2/(3x5) + 2/(5x7) + 2/(7x9) + 2/(9x11)]
= (1/2) [ (1/1 - 1/3) + ( 1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + (1/7 - 1/9) + (1/9 - 1/11) ]
= (1/2) [ 1/1 - 1/11]
= 5/11 #

ตัวอย่าง 3 จงหาค่าของ 1/(a)(a+1) + 2/(a + 1)(a + 3) + 3/(a + 3)(a + 6) + 4/(a + 6)(a + 10)
วิธีทำ ให้ s = 1/(a)(a+1) + 2/(a + 1)(a + 3) + 3/(a + 3)(a + 6) + 4/(a + 6)(a + 10)
= [(1/a) - 1/(a+1)] + [1/(a+1) - 1/(a+3)] + [1/(a+3) - 1/(a+6)] + [1/(a+6) - 1/(a+10)]
= 1/a - 1/(a+10)
= 10 / a(a+10) #

ตัวอย่าง 4 จงหาค่าของ 1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/(13x14x15)
วิธีทำ ให้ s = 1/(1x2x3) + 1/(2x3x4) + 1/(3x4x5) + ... + 1/(13x14x15) ..........(1)
ผลต่างระหว่างพจน์หลังสุดและพจน์แรกของตัวส่วนของทุกเศษส่วนเท่ากันหมดคือ 3-1 = 2, 4 - 2 = 2, 5 - 3 = 2, ... ,15 - 13 = 2
2x(1) จะได้ 2s = 2/(1x2x3) + 2/(2x3x4) + 2/(3x4x5) + ... + 2/(13x14x15)
= [1/(1x2) - 1/(2x3)] + [1/(2x3) - 1/(3x4) ] + [1/(3x4) - 1/(4x5)] + ... + [1/(13x14) - 1/(14x15) ]
= 1/(1x2) - 1/(14x15)
= (105 - 1) / 210
= 104 / 210
= 52/105

ดังนั้น s = 26/105 #

ตัวอย่าง 5 จงหาค่าของ
1/[x(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)(x+3)] + ... + 1/[(x+2)(x+3)(x+4) + 1/[(x+3)(x+4)(x+5)
วิธีทำ ให้ s = 1/[x(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)(x+3)] + 1/[(x+2)(x+3)(x+4) ] + 1/[(x+3)(x+4)(x+5)]
2s = 2/[x(x+1)(x+2)] + 2/[(x+1)(x+2)(x+3)] + 2/[(x+2)(x+3)(x+4) ] + 2/[(x+3)(x+4)(x+5)]
= 1/[x(x+1)] - 1/[(x+1)(x+2)] + 1/[(x+1)(x+2)] - 1/[(x+2)(x+3)] + ... + 1/[(x+3)(x+4)] - 1/[(x+4)(x+5)]
= 1/[x(x+1)] - 1/[(x+4)(x+5)]
= ( 8x + 20 ) / [x(x+1)(x+4)(x+5)]
= 4(2x + 5) / [x(x+1)(x+4)(x+5)]

s = 2(2x + 5) / [x(x+1)(x+4)(x+5)] #


เอวังก็มีด้วยประการฉะนี้

ด้วยความปราถนาดี
ครูพี

"เอื้อเฟื้อเผื่อแผ่ รู้จักเพียงพอ"
ในขณะที่ใช้เส้นทางอันคับแคบอยู่นั้น ต้องรู้จักเผื่อแผ่ทางเดินให้ผู้อื่นใช้ด้วย ในยามที่ได้ลิ้มรสชาติอันเอร็ดอร่อยอยู่นั้น ต้องรู้จักแบ่งปันให้ผู้อื่นได้ลิ้มชิมบ้างเช่นนี้จึงจักเป็นวิธีการหาความสุขจากการใช้ชีวิตที่ดีที่สุด

จาก ... คัมภีร์รากผัก

เกร็ดคำทำนาย
กลั่นธรรม