สวัสดีทุกท่านครับ ขอให้กำลังใจ นิสิต นักศึกษาและผู้อ่านที่กำลังคร่ำเคร่งทำรายงานและหรือกำลังดูหนังสือเพื่อเตรียมสอบปลายภาคที่กำลังย่างกรายเข้ามาถึงในเวลาไม่ช้านี้ เครียดนะครับโดยเฉพาะนักศึกษาที่กำลังเรียนปีสุดท้ายที่จำต้องออกไปเผชิญกับการหางานทำหลังจบ สงครามชีวิตจริงมันกำลังเริ่มขึ้นแล้ว หลายคนลุ้นเพื่อให้ได้เกียรตินิยมในขณะที่หลายคนเช่นกันที่ลุ้นเพื่อให้ผ่านพ้นคำว่าเกือบตกให้ได้ แต่ทุกคนคงเริ่มคิดกันถึงการจัดการบริหารชีวิตว่าจะเอาอย่างไรต่อไปดี เรียนต่อ หรือ หางานทำ โดยเฉพาะคนที่ไม่ได้เกิดมาบนกองเงินกองทองต้องคิดมากหน่อยนะครับ แต่ทุกปัญหาล้วนก่อให้เกิดปัญญาเสมอเมื่อเพ่งพิจารณาอย่างมีสติ และเปิดใจให้กว้างย่อมมีทางออกเสมอ ขอเป็นกำลังใจให้ทุกคน ทุกกิจกรรมจงทำให้ดีที่สุดแล้วอย่าไปพะวงกับผลที่มันจะเกิดขึ้นเพราะมันไม่ใช่หน้าที่ของเราแต่เป็นหน้าที่ของเขาผู้ประเมินหรือผู้ตัดสินใจ คิดไปก็เครียดเสียเปล่า ....ทำได้ คือ อธิษฐาน เชื่อมั่นศรัทธา และรับมาเป็นของตน ด้วยพลังแห่งความดึงดูดของความคิดบนฐานของสติและสมาธิที่มั่นคงย่อมก่อให้เกิดปาฏิหาริย์เสมอ อย่าคิดลบเป็นอันขาด .... ถ้าจำเป็นก็ต้องใช้มนตร์คาถา ของครูบาอาจารย์ที่เคารพศรัทธาเพื่อยังจิตให้คิดบวก คิดสำเร็จ เสมอก็จงใช้อย่ารั้งรอ คิดไม่ออกบอกไม่ถูกลิงค์เข้าบล็อกครูพี...http://muntra.blogspot.com/
ในครั้งนี้ผู้เขียนขอนำเรื่องราวที่น่าจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้เตรียมสอบบรรจุเข้าทำงานโดยเฉพาะงานราชการที่เริ่มหายากเข้าทุกวันแล้ว เตรียมตัวเกือบตาบแต่ก็สู้เส้นสายไม่ได้ เฮ้อ! เหนื่อยใจกับระบบอุปถัมภ์ในสังคมยิ้มละไมไทยแลนด์นี้เสียเหลือเกิน เอาวะ! สู้โว้ย! ให้มันรู้ไปว่าสังคมพุทธหาความบริสุทธิ์แห่งความยุติธรรมไม่ได้ สู้ ๆ ทำดีที่สุด ทำข้อสอบได้ให้มันอายไปเลย ถ้าไม่รับเข้า
ทำงาน พิสูจน์พลังอำนาจแห่งวิบากกรรมดูถี
ในการสอบแข่งขันเพื่อบรรจุบุคคลเข้ารับราชการพลเรือนในส่วนราชการต่าง ๆ นั้น หลักสูตรแข่งขันได้กำหนดขอบเขตเนื้อหาที่จะใช้ในการสอบ โดยจัดแบ่งออกเป็น 3 ภาคด้วยกัน คือ
ก. ความรู้ความสามารถทั่วไป
ข. ความรู้ความสามารถที่ใช้เฉพาะตำแหน่ง
ค. ความเหมาะสมกับตำแหน่ง
สำหรับ ภาค ก ที่เกี่ยวกับความรู้ความสามารถทั่วไปนั้นจะเป็นการทดสอบความสามารถในการคิดหาเหตุผลโดยใช้ข้อมูล หรือปัญหาทางด้านสังคมศึกษา หรือทางคณิตศาสตร์ หรือทางด้านอื่นที่เหมาะสมในการทดสอบ
ในส่วนที่เกี่ยวกับการทดสอบความสามารถทางด้านคณิตศาสตร์นั้นผู้เข้าสอบจะทำข้อสอบประเภทนี้ได้ดีจะต้องอาศัยทักษะ ประสบการณ์ในการคิดปัญหาต่าง ๆ โดยอาศัยกฎเกณฑ์ หลักการและความเข้าใจในทางคณิตศาสตร์เป็นพื้นฐานในการคิด เพราะการทำข้อสอบทุกข้อนั้นหมายถึงโอกาสที่จะได้รับการคัดเลือกบรรจุหรือไม่ เวลาในการคิดพิจารณาในเรื่องต่าง ๆ มีความสำคัญเป็นอย่ายิ่ง ดังนั้นการสร้างโอกาสให้แก่ตัวเองวิธีหนึ่งก็คือ การหาเทคนิค ประสบการณ์ในการแก้ปัญหาโดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อสอบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์นั้น บุคคลโดยทั่วไปทำไม่ค่อยได้ดีมากนัก คนที่ทำได้ดีย่อมได้เปรียบและมีโอกาสมากกว่าในการที่จะได้รับการบรรจุเข้ารับราชการ
