บล็อกนี้ขอนำสิ่งดี ๆ เพื่อหมู่เฮาเพื่อนพ้องน้องพี่ชาวคณิตศาสตร์ที่รักทุกท่าน เมื่อวันวานเคยฝันว่าจะมีแหล่งข้อมูลดี ๆ ที่นำเสนอเกี่ยวกับข้อมูลในลักษณะ "อย่างนี้ผิดนะคุณ" เป็นการใช้ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ที่ดูมีความสมเหตุสมผล แต่ปนเปื้อนความผิดพลาด ต้องฉลาดมองว่าขัดข้องย้อนแย้งกับแหล่งนิยามหรือกฏเกณฑ์ใดต้องใจเย็น ๆ แล้วจะเห็น อ๋อมันเป็นเช่นนั้นเอง โดยจะค่อย ๆ นำเสนอไปเรื่อย ๆ ท่านใดที่สนใจโปรดลิงค์เข้ามาเปิดอ่านในบล็อกชื่อนี้ เขียนไปเรื่อย ๆ เหมือนรถขายโอ่งก็แล้วกัน เหนื่อยเมื่อไหร่ก็หยุดเมื่อนั้น ใช้ภาษิตว่า "หิวก็กิน อิ่มก็พอ ท้อก็พัก หนักก็วาง " แก่แล้วฝืนสังขารก็คงไม่ไหว
ยกที่ 1
การพิสูจน์ 1 = 2
A^2 - A^2 = A^2 - A^2
A(A-A) = (A+A)(A-A)
A = A + A โดยกฎการตัดออก
A = 2A
ดังนั้น 1 = 2 โดยกฏการตัดออก #
เฉลย ผิดบรรทัด 3 และ 5 เนื่องจากกฏการตัดออกระบุไว้ว่า ถ้า xz = yz และ z ไม่เป็น 0 แล้ว x = y
บรรทัด 3 ผิด เพราะ z ในที่นี้คือ A-A = 0 เราใช้กฎนี้มิได้
บรรทัด 5 ผิด เพราะ z ในที่นี้คือ A = 0 ซึ่งเราไม่ทราบว่าเท่ากับ 0 หรือไม่ ดังนั้นจึงใช้กฎการตัดออกไม่ได้
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 2
" พิสูจน์ 2 = 3 "
กำหนด M = 5
10 + 8M = 15 + 7M
10 + 8M - 2M^2 = 15 + 7M - 2M^2
(2 + 2M)(5 - M) = (3 + 2M)(5 - M)
2 + 2M = 3 + 2M
จะได้ 2 = 3 #
เฉลย ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นในขั้นตอนที่ 5 เนื่อจากการใช้ M - 5 = 0 หารตลอด หรือใช้กฎการตัดออกที่ไม่ถูกต้องนั่นเอง
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 3
"พิสูจน์ 2 = 3 อีกวิธี"
a = 5/2
4 - 4a = 9 - 6a
4 - 2a + a^2 = 9 - 6a + a^2
(2 - a)^2 = (3 - a)^2
2 - a = 3 - a
จะได้ 2 = 3 #
เฉลย ข้อผิดพลาดเกิดในบรรทัด 5 จากการถอดรากที่สอง เนื่องจาก
ถ้า x^2 = y^2 แล้ว เราจะสรุป x = y ไม่ได้ เช่น (-3)^2 = (3)^2 แต่ -3 ไม่เท่ากับ 3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 4
การพิสูจน์ 2 = -2
2 = sqr(2x2)
= sqr(4)
= sqr(-2 x -2)
= -2
ดังนั้น 2 = -2 #
เฉลย ผิดบรรทัด 4 เพราะ sqr(-2 x -2) = |-2| = 2 จะสังเกตเห็นว่า ถ้า y เป็นจำนวนจริงแล้ว sqr(y^2) ต้องเป็นจำนวนจริงเพียงจำนวนเดียวและ sqr(y^2) |y|
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 5
การพิสูจน์ว่า { *, % } = { m. n}
เนื่องจาก 2 = { *, %} และ 2 = { m. n}
ดังนั้น { *, % } = { m. n} #
เฉลย ผิดบรรทัดแรก เนื่องจาก 2 เป็นจำนวน ย่อมไม่เท่ากับเซค
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 6
"รากของสมการกรณฑ์ที่สอง"
