MIN. หรือ MAX. ก็แป็กทั้งคู่ เป็นประเด็นที่ครูผู้สอนคณิตศาสตร์เกี่ยวกับเรื่องกำหนดการเชิงเส้นควรตระหนักรู้ เมื่อต้องพันตูกับโจทย์ข้อสอบแข่งขันที่ไม่เคยเจอในแบบฝึกหรือในเวทีการสอบต่าง ๆ ที่ผ่านมา
กำหนดการเชิงเส้น(Linear Programming) เป็นเนื้อหาสาระของคณิตศาสตร์ประยุกต์แขนงหนึ่งที่ปรากฏในวิชาการวิจัยขั้นดำเนินงาน (Operation Research) หรือ OR ในระดับอุดมศึกษาซึ่งเป็น เนื้อหาที่สำคัญสำหรับผู้เรียนสาขาเกี่ยวกับการนำคณิตศาสตร์ไปประยุกต์ใช้ เช่นคอมพิวเตอร์ สถิติ หรือการบริหารจัดการอันประกอบด้วยเทคนิคทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง ที่อ้างกันเสมอเช่นเทคนิค Simplex Method เป็นต้น เพื่อใช้ในการแก้สมการ และหรือ ระบบสมการ ซึ่งเป็นแบบจำลองแทนสถานการณ์ของปัญหาที่เกิดขึ้นอาจจะเป็นปัญหาทางธุรกิจ หรือวิทยาศาสตร์ และอื่น ๆ ที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์หาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดตามสมการจุดประสงค์ (Objective Function) ที่ตั้งไว้ ภายใต้ทรัพยากรที่มีจำกัด
ในระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย (ชั้น ม. 6) กำหนดการเชิงเส้นจะมีตัวแปรที่เกี่ยวข้องเพียง 2 ตัว เท่านั้น การหาคำตอบหาได้จากกราฟ เท่าที่สังเกตจากผู้เรียนในเนื้อหาสาระนี้ อุปสรรคที่ทำให้กระบวนการเรียนการสอนไม่ราบริ่น เนื่องจากผู้เรียนเขียนกราฟไม่เป็นสร้างโมเดลไม่ได้
ตัวแบบของกำหนดการเชิงเส้นนั้นประกอบด้วย ฟังก์ชันเชิงเส้น หรือฟังก์ชันจุดประสงค์ (constraints) กระบวนการในการจัดการกับปัญหาโดยวิธีกราฟมีวิธีการดังนี้
สมมุติฟังก์ชันจุดประสงค์เป็น P = ax + by เราต้องการหาค่า x และ y ที่จะทำให้ได้ค่า P สูงสุดหรือตา่ำำ่สุด ภายใต้เงื่อนไข หรือข้อจำกัดในรูปอสมการเชิงเส้นชุดหนึ่ง เรามีขั้นตอนดำเนินการดังนี้
1. เขียนกราฟของอสมการเชิงเส้นตามเงื่อนไขที่โจทย์กำหนดให้
2. ผลลัพธ์ที่เป็นไปตามเงื่อนไขดังกล่าว คือจุดต่าง ๆ บนส่วนร่วม (Feasible Area) ของกราฟดังกล่าว
3. พิจารณาจุดมุมของกราฟในเซตของผลลัพธ์ตามข้อ 2
4. นำค่า x และ y ไปแทนในฟังก์ชันจุดประสงค์เพื่อคำนวณค่า P
5. เลือกค่า x และ y ที่ทำให้ได้ค่า P สูงสุด หรือต่ำสุด
หมายเหตุ ข้อสอบแข่งขันในเรื่องนี้ส่วนมากจะออกเพียง 1 ข้อเท่านั้น ซึ่งเป็นโจทย์ให้หาค่าสูงสุด หรือต่ำสุด ของฟังก์ชันจุดประสงค์ที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรสองตัว
ตัวอย่าง และแบบฝึกหัดที่ปรากฏในหนังสือเรียน และ/หรือ ข้อสอบแข่งขันต่าง ๆ เกี่ยวกับเรื่องกำหนดการเชิงเส้นนี้ เมื่อมีการเขียนกราฟที่เกี่ยวข้องทั้งหมด และกำหนดบริเวณที่คำตอบตกอยู่ ก็จะนำจุดยอดมุมของรูปหลายเหลี่ยม (กรณีค่าสูงสุด) หรือจุดยอดซึ่งเป็นฐานของรูปเหลี่ยม (กรณีค่าต่ำสุด) ไปแทนในสมการจุดประสงค์แล้วพิจารณาค่าที่ได้ ก็จะสามารถตัดสินใจเหลือกจุดที่เหมาะสมตามจุดประสงค์ที่ต้องการได้
แต่ลองพิจารณาข้อสอบโควต้าเข้ามหาวิทยาลัยขอนแก่นข้อนี้
กำหนดสมการจุดประสงค์
z = 2x - 5y
อสมการข้อจำกัด คือ
2x + y >= 30
x + 3y >= 30
4x + y >= 40
x >= 0
y >= 0
พิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าจริงหรือเท็จ