ข้อสอบที่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์นั้นในที่นี้จะกล่าวถึงใน 4 ลักษณะด้วยกันคือ
1. ข้อสอบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เหตุผล
2. ข้อสอบเกี่ยวกับลำดับตัวเลข หรือเรียกว่าอนุกรมก้าวหน้าเลขคณิต
3. ข้อสอบเกี่ยวกับการสรุปความ
4. ข้อสอบเกี่ยวกับการวิเคราะห์กราฟและแผนภูมิ
1. ข้อสอบเกี่ยวกับคณิตศาสตร์เหตุผล
เป็นข้อสอบที่เน้นเรื่องวิธีการ หลักการ การแปลความ การตีความ การขยายความ การเปรียบเทียบ เป็นต้น ความเข้าใจในด้านภาษานี้มีอืทธิพลต่อการทำข้อสอบประเภทนี้มาก ต้องอ่านโจทย์ให้เข้าใจ ผู้สร้างข้อสอบจะสร้างคำถาม หรือโจทย์ปัญหา โดยใช้ภาษาที่คนโดยทั่วไปอ่านเข้าใจง่าย และมีความเป็นปรนัยในตัวเอง ไม่ได้อยู่ที่เนื้อหาแต่อยู่ที่เทคนิคที่คนโดยทั่วไปรู้ ผู้ใดมีความสามารถด้านเหตุผลสูง การนำคณิตศาสตร์ไปใช้ประโยชน์ก็จะเป็นไปอย่างกว้างขวางขึ้น ตัวอย่าง เช่น
1) เศษส่วน 3/4 ถ้านำเอา 5 คูณทั้งเศษ และส่วนแล้วค่าที่ได้จะเป็นอย่างไร
ก. ค่าน้อยลง
ข. ค่าจะเพิ่มมากขึ้น
ค. ค่าจะเท่าเดิม
ง. ค่าของตัวเศษจะหมดไป
คำตอบ ค
2) ถ้า x(x - y) แล้วข้อใดเป็นจริง
ก. x = 0
ข. x = y
ค. ไม่ x = 0 ก็ x = y
ง. x^2 = y
จ. ทั้ง x = 0 และ x = y = 0
คำตอบ ค
3) วงกลมวงหนึ่ง ถ้าเพิ่มรัศมีเป็นสองเท่าแล้วพื้นที่จะเพิ่มขึ้นอีกกี่เท่า
ก. 1 เท่า
ข. 2 เท่า
ค. 3 เท่า
ง. 4 เท่า
จ. 5 เท่า
คำตอบ ง
2. ข้อสอบเกี่ยวกับลำดับ หรืออนุกรมก้าวหน้าเลขคณิต
เป็นข้อสอบที่วัดความสามารถในการคิดคำนวณหาตัวเลขในลำดับต่าง ๆ โดยกำหนดกลุ่มตัวเลขมาให้ชุดหนึ่งซึ่งจะมีตัวเลขอย่างน้อย 3 - 4 ตัว ซึ่งอยู่ภายใต้เงื่อนไข หรือหลักเกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่งแล้วให้ผู้เข้าสอบพิจารณาหาตัวเลขที่อยู่ถัดไป หรืออาจจะเว้นตัวเลขไว้แล้วให้หาตัวเลขที่เว้นไว้นั้น ซึ่งมีความสัมพันธ์ภายใต้เงื่อนไขอย่างใดอย่างหนึ่งในกลุ่มตัวเลขชุดที่กำหนดมาให้นั้น ซึ่งการคิดข้อสอบประเภทนี้จะต้องพยายามหาเงื่อนไขหรือกฎเกณฑ์ให้ได้ว่าแปรเปลี่ยนไปอย่างไรแล้วจึงใช้เงื่อนไขหรือกฎเกณฑ์ที่ได้นั้นหาคำตอบตามที่ต้องการ ตัวอย่าง เช่น
1) 15, 10, 5, 0, -5 (ลดลงทีละ 5)
2) 1, 5, 7, 10, 14 (ลำดับการเพิ่มเป็น 1, 2, 3, 4, ... )
3) 1, 3, 7, 15, 31 (เทอมหลัง = เทอมหน้า x 2 + 1 )
4) 9/9 , 7/16, 5/25, 3/36 (ตัวเศษลดลงครั้งละ 2 , ตัวส่วนเพิ่มโดยยกกำลังสอง)
5) 123, 234, 345, 456 (เลขโดดในหลักร้อย สิบ และหน่วย เพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง )
3. ข้อสอบเกี่ยวกับการสรุปความ
