สารบัญบทความ
ครูพีต้องเผชิญกับวิบากกรรม เพื่อทำให้ลูกศิษย์ get กับ concept ของคำว่า "เศษ" และ "เศษตกค้าง" ครั้งแล้วครั้งเล่า ซ้ำ ๆ และ ซาก ๆ พูดแล้วพูดอีก เอาแล้วเอาอีก คนที่ไม่รู้มันก็ยังคง say "์No" อยู่เหมือนเดิม จะไม่รู้เสียอย่าง ใครจะทำไม? คนรู้แล้วก็สุดจะเซ็ง...แล้วมันจะสอนโดยยึดผู้เรียนเป็นสำคัญได้อย่างไรวะนี่....บนเวทีที่มีทั้งเต่าและกระต่าย ...เฮ้อ! กรรมของตู แท้ ๆ...
เราจะว่าด้วยเรื่องแนวคิดของคำว่า "เศษ" ซึ่งฝรั่งเรียกว่า Remainder ในทฤษฎีจำนวนได้ระบุเรื่องนี้ ความปรากฏอยู่ใน "ขั้นตอนวิธีการหาร หรือทฤษฎีบทพื้นฐานของยุคลิด (Division Algorithm or Fundamental Theorem of Euclid)" มีรายละเอียดดังนี้
"ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ≠ 0 แล้วจะมีจำนวนเต็มเพียงคู่เดียว(unique) คือ q และ r โดยที่ a = bq+r เมื่อ 0≤r<|b|" เรียก a ว่า ตัวตั้ง เรียก b ว่าตัวหาร (ต้องไม่เป็น 0) เรียก q ว่าผลลัพธ์ หรือ ผลหาร และเรียก r ว่า เศษ
สมการเกี่ยวกับการหารตามทฤษฎีนี้ ที่จริงแล้วมันมิใช่ของใหม่ ใคร ๆ ก็รู้กันทั้งนั้นว่า ตัวตั้ง เท่ากับตัวหารคูณผลลัพธ์บวกเศษ ใครไม่รู้ก็บ้าแล้วโว้ย! เพียงช่วงนั้นยังไม่ได้เน้นย้ำเรื่องเศษที่ได้จากการหาร เพราะกล่าวถึงการหารจำนวนโดยทั่วไป
ใครสนใจรายละเอียดของการพิสูจน์ก็ไปค้นคว้าศึกษาเพิ่มเติมจากหนังสือทฤษฎีจำนวน ซึ่งมีผู้รู้ได้เขียนไว้หลายท่าน สิ่งที่ครูพีต้องการเน้นย้ำทำความเข้าใจกับผู้ศึกษาเรื่องนี้ คือ ตัวเศษที่เกิดขึ้นจากการหารนั้นมันต้องไม่ติดลบ เป็นศูนย์ได้ในกรณีหารลงตัว และจุดสำคัญคือ ค่าของเศษต้องน้อยกว่าค่าสัมบูรณ์ของตัวหารเสมอ ในที่นี้ครูพีจขอแจงประเด็นให้เห็นเป็นกรณี ๆ ไป ดังนี้
กรณี 1 เมื่อตัวตั้ง และ ตัวหาร เป็น จำนวนเต็มบวก
1.1 a > b เช่น a = 9 , b=5 → 9 = 5(1) + 4 เมื่อ 0 ≤ 4 < |5| = 5 ผลลัพธ์ คือ 1 เศษ คือ 4 1.2 a = b เช่น a = 9 , b=9 → 9 = 9(1) + 0 เมื่อ 0 ≤ 0 < |9| = 9 ผลลัพธ์ คือ 1 เศษ คือ 0 เป็นการหารลงตัว 1.3 a < a =" 5" b="9" 5 =" 9(0)" a =" 0" b =" 7" 0 =" 7(0)" a =" -11," b =" -7" 11 =" (-7)(2)" a="-14" b =" 6" 14 =" (6)(-3)" style="font-weight: bold;">"เศษตกข้าง(Residue)" เรื่องนี้มันเกี่ยวของกับ แนวคิดของสมภาค(congruence) นั่น คือ
a ≡ r(mod m) จะกล่าวว่า r เป็นเศษตกค้าง modulo m โดยที่ a, r เป็น จำนวนเต็ม และ m є Z+ นั่นก็แสดงว่า เศษตกข้าง r อาจเป็นจำนวนเต็บลบ ก็ได้ อนึ่งถ้าเศษตกข้าง r เป็นจำนวนที่ไม่ติดลบ และน้อยกว่า m แล้ว เศษตกค้างก็ย่อมเท่ากับเศษที่เกิดจากการหาร a ด้วย m หรือ r ด้วย m เช่น 17 ≡ 3(mod 7) จะเห็นว่าเศษตกค้าง 3 ของ 17 mod 7 จะเท่ากับ เศษที่เกิดจากการหาร 17 ด้วย 7 ....เอวังก็มีด้วยประการฉะนี้
หมายเหตุ
1) a ≡ r(mod m) ↔ m | a - r ↔ a - r = mq เมื่อ m เป็นจำนวนเต็ม
2) เศษที่เกิดจากการหารด้วย m มี m ตัว คือ 0, 1, 2, ..., m-1
3) a ≡ r(mod m) จะได้ เศษที่เกิดจากการ a ด้วย m เท่ากับเศษที่เกิดจากการหาร r ด้วย m
ด้วยความปราถนาดี
ครูพี
"นัมเมียว โฮเร็ง เงเคียว"
มหาพุทธมนต์คุ้มครองทุกคน
ข้อคิด ดี ๆ
ความใกล้ชิดเป็นญาติอย่างยิ่ง
ไม่ว่าเธอจะไปทำอะไรหรืออยู่ที่ไหน ขอให้ถือเป็นกิจวัตรที่จะติดต่อพูดจาหรือเขียนจดหมายถึงพ่อแม่ พี่น้องและเพื่อนสนิท และแสดงความรักของเธอที่มีต่อเขาเหล่านั้นให้ประจักษ์ จงทำอย่างสม่ำเสมอ "ความใกล้ชิดเป็นญาติอย่างยิ่ง" การห่างเหินทำให้ญาติมิตรเหมือนคนแปลกหน้า
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น