sqr(x-2) = -6
x - 2 = 36
x = 38
ดังนั้น x = 38 เป็นรากของสมการ sqr(x-2) = -6 #
เฉลย ผิดบรรทัด 4 เพราะในสามบรรทัดแรกระบุว่า ถ้า sqr(x-2) = -6 แล้ว x = 38 แต่มิได้บอกว่าบทกลับ คือ x = 38 แล้ว sqr(x-2) = -6 จะต้องเป็นจริง ดังนั้นเราต้องลองแทน x = 38 ลงไปใน sqr(x-2) ว่าจะได้ผลเท่ากับ -6 หรือไม่ ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อนำไปแทนค่าแล้วจะได้ sqr(x-2) = sqr(36) = 6 ดังนั้น 38 มิใช่รากของสมการ
sqr(x-2) = -6
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 7
"ลำดับของการคำนวณ"
ถ้า x = 1, y = -2 และ และ z = 3
จงหาค่าของ x – y (z + 3) – 2
วิธีทำ
x – y(z + 3) -2
= 1 – (-2)(3 + 3) -2 ......(1)
= 1 + 2(6) – 2 ......(2)
= 3(6) – 2 ......(3)
= 18 – 2 ......(4)
= 16 # ......(5)
เฉลย ผิดพลาด ณ (3) เพราะใช้ลำดับขั้นการคำนวณไม่ถูกต้อง ถ้าในนิพจน์มีทั้งการบวก ลบ คูณและหารโดยไม่มีวงเล็บกำกับของการคำนวณแล้ว จะต้องคำนวณคูณและหาร ก่อนบวกหรือลบ โดยดำเนินการจากซ้ายไปขวา
ยกที่ 8
"กรณฑ์ที่สองติดลบ"
[sqr(-25)][sqr(-4)] = sqr[(-25)(-4)]
= sqr(100)
= 10 #
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
เฉลย ผิดบรรทัดแรก เนื่องจากการใช้กฎ sqr(ab) = sqr(a)xsqr(b) ไม่ถูกต้อง กฏข้อนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงที่ไม่ติดลบ
ยกที่ 9
"อย่าด่วนสรุป"
จงพิจารณาว่าในแต่ละข้อต่อไปนี้เป็นจริงหรือเท็จ พยายามทำโดยใช้ความรู้จากประสบการณ์จริง ๆ ของตนก่อนแล้วจึงค่อยดูเฉลย
กำหนดให้ x และ y เป็นจำนวนจริงใด ๆ
1. ถ้า x^2 = y^2 แล้ว x = y
2. ถ้า x > y แล้ว 1/ x > 1/y
3. ถ้า x > y แล้ว 1/x <> y แล้ว -x > -y
5. sqr(x) sqr(y) = sqr(xy)
6. จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนซึ่งมิใช่จำนวนตรรกยะ
ึ7. pi = 22/7
เฉลย
1. เป็นเท็จ เช่น ถ้าให้ x = 1 และ y = -1 \ จะได้ว่า x^2 = y^2 แต่ x ไม่เท่ากับ y
2. เป็นเท็จ เช่น ถ้าให้ x = 3 และ y = 2 จะได้ว่า 3 > 2 แต่ 1/3 < x =" 3" y =" -2"> -2 แต่ 1/3 > -1/2
4.เป็นเท็จ เช่น ถ้าให้ x = 3 และ y = 2 จะได้ว่า 3 > 2 แต่ -3 < -2 5. เป็นเท็จ เช่น ถ้าให้ x = -4 และ y = -4 จะได้ว่า sqr(x)sqr(y) = sqr(-4)sqr(-4) = (2i)(2i) = -4 sqr(xy) = sqr(-4x-4) =sqr(16) = 4 จะเห็นว่า sqr(x)sqr(y) ไม่เท่ากับ sqr(xy) 6. เป็นเท็จ เช่น 3 + 2i ไม่ใช่ทั้งจำนวนตรรกยะ และ อตรรกยะ 7. เป็นเท็จ เนื่องจาด pi เป็นจำนวนอตรรกยะ ย่อมไม่เท่ากับ 22/7 ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ยกที่ 10
"จำนวนเซตย่อย"
โจทย์ จงหาเซตย่อยทั้งหมดของเซต { 0, 1 }
วิธีทำ { 0 }, { 1 }, { 0, 1 } #