เป็นการหาเหตุผลโดยพิจารณาจากสิ่งที่โจทย์กำหนดให้ว่าจะสามารถสรุปได้อย่างไรในขอบเขตของสิ่งที่กำหนดให้นั้น โดยจะต้องยอมรับในสถานการณ์หรือเหตุการณ์ที่เป็นเหตุ หรือข้อกำหนดว่าเป็นจริงก่อน เช่น
1) คนทุกคนบินได้ และ แดงเป็นคน ฉะนั้น
ก. แดงบินได้
ข. แดงเป็นนก
ค. แดงนั่งเครื่องบิน
ง. แดงเป็นคนพิเศษ
จ. สรุปแน่นอนไม่ได้
คำตอบ ก
2) สาวอุบลฯ ทุกคนเป็นคนสวย สมชายมีภรรยาเป็นชาวอุบลฯ
ก. สมชายเป็นคนรูปหล่อ
ข. สมชายเป็นชาวอุบลฯ
ค. สมชายชอบเมืองอุบลฯ
ง. ภรรยาสมชายสวย
จ. สรุปแน่นอนยังไม่ได้
คำตอบ ง
3) การเรียนวิทยาศาสตร์ตอนบ่ายไม่ค่อยรู้เรื่อง ดำเรียนวิทยาศาสตร์ตอนเช้า ฉะนั้น
ก. เขาตั้งใจเรียน
ข. เขาเรียนเข้าใจดี
ค. เขาชอบวิทยาศาสตร์
ง. เขาสอบวิทยาศาสตร์ได้ดี
จ. ยังสรุปแน่นอนไม่ได้
คำตอบ จ
3. ข้อสอบเกี่ยวกับการวิเคราะห์กราฟและแผนภูมิ
ข้อสอบประเภทนี้โจทย์จะกำหนดรูปภาพ กราฟ และแผนภูมิต่าง ๆ มาให้ ซึ่งอาจจะอยู่ในรูปกราฟวงกลม กราฟแท่ง กราฟเส้นตรง หรือตารางแล้วให้ผู้เข้าสอบวิเคราะห์ถึงความสัมพันธ์ และแนวโน้มที่น่าจะเป็นได้ในอนาคต
เอาละนั่นคือกรอบของข้อสอบ ต่อไปจะได้กล่าวถึงเครื่องมือ หรือ พื้นฐานที่เมื่อผ่านและจดจำย่อมนำไปช่วยพาตัวให้รอดปลอดภัยจากสถานการณ์ที่เผชิญได้
ชุดที่ 1 สูตรคณิตศาสต์พื้นฐาน
1. สูตรการแยกตัวประกอบ
1.1 สูครกำลังสองสมบูรณ์
1) (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 หรือ อาจท่องจำกันในรูป
หน้าบวกหลังกำลังสอง เท่ากับ หน้ากำลังสองบวกสองหน้าหลังบวกหลังกำลังสอง
2) (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 หรือ อาจท่องจำกันในรูป
หน้าลบหลังกำลังสอง เท่ากับ หน้ากำลังสองลบสองหน้าหลังบวกหลังกำลังสอง
1.2 สูครกำลังสามสมบูรณ์
1) (a + b)^3 = a^3 + 3(a^2)b + 3a(b^2) + b^3 หรือ อาจท่องจำกันในรูป
หน้าบวกหลังกำลังสาม เท่ากับ หน้ากำลังสาม บวก สามหน้ากำลังสองหลัง บวก สามหน้าหลังกำลังสอง บวก หลังกำลังสาม
2) (a - b)^3 = a^3 - 3(a^2)b + 3a(b^2) - b^3 หรือ อาจท่องจำกันในรูป
หน้าลบหลังกำลังสาม เท่ากับ หน้ากำลังสาม ลบ สามหน้ากำลังสองหลัง บวก สามหน้าหลังกำลังสอง ลบ หลังกำลังสาม
1.3 สูตรผลต่างกำลังสอง
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) หรือ อาจท่องกันในรูป หน้ากำลังสอง ลบ หลังกำลังสอง เท่ากับ หน้าลบหลัง คูณ หน้าบวกหลัง
1.4 สูตรผลต่างกำลังสาม
a^3 - b^3 =(a - b)(a^2 + ab + b^2) หรืออาจจำกันในรูป หน้ากำลังสามลบหลังกำลังสาม เท่ากับ หน่าลบหลัง คูณ หน้ากำลังสอง บวก หน้าหลัง บวก หลังกำลังสอง
1.4 สูตรผลบวกกำลังสาม
a^3 + b^3 =(a + b)(a^2 - ab + b^2) หรืออาจจำกันในรูป หน้ากำลังสามบวกหลังกำลังสาม เท่ากับ หน้าบวกหลัง คูณ หน้ากำลังสอง ลบ หน้าหลัง บวก หลังกำลังสอง
2. สูตร Factorial
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก n Factorial แทนด้วย n! กำหนดโดย
n! = n(n-1)(n-2) ...(3)(2)(1) = n(n-1)!
