การจำบทนิยามของ dot product หรือ scalar product ของสองเวกเตอร์นั้นผู้เรียนหลายคนก็อาจจำได้โดยไม่ยากนักว่าทำได้โดยการนำตัวเลขตัวที่หนึ่งคูณกัน ตัวที่สองคูณกัน และตัวที่สามคูณกัน แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้ทั้งหมดมาบวกกัน นั่นคือ
ถ้า u = (a1, b1, c1) และ v = (a2, b2, c2) แล้ว u dot v = (a1)(b1) +(a2)(b2) + (a3)(b3) แม้นจะไม่ก่อให้เกิดแนวคิดที่เป็นรูปธรรมในเชิงภาพความสัมพันธ์ระหว่างเวกเตอร์ ขนาดทิศทาง มุม ก็ตาม แต่ก็ยังเอื้อต่อการนำไปใช้พิสูจน์สมบัติต่าง ๆ ได้โดยสะดวก และที่สำคัญคือผู้เรียนก็สามารถจดจำนิยามได้โดยไม่ยุ่งยากนักแม้นจะเป็นการจำแบบนกแก้วนกขุนทองก็ยังพอทน
แต่อุแม่เจ้า ! เมื่อมาพิจารณาบทนิยามของ cross product หรือ vector product ในหนังสือเรียนของเด็ก ม.ปลาย เด็กเรียนบางคนอาจจะร้องจ๊าก "เอะ แล้วอาตมาจะจำได้ไหมนี่" พี่น้องลองพิจารณาเอาเองก็แล้วกัน ดังนี้
u x v = <(b1)(c2)-(b2)(c1), (c1)(a2)-(c2)(a1) , (a1)(b2)-(a2)(b1) >
นอกจากไม่มีความหมายในเชิง graphic แล้ว ยังสุดที่จะหยั่งจำได้ และมันก็เป็นบทนิยามที่ไม่ตรงกับที่กำหนดไว้ในระดับอุดมศึกษา ซึ่งกำหนดไว้ว่า u x v = |u||v| sint n เมื่อ u และ v และ u x v เป็นเวกเตอร์ในระบบมือขวา n เป็นเวกเตอร์หน่วยในทิศทางเดียวกับ u x v , t คือ มุมที่กระทำกันระหว่าง u และ v ทั้งนี้ u x v จะตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดย u และ v
ที่น่าสนใจคือ ผู้สอนสามารถกำหนดแผนภาพประกอบนยามให้ผู้เรียนเกิดแนวคิดที่เอื้อต่อการจำและความเข้าใจได้เป็นอย่างดี
เมื่อพิจารณา |u x v| = |u||v|sin t เนื่องจาก ค่า sin t มากกว่าหรือเท่ากับ 0 ซึ่งค่าดังกล่าวนี้ประยุกต์ไปใช้หาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน และ สามเหลี่ยมที่มีเวกเตอร์ u และ v ประกอบกันเป็นเส้นขอบรูป นั่นคือ
พื้นที่สี่เหลี่ยด้านขนานเท่ากับ |u x v|
พื้นที่สามเหลี่ยมเท่ากับ (1/2)|u x v|
และการผสมผสานระหว่า dot และ cross operator ที่เรียกว่าผลคูณเชิงสเลาร์นั้น ก็สามารถประยุกต์ใช้ในการหาปริมาตรของรูปทรงสี่เหลี่ยมด้านขนาน นั่นคือ ถ้า u, v และ w เป็นด้านประกอบของทรงสี่เหลี่ยมหน้าขนานจะได้ว่า
ปริมาตรของรูปทรงดังกล่าวจะเท่ากับ ค่าสัมบูรณ์ของ u.vxw ทั้งนี้ ลำดับของ u, v และ w ไม่สำคัญ เพราะเป็นค่าสัมบูรณของจำนวนที่เกิดจากค่าตัวกำหนด(determinant) ของจำนวนแสดงทิศทางของสามเวกเตอร์ ซึ่งโดยสมบัติของ determinant แล้ว การเปลี่ยนตำแหน่งแถว หรือ หลัก ของเมทริกซ์ไม่กระทบต่อขนาดของตัวเลขซึ่งเป็นค่าของ det นั้น
อนึ่ง ถ้า u, v และ w เป็นเวกเตอร์ร่วมระนาบ(coplanar) แล้ว u.vxw เท่กับ 0 เสมอ
ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/
บทกลอนมาฝาก
" คมความคิดถึงประหนึ่งมีด
คิดขึ้นมาครั้งหนึ่งก็กรีดใจหนึ่งหน
สงสารใจทรมานสู้ทานทน
คิดถึงคนหลายใจได้ทุกวัน "
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น