เฉลย ผิดพลาดเพราะขาดไป 1 เซต คือ เซตว่าง
เพื่อไม่ให้ตกหล่น ยึดหลักเกณฑ์ว่า ถ้า A มีสมาชิก n ตัว แล้ว จะมีเซตย่อยทั้งหมด 2 ^ n เซต
ในที่นี้เซตที่กำหนดให้มีสมาชิก 2 ตัว ย่อมมีเซตย่อยทั้งหมด 2^2 = 4 เซต
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 11
"การแปรเปลี่ยนเครื่องหมายและ/หรือ ลำดับการคำนวณ"
โจทย์ จงทำให้ 4[-(2 - x) - (1 + 2x)] ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
วิธีทำ
4[-(2-x) -(1+2x)]
= 4[-2-x-1+2x] ..........(1)
= 4[-3 + x] ..........(2)
= 4 - 3 + x ..........(3)
= 1 + x ..........(4) #
เฉลย ผิดใน (1) เนื่องจากการเคลื่อนไปของเครื่องหมายลบเมื่อใช้กฏการแจกแจงผิดพลาด คือ -(2 - x) ต้องเป็น -2 + x และ -(1 + 2x) ต้องเป็น -1 - 2x
ผิดใน (3) จากความไม่ระวังในการดำเนินการ 4[-3 + x] ต้องเป็น 4(-3) + 4x นั้นคือต้องใช้กฎการแจกแจง
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 12
"การยกกำลังที่ติดลบ"
โจทย์ จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย [ (x^-2)y]^-3
วิธีทำ
[ (x^-2)y]^-3
= [ 1 / [(x^2)y]^3 ..........(1)
= [ 1 / [(x^5)(y^3)] ..........(2)
เฉลย ผิด ณ บรรทัด (1) เพราะต้องเท่ากับ [ 1 / [(x^-2)y]^3
และ บรรทัด (2) ต้องเท่ากับ [ 1 / [(x^5)(y^3]
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 13
"กำลังสองสมบูรณ์"
โจทย์ จงหาค่าของ (x + 3)^2
วิธีทำ (x + 3)^2
= x^2 + 3^2 ..........(1)
= x^2 + 9 ..........(2) #
เฉลย ผิดบรรทัด (1) เพราะใช้สูตรกำลังสองสมบูรณ์ไม่ถูกต้อง (a + b)^2 ต้องเท่ากับ a^2 + 2ab + b^2 ดังนั้น (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 14
"ผลบวกกำลังสาม"
โจทย์ จงแยกตัวประกอบ x^3 + 8
วิธีทำ
x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 + 4x + 4 #
เฉลย ผิดเนื่องจากใช้สูตรผลบวกกำลังสามผิด สูตรระบุว่า (a^3 + b^3) = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
ดังนั้น x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 15
"ผิดพลาดจากการจัดกลุ่ม"
โจทย์ จงแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่มนิพจน์ r^2 - s^2 - r - s
วิธีทำ
r^2 - s^2 - r - s
= (r^2 -s^2) - (r - s) ..........(1)
= (r - s)(r + s) - (r - s) ..........(2)
= (r - s)(r + s -1) ..........(3) #
เฉลย ผิดบรรทัด (1) จากการจัดกลุ่มและไม่ระวังในการใช้เครื่องหมาย -(r-s) ต้องเป็น -(r+s)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 16
"ผิดพลาดจากการถอดกรณฑ์"
โจทย์ จงหาระยะทางจากจุด (4, 6) และ (1, 2)
วิธีทำ
d = sqr[(4-1)^2 + (6-2)^2 ] .......... (1)