และกำหนดให้ 0! = 1
3. สูตรการหาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปเรขาคณิต
3.1 พื้นที่สามเหลี่ยม
1) สามเหลี่ยมที่มีฐานยาว b และสูงยาว h พื้นที่ = (1/2)(b)(h)
2) สามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านเป็น a, b และ c พื้นที่ = กรณฑ์ที่สองของ s(s-a)(s-b)(s-c) เมื่อ s = (1/2)(a+b+c)
3) สามเหลี่ยมด้านเท่าที่ด้านยาว a พื้นที่ = sqr(3)/4 x (a^2)
3.2 พื้นที่สี่เหลี่ยม
1) สี่เหลี่ยมจัตุรัส
พื้นที่ = ด้าน คูณ ด้าน หรือ
ด้านกำลังสอง หรือ
ครึ่งหนึ่งของผลคูณของเส้นทะแยงมุม
2) สี่เหลี่ยมผืนผ้า
พื้นที่ = กว้าง คูณ ยาว
3) สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน
พื้นที่ = ครึ่งหนึ่งของผลคูณเส้นทแยงมุม
4) สี่เหลี่ยมรูปว่าว
พื้นที่ = ครึ่งหนึ่งของผลคูณเส้นทแยงมุม
5) สี่เหลี่ยมด้านขนาน
พื้นที่ = ฐาน คูณ สูง
6) สี่เหลี่ยมคางหมู
พื้นที่ = (1/2) คูณผลบวกด้านคู่ขนาน คูณ สูง
7) สี่เหลี่ยมด้านไม่เท่า
พื้นที่ = (1/2) คูณ เส้นทแยงมุม คูณผลบวกของเส้นกิ่ง
8) สี่เหลี่ยมใด ๆ
ที่รู้ความยาวของด้านทั้งสี่ พื้นที่เท่ากับ กรณฑ์ที่สองของ (s-a)(s-b)(s-c)(s-d) เมื่อ a, b, c และ d เป็นความยาวของด้านทั้งสี่ และ s = (1/2)(a+b+c+d)
ึ7) วงกลม
พื้นที่ = (pi)(r^2) เมื่อ r คือรัศมี
เส้นรอบวง = 2(pi)(r)
8) รูปเซกเตอร์ของวงกลม
พื้นที่ = (1/2)(r^2)(A) เมื่อ A คือมุมที่จุดศูนย์กลางของเซกเตอร์
ความยาวของส่วนโค้ง = เส้นรอบวง x (A/360)
9) รูปทรงกลมรัศมี r
ปริมาตร = (4/3)(pi)(r^3)
พื้นที่ผิว =4(pi)(r^2)
10) รูปทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก
ให้ a, b, c เป็นความยาวของเส้นขอบของรูปทรง
ปริมาตร = abc
พื้นที่ผิวข้าง = เส้นรอบฐาน x สูง
พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2(พื้นที่หน้าตัด) + พื้นที่ผิวข้าง
11) รูปทรงกระบอกตรง
กำหนด r และ h เป็น รัศมี และความสูงของรูปทรงกระบอกตามลำดับ
ปริมาตร = (pi)(r^2)(h)
พื้นที่ผิวข้าง = 2(pi)rh
พื้นที่ผิวทั้งหมด = 2(pi)(r)(h + r)
12) รูปทรงกรวยตรง
กำหนด r และ h เป็น รัศมี และความสูงของรูปทรงกรวยกลมตรงตามลำดับ
ปริมาตร =(1/3) (pi)(r^2)(h)
พื้นที่ผิวข้าง = (pi)rl เมื่อ l แทนสูงเอียง
พื้นที่ผิวทั้งหมด = (pi)(r)(l + r)
13) รูปพีระมิด
กำหนด A, h เป็นพื้นที่ฐาน และสูง คามลำดับของรูปพีระมิด
ปริมาตร = (1/3)Ah
พื้นที่ผิวข้าง = เส้นรอบฐาน x สูง
พื้นที่ผิวทั้งหมด = พื้นที่ฐาน + พื้นที่ผิวข้าง
3. สูตรการหาค่าของอัตราส่วน หรือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ
1) อัตราส่วนตรีโกณมิติ
กำหนด ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมี A เป็นมุมฉาก และมีด้าน a, b และ c เป็นด้านตรงกันข้ามมุม A, B และ C ตามลำดับ อัตราส่วนตรีโกณฯทั้ง 6 ค่า ของ มุม B ( หรือมุม C ) ที่มิใช่มุมฉากกำหนดโดย
sin B = ข้าม B / ฉาก = b/a
cos B = ชิด B / ฉาก = c/a
tan B = ข้าม B / ชิด B = b/c
ส่วนที่เหลืออีก 3 อัตราส่วน คือ cosec B, sec B และ cot B นั้น เป็นส่วนกลับของ sin B, cos B และ tan B ตามลำดับ
และสิ่งที่น่าสนใจ คือ ฺB และ C เป็นมุมประกอบฉากกัน จะได้ sin B = cos C , cos B = sin c, tan B = cot C , cot B = tan C
sec B = cosec C เป็นต้น เช่นมุม 60 และ 30 เป็นมุมประกอบฉากกัน sin ของมุม 60 องศาจึงเท่ากับ cos ของมุม 30 องศา
เป็นต้น
2) อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมพื้นฐานที่ควรจำ คือ ของมุม 45, 30 และ 60 องศา
2.1) มุม 45 องศา จำเพียงค่า sin เป็น 1/sqr(2) ก็เพียงพอแล้ว เพราะ cos เท่ากับ sin และ tan ก็หาได้จาก sin/cos ก็เท่ากับ 1 ที่เหลือก็ใช้แนวคิดของส่วนกลับ
2.2) มุม 60 และ 30 องศา ผู้เขียน จำเฉพาะ cos ของ 60 องศา เป็น 1/2 แล้วใช้ concept cos = ชิด/ฉาก เขียนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แล้วลงด้านใช้ทฤษฎีพีทาโกรัสประกอบ ส่วนมุม 30 องศา เป็นมุมประกอบฉากกับมุม 60 องศาอยู่แล้วอัตราส่วนตรีโกณฯของมุมทั้งสองเป็น co-function ของกันอยู่แล้ว เอวัง! ก็มีด้วยประการฉะนี้ ไม่จำเป็นต้องใช้ระบบการนับนิ้วก็ได้
3). การเปลี่ยนมุม
ถ้าเปลี่ยนมุมในระบบองศาให้เป็นเรเดียน ให้คูณด้วย pi/180 ผลที่ได้ติด pi ไว้
แต่ถ้าเปลี่ยนมุมเรเดียนให้เป็นองศาให้แทน pi ด้วย 180 แล้วตัดทอนกันเป็นเศษส่วนอย่างต่ำ
4). เอกลักษณ์ตรีโกณฯพื้นฐานที่ควรรู้
ไซน์กำลัง สอง บวก คอสกำลังสอง เท่ากับ หนึ่ง
แทนต์ เท่ากับ ไซน์ ส่วน คอส
หนึ่ง บวก แทนต์กำลังสอง เท่ากับ เซกกำลังสอง
หนึ่งบวกคอตกำลังสองเท่ากับ โคเซกกำลังสอง
และอัตราส่วนคูณส่วนกลับของมันเป็นหนึ่ง เช่น ไซน์คูณโคเซกย่อมเท่ากับหนึ่ง
และต้องรู้ว่าอะไรเป็นส่วนกลับของกันและกัน
4. สูตรเกี่ยวกับลำดับ หรืออนุกรมก้าวหน้าเลขคณิต
1) ลำดับเลขคณิต
ใช้อักษรย่อ A.P. มีรูปมาตรฐานดังนี้
a, a+d, a+2d, a+3d, ..., a+(n-1)d, ...