ก. จุด (x, y) ทุกจุดบนเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง z = 2x - 5y และตัดจุดมุม (0, 40) จะให้ค่า z ที่เหมือนกันและเป็นคำตอบที่ z มีค่าต่ำสุด
ข. จุด (x, y) ทุกจุดบนเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง z = 2x - 5y และตัดจุดมุม (30, 0) จะให้ค่า z ที่เหมือนกัน และเป็นคำตอบที่ z มีค่าสูงที่สุด
เมื่อเขียนกราฟที่สอดคล้องกับอสมการข้อจำกัดแล้วพิจารณาจุดยอดมุมที่เป็นฐานของบริเวณ Feasible Area จะได้จุดที่อาจให้ค่าสูงสุดหรือต่ำสุด 4 จุด คือ (30, 0), (0, 40), (12, 6) และ (5, 20) และเมื่อนำไปแทนในสมการจุดประสงค์แล้วก็สามารถเลือกจุดที่ทำให้ได้ค่า z ต่ำสุด และสูงสุดตามที่ต้องการได้เฉกเช่นเดียวกับโจทย์อื่น ๆ ที่พบมาในตัวอย่างหรือแบบฝึกหักทั่ว ๆ ไป แต่ขอโทษทีครับโจทย์ข้อนี้มิใช่ง่ายอย่างที่คิดจะตีกินด่วนสรุปเอาง่าย ๆ เช่นที่เห็นอย่างดาดดื่น เพราะถ้าเป็นเช่นนั้นคงไม่หยิบยกขึ้นมาเขียนในบล็อกนี้ให้เสียเวลาท่านผู้ชมหรอกจะบอกให้ ใจเย็น ๆ ท่านลองขยับจุดไปด้านขวา หรือ ด้านบนของบริเวณ Feasible Area ดูถีดูดีดีมีเฮแน่ ค่า z ที่ได้จากจุดที่ขยับกลับเหมาะสมกว่า และเลื่อนจุดไปได้เรื่อย ๆ โดยไม่มีที่สิ้นสุด นั่นคือในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดให้นี้ไม่มีจุดที่ให้ค่า z ต่ำสุด หรือสูงสุดได้ ถ้าด่วนตัดสินใจตามที่ใช้แบบเดิม ๆ ไม่ได้เพิ่มเติมแต้มได้อย่างแน่นอน ... เอ๊ะ ! แล้วเราจะมีหลักเกณฑ์ในการพิจารณาเรื่องเหล่านี้อย่างไร
หลักเกณฑ์ในการพิจารณามีดังนี้
กำหนดฟังก์ชันจุดประสงค์เป็น ax + by = c
เขียนเส้นตรง ax + by = c ผ่านบริเวณ Feasible Area
1) ถ้า b > 0 ค่า c ที่ทำให้เส้นตรง ax + by = c มี y-intercept สูงสุดจะเป็นค่าสูงสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์ (ถ้าค่า c ดังกล่าวไม่มีจะไม่มีจก็จะไม่มีค่าสูงสุด)
2) ถ้า b < 0 ค่า c ที่ทำให้เส้นตรง ax + by = c มี y-intercept มากที่สุดจะเป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชันจุดประสงค์ (ถ้าค่า c ดังกล่าวไม่มีจะได้ว่าไม่มีค่าต่ำสุด)
จากโจทย์ข้อสอบที่ยกมาข้างต้น เมื่อเขียนกราฟของเส้นจุดประสงค์ 2x - 5y = 0 โดยกำหนด c = 0 แล้วเลื่อนเส้นจุดประสงค์ผ่านบริเวณ Feasible Area พิจารณา y-intercept ซึ่งจะเห็นว่าไม่มีทั้งค่าสูงสุดและต่ำสุด นั่นคือ Min. หรือ Max ก็แป๊กทั้งคู่ กรณีตัวอย่างลักษณะนี้ ครูผู้สอนก็คงต้องหามาเสริมเพื่อเติมเต็มให้ลูกศิษย์นะครับ
ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/
" รู้จักฟังคำระคายหู ฝึกตนด้วยเรื่องไม่สบายใจ"
คนที่สามารถรับฟังถ้อยคำระคายหูได้มาก หรือคนที่ได้ประสบพบกับเรื่องไม่สบายใจเสมอ ๆ นั้น พึงทราบว่านี้แลคือเครื่องขัดเกลาจิตใจเพื่อยกระดับคุณธรรม หากว่าเราได้ยินได้ฟังแต่ถ้อยคำระรื่นหู ประสบพบเห็นแต่เรื่องชวนให้สบายใจแล้ว ชีวิตนี้ก็เสมือนเมามายอยู่กับสุราอาบยาพิษนั่นแล/ .... จากคัมภีร์รากผัก
ภาวนาคำศักดิ์สิทธิ์โปรดคลิก
สุดยอดองค์ความรู้ : กลั่นคำกลั่นใจ คลิก
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น