= sqr(3^2 + 4^2) ..........(2)
= 3 + 4 ..........(3)
= 7 # ..........(4)
เฉลย ผิดบรรทัด (3) เนื่องจาก sqr(a + b) ไม่เท่ากับ sqr(a) + sqr(b)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 17
"ผิดพลาดจากการเทียบเทอม"
โจทย์ จากสมการวงกลม x^2 + 2x + y^2 = 11 - 4y จงหาจุดศูนย์กลางและรัศมี
วิธีทำ
x^2 + 2x + y^2 + 4y = 11 ..........(1)
x^2 + 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 11 + 1 + 4 ..........(2)
(x+1)^2 + (y + 2)^2 = 16 ..........(3)
จุดศูนย์กลาง คือ (1, 2) และ รัศมี 16 ..........(4)
เฉลย ผิดบรรทัด 4 เพราะรูปมาตรฐานของวงกลมคือ (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2 ดังนั้น จุดศูนย์กลาง (h, k) = (-1, -2)
และ รัศมี = 4 #
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 18
"พิสูจน์ 2 = 1 อีกสักครั้ง"
โจทย์
ให้ x = y
x^2 = xy ( นำ x มาคูณทั้งสองข้าง)
x^2 - y^2 = xy - y^2 (นำ y^2 ลบออกทั้งสองข้าง)
(x - y)(x + y) = (x - 2)y ( แยกตัวประกอบ)
x + y = y (เอา x - y หารทั้งสองข้าง)
y + y = y (แทน x ด้วย y)
2y = y
จะได้ 2 = 1 (เอา y หารทั้งสองข้าง #
เฉลย ผิดเนื่องจากเอา x - y หารทั้งสองข้าง เพราะว่าเมื่อกำหนด x = y แล้ว x - y = 0
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 19
"พิสูจน์ 4 = 2 "
ให้ a - 1 = 2 ..........(1)
(a - 1)(a - 5) = 2(a - 5)
a^2 - 6a + 5 = 2a - 10
(a^2 - 6a + 5) - (a - 7) = (2a - 10) -(a - 7)
a^2 - 7a + 12 = x - 3
(a - 3)(a - 4) = (a - 3)
a - 4 = 1
a = 5
แทนค่า a = 5 ใน (1) จะได้ 5 - 1 = 2
ดังนั้น 4 = 2 #
เฉลย ผิดที่เอา a - 3 หารทั้งสองข้าง เนื่องจาก a - 1 = 2 จะได้ a - 3 = 0 #
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 20
"พิสูจน์ 1= -1 "
ให้ a/b = c/d โดยที่ b และ c ไม่เป็น 0
เพราะฉะนั้น (a/b) - 1 = (c/d) - 1 ..........(1)
(a/b) + 1 = (c/d) + 1
[(a+b)/b] = [(c+d)/d] ..........(2)
(1) หารด้วย (2)
(a-b)/(a+b) = (c-d)/(c+d)
(a-b)(c+d) = (a+b)(c-d)
ac + ad - bc - bd = ac - ad + bc - bd
ad - bc = -(ad - bc)
เอา ฟd - bc หารทั้งสองข้าง
จะได้ว่า 1 = -1 #
เฉลย ผิดที่เอา ad - bc หารทั้งสองข้าง เพระว่า เมื่อกำหนด a/b = c/d ย่อมจะได้ ad = bc ดังนั้น ad - bc = 0 #
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 21
จงหาผลต่างและเขียนผลที่ได้ในรูปที่ง่ายที่สุด
(p - 3)/(p + 1) - (2p - 1)/(p + 2)
วิธีทำ
(p - 3)/(p + 1) - (2p - 1)/(p + 2)
= (p - 3 - 2p + 1) / (p + 1)(p + 2) .......... (1)
= (-p - 2) / (p + 1)(p + 2) .......... (2)