เมื่อกำหนด a เป็นพจน์แรก
d เป็นผลต่างร่วมที่มีค่าคงที่เสมอ
n คือ จำนวนพจน์
an คือ พจน์ที่ n
sn คือ ผลบวก n พจน์
A คือค่าเฉลี่ยของสองพจน์ที่อยู่ติดกัน
จะได้ an = a + (n-1) d
n = (an - a)/d + 1
sn = (n/2)(a + an) = (n/2)[2a + (n-1)d ]
A = (a+b)/2 เมื่อ a และ b เป็นสองพจน์ที่ติดกัน
2) ลำดับเรขาคณิต
ใช้อักษรย่อว่า G.P.
รูปมาตรฐาน a, ar, a(r^2), a(r^3), ... ,a(r^(n-1) ), ...
เมื่อ a เป็นเทอมแรก , r เป็นอัตราส่วนร่วม จะได้
an = a(r^(n-1)) เมื่อ an เป็นพจน์ที่ n, n เป็น จำนวนพจน์
sn = [a(1 - r^n)] / (1-r) เมื่อ |r| < 1
G^2 = ab เมื่อ a, b เป็นสองพจน์ที่อยู่ติดกัน
G เป็น ตัวกลางเรขาคณิตของ a และ b
3) สูตรการหาผลบวกของเลขจำนวนเต็มที่เริ่มจาก 1
3.1) 1 + 2 + 3 + ... + n = [n(n+1)]/2
3.2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = (1/6)(n)(n+1)(2n+1)
3.3) 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + 4^3 = [ {n(n+1)}/2 ]^2
ึ4) สูตรเกี่ยวกับเลขยกกำลัง
4.1) (a^m)(a^n) = a^(m+n)
4.2) (a^m)/(a^n) = a ^(m-n) เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0
4.3) (ab)^n = (a^n)(b^n)
4.4) (a/b)^n = (a^n)/(b^n) เมื่อ b ไม่เท่ากับ 0
4.5) (a^m)^n = a ^ (mn)
4.6) a^(1/n) = กรณฑ์ที่ n ของ a
4.7) a^(p/q) = กรณฑ์ที่ q ของ a^p)
4.8) a^0 = 1 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0
4.9) a^(-n) = 1/[(a) ^ n] เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0
5) สูตรเกี่ยวกับ logarithmic
5.1) log a ฐาน a เท่ากับ 1
5.2) log a^x ฐาน a เท่ากับ x
5.3) log MN ฐาน a เท่ากับ log M ฐาน a บวกกับ log N ฐาน a
5.4) log(M/N) ฐาน a เท่ากับ log M ฐาน a ลบด้วย log N ฐาน a
5.5) log M^p ฐาน a เท่ากับ plogM ฐาน a
6) สูตรเกี่ยวกับสัดส่วน
6.1) ถ้า a:b = c:d แล้ว ad = bc
6.2) ถ้า a:b = b:c แล้ว b^2 = ac
ุ6.3) ถ้า a:b = c:d แล้ว a + b : b = c + d : d
ุ6.4) ถ้า a:b = c:d แล้ว a - b : b = c - d : d
6.5) ถ้า a:b = c:d แล้ว a + b : a - b = c + d : d - c
ชุดที่ 2 หลักการคิดโจทย์ปัญหาคณิตศาสตร์บางลักษณะ
1. การแจกบัตรอวยพร
ถ้ามีคนทั้งหมด n คน และแต่ละคนแจกบัตรอวยพรแก่กันและกัน จะใช้บัตรอวยพรทั้งสิ้นกี่ใบ
เราจะคิดได้จากสูตร จำนวนบัตรทั้งสิ่น = n(n-1) ใบ
ตัวอย่าง เช่น มีนักศึกษาหมู่เรียนหนึ่งจำนวนทั้งหมด 25 คน ในวันปีไหม่ต่างแจกบัตรอวยพรแก่กันและกัน จะต้องใช้บัตรจำนวนทั้งสิ้น 25x(25-1) = 600 ใบ #
2. การสัมผัสมือ
ลักษณะโจทย์จะแบ่งเป็น 21 แบบ คือ
2.1) การสัมผัสมือกันและกันทุกคน
ถ้ามีคนทั้งหมด n คน และแต่ละคนสัมผัสมือซึ่งกันและกัน จำนวนครั้งในการจับมือ คิดได้จากสูตร [n(n-1)]/2
ตัวอย่าง เช่น มีนักเรียน ๅ00 คน เข้าร่วมประชุมกัน ทุกคนต่างก็สัมผัสมือซึ่งกันและกัน จะมีการสัมผัสมือทั้งสิ้นจำนวน
[(100)(100-1)]/2 = 4,950 ครั้ง #
2.2) การสัมผัสมือแบ่งข้าง
ถ้ามีคนอยู่สองฝ่าย ฝ่ายละ n คน และมีการสัมผัสมือกันกับฝ่ายตรงกันข้ามทุกคน
จำนวนครั้งในการสัมผัสมือจะเท่ากับ nxn ครั้ง
ตัวอย่าง เช่น นักบาสเกตบอลข้างละ 5 คน แต่ละคนสัมผัสมือกันกับฝ่ายตรงกันข้ามทุกคน
จำนวนครั้งในการสัมผัสมือกันจะเท่ากับ 5x5 = 25 ครั้ง #
3) การหาระยะห่างระหว่างเสา และจำนวนเสา
แบ่งลักษณะโจทย์ออกเป็นสองแบบ คือ
