ใหญ่ ๆ ตั้งไว้ให้หาเศษจะ get กันไหมนี่

สารบัญบทความ


เราสามารถประยุกต์เอาความรู้เกี่ยวกับ สมภาค(congruence) และสมบัติพื้นฐานของ
สมภาคมาใช้ในการหาเศษที่เกิดขึ้นจากการหารจำนวนเต็มที่มีขนาดใหญ่ ๆ ได้ โดยพิจารณาจากตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่าง 1 จงหาเศษจากการหาร 7^10 ด้วย 51
วิธีทำ เราจะต้องหา x โดยที่ 7^10 ≡ x (mod 51) เมื่อ 0 ≤ x < 51
เนื่องจาก 7^2 ≡ -2 (mod 51) ดังนั้น (7^2)^5 ≡ (-2)^5 (mod 51) ≡ -32 (mod 51) และ
-32 ≡ 19 (mod 51) จะได้ 7^10 ≡ 19 (mod 51) แสดงว่าเศษที่ต้องการเป็น 19 □


ตัวอย่าง 2 จงหาเศษที่เกิดจากการหาร 2^11 ด้วย 23

วิธีทำ เราจะต้องหา x โดยที่ 2^11 ≡ x (mod 23) เมื่อ 0 ≤ x < 23
2^5 ≡ 9 (mod 23)
(2^5)^2 ≡ 9^2 (mod 23)
2^10 ≡ 81 (mod 23) และ 81 ≡ 12 (mod 23)
ดังนั้น 2^10≡ 12 (mod 23)
2 ≡ 2 (mod 23) จะได้ 2^11≡ 24(mod 23) และ 24≡ 1 (mod 23)
แสดงว่า 2^11 ≡ 1 (mod 23) ดังนั้นเศษที่ต้องการเท่ากับ 1 □


ตัวอย่าง 3 จงหาเศษจากการหาร 1! + 2! + 3! + 4! + ... + 99! + 100! ด้วย 12
วิธีทำ เนื่องจาก 4! ≡ 0 (mod 12) , 5! ≡ 0 (mod 12) , ... , 100! ≡ 0 (mod 12)
จะได้ 4! + ... + 99! + 100! ≡ 0 (mod 12)
1! + 2! + 3! + 4! + ... + 99! + 100! ≡ (1! + 2! + 3!) (mod 12) ≡ (1+2+6) ≡ 9 (mod 12)

ดังนั้นเศษที่ต้องการ คือ 9 นั่นเอง #

แนวคิดเกี่ยวกับ สมภาคนี้ ครูผู้สอนระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย ควรต้องสอนเสริมเพิ่มเติมเข้าไปในเนื้อหาเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวนเบื้องต้นในระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4 ภาคเรียนที่ 1 ก็จะเป็นการติดปีกทางปัญญา เพิ่มมุมมองการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์แก่ลูกศิษย์ได้มากยิ่งขึ้น แต่อย่างไรก็ตามครูผู้สอนก็ต้องฝึกวิทยายุทธให้เจนจบครบเครื่องก่อนนะครับ ...ตกม้าตายก็ตัวใครตัวมันก็แล้วกัน

หมายเหตุ
ความสัีมพันธ์ "สมภาค" มอดุโล m จะมีสมบัติเป็น ความสัมพันธ์ชนิดสมมูล นั่นคือ มีสมบัติ สะท้อน สมมาตร และถ่ายทอด และสมบัติบางอย่างที่เหมือนกับสมการ คือ การบวก ลบ คูร ด้วยจำนวนที่เท่ากัน และการยกกำลัง


ด้วยความปราถนาดี

ครูพี/

ข้อคิด

เมื่อทำงาน หรือเรียนต้องตั้งใจทำให้ดีที่สุด



เมื่อทำงานให้แก่หน่วยงานหรือบริษัทใดให้ทำให้ดีที่สุดอย่างสุดความสามารถ สุดจิตสุดใจ เมื่อเรียนหนังสือก็เช่นเดียวกัน ให้ตั้งใจมั่นและขยันหมั่นเพียร ทุ่มเททุกอย่างให้กับการเรียนรู้ ถ้าเธอทำได้เธอจะได้รับดอกผลตอบแทนในภายหน้า เพราะการทุ่มเทในวันนี้ก็คือการลงทุนของเธอสำหรับวันหน้านั่นเอง...