= -(p + 2) / (p + 1)(p + 2) ..........(3)
= -1 / (p+1) .......... (4) #
เฉลย ผิด ณ (1) เนื่องจาก เศษส่วนมีส่วนต่างกัน จะนำเศษมาลบกันเลยไม่ได้ ผิดหลักการ นั่นคือ a/b - c/d = (ad - bc)/bd #
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 22
ถ้าเป็นไปได้ จงหาผลบวกของ 2sqr(3) - 4sqr(2) โดยใช้สมบัติการแจกแจง
วิธีทำ 2sqr(3) - 4sqr(2)
= (2-4)(sqr(3) - sqr(2) ) .......... (1)
= (-2)(sqr(1)) ..........(2)
= -2 ..........(3) #
เฉลย ผิด บรรทัด (1) ใช้สมบัติการแจกแจงไม่ได้เพราะในโครงสร้างของเทอมไม่มีตัวประกอบร่วม
และผิดบรรทัด (2) เพราะ sqr(3) - sqr(2) ไม่เท่ากับ sqr(3 - 2)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 23
จงแก้อสมการ 9 + 2x < style="font-weight: bold;">วิธีทำ 2x < -4 ; 4 - 1 < style="font-weight: bold;">เฉลย ผิดในบรรทัดสุดท้าย เพราะการกำหนดเงื่อนไขของคำตอบ คือ 3 <> 3 ในขณะที่ x < -2 เซตคำตอบที่ถูกต้อง คือ { x | x < -2 หรือ x > 3 }
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 24 ถ้า f(x) = x^2 - 1 และ g(x) = sqr(x - 3) จงหาค่าของ f(g(7))
วิธีทำ f(g(7)) = ( 7^2 - 1)(sqr(7 - 3) )
= (48)(2)
= 96 #
เฉลย ผิดบรรทัดแรก ใช้วิธีการหาค่าฟังก์ชันประกอบไม่ถูกต้อง
ที่ถูกต้องเป็น f(g(7)) = f(sqr(7 - 3)) = f(4) = 4^2 - 1 = 15
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 25 จงเขียนสมการเส้นตรงให้อยู่ในรูปมาตรฐาน เมื่อเส้นตรงมีระยะตัดแกน X เป็น 3 และ ระยะตัดแกน Y เป็น -2
วิธีทำ ความชัน m = (-2)/3 = -2/3
y - (-2) = (-2/3)(x - 3)
3(y + 2) = -2(x - 3)
3y + 6 = -2(x - 3)
3y + 6 = -2x + 6
2x + 3y = 0 #
เฉลย ผิดบรรทัดแรก เพราะหาความชันผิด ด้วยเหตุที่เส้นตรงผ่านจุด (3, 0) และ (0, -2) ดังนั้น m = (-2)/(-3) = 2/3
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 26
โจทย์ ในห้องหนึ่งมีนักศึกษาเก่า 10 คน และนักศึกษาใหม่ 8 คน โดยจะมีการเลือกประธาน 1 คน และเลขานุการ 1 คน จะสามารถทำได้กี่วิธี ถ้าประธานและเลขานุการไม่ใช่คนเดียวกัน และประธานต้องเป็นนักศึกษาเก่า
วิธีทำ เนื่องจากประธานต้องเป็นนักศึกษาเก่า จะเลือกประธานได้ 10 วิธี และเลือกเลขานุการจากนักศึกษาใหม่ได้ 8 วิธี ดังนั้นจะมี 10x8 = 80 วิธี ที่จะเลือกประธาน 1 คน และเลขานุการ 1 คน #
เฉลย ผิด ตรงที่จำนวนวิธีการเลือกเลขานุการ ซึ่งเลือกได้ถึง 17 วิธี ( นักศึกษาเก่า 9 วิธี รวมกับนักศึกษาใหม่อีก 8 วิธี )
ดังนั้นจำนวนวิธีทั้งหมด จึงเป็น 10x17 = 170 วิธี