3.1) ระยะทางเป็นเส้นตรง
ถ้าปักเสาในแนวเส้นตรงโดยมีระยะห่างกันในแต่ละแถวเท่ากัน จะคำนวณจำนวนเสาทั้งหมดได้จากสูตร
จำนวนเสาทั้งหมด = (ระยะทางทั้งหมด / ระยะห่างระหว่าเสา) + 1
ตัวอย่าง เช่น กำหนดระยะทาง 8 เมตร ปักเสาในแนวเส้นตรงโดยปักห่างกันต้นละ 2 เมตร จะใช้เสาทั้งหมดกี่ต้น
จำนวนเสาทั้งหมด =(8/2) + 1 = 5 ต้น #
3.2) ระยะทางเป็นทางโค้ง วงกลม หรือเส้นตรงประกอบกันโดยมีจุดเริ่มต้นและจุดสุดท้ายอยู่ที่จุดเดียวกัน
สูตรที่ใช้ในการคำนวณจำนวนเสาทั้งหมด
จำนวนเสาทั้งหมด = (ระยะทางทั้งหมด / ระยะห่างระหว่าเสา)
ตัวอย่าง เช่น กำหนดสนามวงกลมยาว 400 เมตร ต้องการปักเสาห่างกันต้นละ 50 เมตร จะใช้เสาทั้งหมดกี่ต้น
จำนวนเสาทั้งหมด = 400/50 = 8 ต้น #
4) การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนขาสัตว์
หลักการคิดเกี่ยวกับจำนวนขาสัตว์เมื่อโจทย์กำหนดจำนวนของสัตว์มาให้อย่างละเท่า ๆ กัน ใช้สูตรในการคำนวณเป็น
จำนวนสัตว์มีชนิดละ = (จำนวนขาสัตว์ทั้งหมด) / (ผลรวมของจำนวนขาของสัตว์อย่างละ 1 ตัว)
คัวอย่าง เช่น นก เสือ วัว และ แมว มีอย่างละเท่า ๆ กัน เมื่อนับขารวมกันได้ 182 ขา จะมีสัตว์อย่างละกี่ตัว
จำนวนสัตว์มีชนิดละ = 182/(2 + 4 + 4 + 4) = 13 ตัว
ดังนั้นจะมีสัตว์อย่างละ 13 ตัว #
5) การคำนวณเกี่ยวกับจำนวนเส้นทแยงมุมของรูป n เหลี่ยม
กำหนด n เป็นจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมที่โจทย์กำหนดให้ แล้วจำนวนเส้นทแยงมุมของรูป n เหลี่ยมนั้นคำนวณได้จากสูตร
จำนวนเส้นทแยงมุม = [n(n-3)]/2
ตัวอย่าง เช่น จงหาจำนวนเส้นทแยงมุมของรูปแปดเหลี่ยมมีมากกว่าจำนวนเส้นทแยงมุมของรูปสิบสองเหลี่ยมกี่เส้น
จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปแปดเหลี่ยม = 8x(8-3) / 2 = 20 เส้น
จำนวนเส้นทแยงมุมของรูปสิบสองเหลี่ยมเหลี่ยม = 12 x (12-3) / 2 = 54 เส้น
ดังนั้นจำนวนเส้นทแยงมุมของรูปสิบสองเหลี่ยมมีมากกว่ารูปแปดเหลี่ยมอยู่ 54 - 20 = 34 เส้น
6) การหาจำนวนเส้นตรงที่ลากผ่านจุดต่าง ๆ ที่กำหนดให้
ถ้ามีจุดแตกต่างกันบนระนาบ n จุดโดยไม่มี 3 จุดใด ๆ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน จะได้ว่า
จำนวนเส้นตรงที่ลากผ่าน 2 จุดใด ๆ = n(n-1) / 2
ตัวอย่าง เช่น บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่งมีจุดคงที่ 10 จุด จงหาจำนวนคอร์ดของวงกลมที่มีจุดเหล่านี้เป็นจุดปลายทั้งสองข้างของคอร์ด
จำนวนคอร์ดของวงกลม = 10 x (10 -1) / 2 = 45 เส้น
7) การหาจำนวนรูปหลายเหลี่ยมที่สร้างจากจุดที่กำหนดให้
ถ้ามีจุดที่แตกต่างกัน n จุด โดยไม่มีสามจุดใดอยู่บนระนาบเดียวกัน จำนวนรูป r เหลี่ยม เมื่อ r ไม่ต่ำกว่า 3 และไม่เกิน n
ที่สร้างได้จากจุด n จุด คำนวณได้จากสูตร
จำนวนรูป r เหลี่ยม = [n(n-1)...(n-r+1)] / [ r(r-1)(r-2)...(3)(2)(1)]
ตัวอย่าง เช่น บนเส้นรอบวงของวงกลมวงหนึ่ง มีจุดคงที่ 12 จุด จงหาจำนวนรูปสามเหลี่ยมที่สร้างขึ้นได้ทั้งหมดโดยมีจุดเหล่านี้เป็นจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมเหล่านั้น
ในที่นี้ n = 12, r = 3, n-r+1 = 12 - 3 + 1 = 10 จะได้
จำนวนรูปสามเหลี่ยม = [(12)(11)(10)]/[(3)(2)(1) = 220 รูป #
8) การหาจำนวนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากการตัดกันของเส้นขนานกันสองชุด
โดยทั่งไปถ้ามีเส้นขนานกันสองชุด ชุดที่ 1 มี m เส้น ชุดที่สองมี n เส้น จำนวนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากการตัดกันของเส้นตรงทั้งสองชุดดังกล่าวนั้น คำนวณได้จากสูตร
[ m(m-1) / 2 ] x [ n(n-1) / 2 ]
ตัวอย่าง เช่น จงหาจำนวนรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเส้นในแนวนอน 5 เส้น ตัดกับเส้นในแนวตั้ง 7 เส้น
ซึ่งจะอาศัยสูตรคำนวณได้เป็น [5(5-1)/2] x [ 7(7-1)/2 ] = 210 รูป #
9) สรุปแนวคิดในการหาเหตุผลแบบสรุปความ
โจทย์จะกำหนดเหตุการณ์ต่าง ๆ มาให้โดยให้ผู้ตอบหาข้อสรุปจากเหตุการณ์นั้น ๆ ว่าสรุปอย่างสมเหตุสมผลอย่างไร ซึ่งพอจะแบ่งลักษณะโจทย์คำถามได้ 4 แบบ ดังนี้
ก. โจทย์จะกำหนดเหตุการณ์มาให้ 3 เหตุการณ์ เพื่อให้สรุปดังนี้
ถ้าเกิดเหตุการณ์ (1) แล้วจะเกิดเหตุการณ์ (2) และเหตุการณ์ (3) เกิดขึ้น
ฉะนั้นจะได้ข้อสรุป
(1) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :ถ้าเกิดเหตุการณ์ p แล้วจะเกิดเหตุการณ์ q และเหตุการณ์ p เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องเกิดเหตุการณ์ q
(2) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :ถ้าเกิดเหตุการณ์ p แล้วจะเกิดเหตุการณ์ q และเหตุการณ์ q เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นสรุปแน่นอนไม่ได้
(3) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :ถ้าเกิดเหตุการณ์ p แล้วจะเกิดเหตุการณ์ q และเหตุการณ์ p ไม่เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นสรุปแน่นอนไม่ได้
(4) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :ถ้าเกิดเหตุการณ์ p แล้วจะเกิดเหตุการณ์ q และเหตุการณ์ q ไม่เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นไม่เกิดเหตุการณ์ p
ตัวอย่าง เช่น กำหนดสถานการณ์ว่า ถ้าวันนี้ฝนตกแล้วแดงจะอยู่บ้าน
ให้ p แทน วันนี้ฝนตก
q แทน แดงอยู่บ้าน
และกำหนดเหคุการณ์เพิ่มเติมดังนี้
1. ถ้ากำหนดว่า วันนี้ฝนตก (p)
จะสรุปได้ว่า แดงอยู่บ้าน (q)
2. ถ้ากำหนดว่า วันนี้แดงอยู่บ้าน (q)
จะสรุปว่า สรุปแน่นอนยังไม่ได้ (ไม่แน่ชัด)
3. ถ้ากำหนดว่า วันนี้ฝนไม่ตก (ไม่เกิด p)
จะสรุปว่า สรุปแน่นอนยังไม่ได้ (ไม่แน่ชัด)
4. ถ้ากำหนดว่า วันนี้แดงไม่อยู่บ้าน (ไม่เกิด q)
สรุปได้ว่า ฝนไม่ตก (ไม่เกิด p)
ข. โจทย์กำหนดเหตุการณ์มาให้ 3 เหตุการณ์ดังนี้
เกิดเหตุการณ์ (1) หรือเหตุการณ์ (2) และ มีเหตุการณ์ (3) เกิดขึ้น ฉะนั้นข้อสรุป
ถ้าให้ p เป็นเหตุการณ์ (1) , q เป็นเหตุการณ์ (2) จะหาข้อสรุปได้ดังนี้
ข้อสังเกต p, q เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันไม่ได้
(1) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :
เกิดเหตุการณ์ p หรือเกิดเหตุการณ์ q และ
เหตุการณ์ p เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องไม่เกิดเหตุการณ์ q
(2) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :
เกิดเหตุการณ์ p หรือเกิดเหตุการณ์ q และ
เหตุการณ์ q เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องไม่เกิดเหตุการณ์ p
(3) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :
เกิดเหตุการณ์ p หรือเกิดเหตุการณ์ q และ
เหตุการณ์ p ไม่เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องเกิดเหตุการณ์ q
(4) เหตุการณ์ที่กำหนดให้ :
เกิดเหตุการณ์ p หรือเกิดเหตุการณ์ q และ
เหตุการณ์ q ไม่เกิดขึ้น