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 27 ในการวิ่งแข่งขันของนักวิ่ง 8 คน จะมีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้กี่วิธีที่จะได้ผลลัพธ์เป็นผู้เข้าเส้นชัยอันดับหนึ่ง 1 คน อันดับสอง 1 คน และอันดับสาม 1 คน
วิธีทำ เราจะนับจำนวนวิธีที่นักวิ่ง 3 คน จาก 8 คน วิ่งเข้าเส้นชัยสามคนแรก C8,3 = 8! / (3!)(5!) = 56 ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ #
เฉลย ลักษณะโจทย์ปัญหาเป็นวิธีเรียงสับเปลี่ยน มิใช่วิธีจัดหมู่ เนื่องจากยึดลำดับเป็นสำคัญ ดังนั้น ผลลัพธ์ที่ได้เป็น P8,3 = 8!/5! = 8x7x6 = 448 ผลลัพธ์
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 28 จงหาพจน์ที่สามในการกระจาย (x - 2y)^9
วิธีทำ (C9,3)(x^6)[(2y)^3] = 672(x^6)(y^3) #
เฉลย ผิด T3 = T(2 + 1) ดังนั้น r ในที่นี้เป็น 2 มิใช่ 3 เทอมในรูป combination ต้องเป็น C9,2 #
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 29 จงเขียน (2x - 4) / [(x - 1)^2](x + 1) ในรูปผลบวกของเศษส่วนย่อย
วิธีทำ เนื่องจากตัวส่วนประกอบด้วยตัวประกอบเชิงเส้น ดังนั้นเราจะเขียน
(2x - 4) / [(x - 1)^2](x + 1) = A/(x-1) + B/(x + 1) .......(1)
หรือ 2x - 4 = A(x + 1) + B(x - 1)
ถ้า x = 1 แล้ว B = 3 และ A = -1 ถ้า x = -1 แล้ว -6 = B(-2) และ B = 3 ดังนั้นเศษส่วนย่อยแยกออกได้เป็น
(2x - 4) / [(x - 1)^2](x + 1) = - 1/(x-1) + 3/(x+1) #
เฉลย ผิดที่ (1) เนื่องจาก ตัวส่วนเป็นตัวประกอบเชิงเส้นที่มีเทอมซ้ำ ดังนั้น ต้องสมมุติในรูป
(2x - 4) / [(x - 1)^2](x + 1) = A/(x-1) + B/(x-1)^2 + C/(x+1)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 30 ถ้าผลรวมของอนุกรมต่อไปนี้มี จงหาผลรวมนั้น
2/3 - 1 + 3/2 - 9/4 + ...
วิธีทำ เนื่องจาก a1 = 2/3 และ r = -3/2 หาค่าผลรวมได้โดยแทนลงไปในสูตร ผลบวกอนุกรมเรขาคณิตอนันต์
a1/(1-r) = (2/3) / [1 - (-3/2) ] = (2/3) / (5/2) = 4/15 #
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ยกที่ 31 ขึ้นไป ถ้าท่านสนใจโปรดลิงค์ไปที่เอกสาร Google
ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/
"ยามว่างอย่าเย็นใจ
ยามยุ่งอย่าร้อนใจ"
ความสงบนิ่งของฟ้าดินนั้น ดูราวกับว่าไม่ได้มีอะไรเปลี่ยนแปลง แต่แท้จริงแล้วมีความเคลื่อนไหวของทุกอณูอยู่ภายในอย่างมิหยุดยั้งเลย ดวงอาทิตย์กับดวงจันทร์หมุนเวียนสลับเปลี่ยนกันเป็นกลางวันกลางคืนมิได้หยุดหย่อนโดยที่แสงสว่างยังคงสาดส่องมิได้หยุดยั้ง
ด้วยเหตุนี้ในยามว่างบัณฑิตจงมีจิตใจกระตือรือร้นและควรมีความรู้สึกสงบปล้่อยวางในยามที่มีภารกิจยุ่งเหยิง
......ข้อคิดดี ๆ จากคัมภีร์รากผัก
อ่านบล็อกฟรี ๆ จาก ครูพี
กลั่นคำธรรมะ
สัตตเลข
มนตรา
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น