ผลสรุป : ฉะนั้นต้องเกิดเหตุการณ์ p
ตัวอย่าง เช่น กำหนดเหตุการณ์ว่า " ดำต้องไปดูหนังหรือต้องไปดูฟุตบอล "
1. ดำไปดูหนัง สรุปว่า ดำไม่ไปดูฟุตบอล
2. ดำไปดูฟุตบอล สรุปว่า ดำไม่ไปดูหนัง
3. ดำไม่ไปดูหนัง สรุปว่า ดำไปดูฟุตบอล
4. ดำไม่ไปดูฟุตบอล สรุปว่า ดำไปดูหนัง
ค. เหคุการณ์สมมุติแบบสัมพันธ์กันเป็นทอด ๆ
โจทย์จะกำหนดเงื่อนไขมาให้เป็นคู่ ๆ และเกี่ยวเนื่องกันไป (ซึ่งเงื่อนไขนั้นอาจขัดกับข้อเท็จจริงที่ยอมรับกันทั่วไปก็ได้) ซึ่งการตอบข้อสอบแบบนี้เราจะทำได้โดยนำเงื่อนไขนั้นมาใช้กับตัวเริ่มต้นและตัวสุดท้าย ก็จะเป็นข้อสรุปที่ถูกต้อง
ตัวอย่างเช่น ถ้า 3 = 4 แล้ว 5 = 6 และ ถ้า 5 = 6 แล้ว 7 = 8
เราจะสรุปได้ว่า ถ้า 3 = 4 แล้ว 7 = 8
ข้อสังเกต เงื่อนไขบางอย่างจะใช้กับหลักการนี้ไม่ได้ เช่า นายดำรักนางสาวเขียว และ นางสาวเขียวรักนายแดง จะสรุปว่า นายดำรักนายเเดงไม่ได้
เงื่อนไขที่ใช้กับกฎเกณฑ์นี้ได้ เช่น
- การเปรียบเทียบขนาด ระยะทาง เวลา และปริมาณต่าง ๆ การเท่ากัน หรือเป็นอย่างเดียวกัน
- ความเป็นญาติในส่วนที่เกี่ยวกับพี่น้อง
เงื่อนไขที่ใช้กับกฎเกณฑ์นี้ไม่ได้ เช่น
- เกี่ยวกับความรู้สึกที่มีต่อกัน เช่น ชอบ เกลียด รัก เป็นต้น
- เกี่ยวกับความเป็นญาติ เช่น ลุง ป้า พ่อ แม่ เป็นต้น
ซึ่งต้องพิจารณาดูโดยใช้หลักข้อเท็จจริง และเหตุผลประกอบกัน
ง. เกี่ยวกับการจัดลำดับซึ่งมีลักษณะคล้ายข้อสอบแบบเรียงลำดับ โจทย์จะกำหนดเงื่อนไขมาให้เลย ซึ่งวิธีคิดคำตอบนั้นผู้ตอบอาจใช้เขียนรูป หรือ แบบจำลองประกอบตามเหตุการณ์เพื่อเปรียบเทียบกัน แล้วจะได้ข้อสรุปตามต้องการ
ตัวอย่างเช่น เมือง ก อยู่เหนือเมือง ข ก็ต้องเขียนตัว ก ไว้เหนือตัว ข และถ้าโจทย์กำหนดต่อไปว่า เมือง ค อยู่ใต้เมือง ก
ก็ต้องเขียนตัว ค ไว้ใต้เมือง ก ก็ต้องเขียนตัว ค ไว้ใต้ตัว ก รวมกัน 2 ตัว คือตัวแรกอยู่ใต้ ก แต่เหนือ ข และตัวที่สองเขียนไว้ใต้ ข (เพราะยังไม่รู้ว่าตัวใดกันแน่) ต่อไป เมื่อโจทย์กำหนดเพิ่มเติมว่า เมือง ข อยู่เหนือเมือง ค อย่างนี้ก็ต้องตัด ค ตัวบนทิ้ง
ก
ค >>> ตัดทิ้ง
ข
ค
โดยหลักการทั้งสี่ลักษณะดังกล่าวนี้ การหาคำตอบที่ถูกต้องของข้อสอบแบบสรุปความก็อาจทำได้ง่ายขึ้น อนึ่งการตรวจสอบความสมเหตุสมผล หรือ การสรุปความนั้นผู้สอบอาจใช้แผนภาพของ เวนน์-ออยเลอร์ ประกอบการพิจารณาก็ได้ แต่ในบล็อกนี้จะไม่นำเสนอวิธีดังกล่าวนี้ไว้ เพราะจะยาวเกินความจำเป็น
ขอจบ blog นี้ลงเพียงนี้แล้วกันนะครับ พิมพ์ทั้งวันเลย คนแก่คาลาย ยังมีเนื้อหาเกี่ยวกับคณิตศาสตร์พื้นฐานต่าง ๆ อีกบางสาระที่ยังไม่นำเสนอไว้ ถ้ามีเวลาและโอกาสก็จะได้เพิ่มเติมเนื้อหาลงไปใน blog นี้ต่อไป ขอจงไปทบทวน รื้อฟื้นความรู้เดิม ๆ ก็แล้วกัน ของให้ทุกท่านโชคดี
ด้วยความปราถนาดี
ครู PEE/
ฝากข้อคิดดี ๆ จากคัมภีร์รากผัก
"ความฉลาดมากเล่ห์ มิสู้ความสัตย์ซื่อตรง"
คนที่เพิงออกสู่สังคมภายนอก ยังไม่มีประสบการณ์อะไรนัก ย่อมได้รับผลสะเทือนที่เลวร้ายน้อย แต่คนที่มากด้วยประสบการณ์ก็ย่อมมากด้วยเล่ห์เหลี่ยมเพทุบาย ด้วยเหตุนี้ บัณฑิตผู้ประสงค์จะรักษาคุณงามความดีของตนเอาไว้ พึงเข้าใจด้วยว่าการปฏิบัติตนอย่างฉลาดมากเล่ห์เกินไปนั้น สู้การเป็นคนซื่อใจอารีไม่ได้ อีกทั้งการปฎิบัติต่อผู้อื่นอย่างเสแสร้งและระแวดระวังเกินไปก็สู้ความใจกว้างและตรงไปตรงมาไม่ได้
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น