นักคณิตฯและนักปรัชญา

นักคณิตศาสตร์
จากวิกิพีเดีย สารานุกรมเสรี

นักคณิตศาสตร์ คือบุคคลที่ศึกษาและทำงานวิจัยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์

บทบาท

งานของนักคณิตศาสตร์ไม่ใช่เพียงศึกษาแต่ยังค้นคว้าวิจัยเพื่อสร้างความ รู้ใหม่ๆ ทางคณิตศาสตร์ ซึ่งบทบาทนี้เป็นสิ่งที่ต้องเน้นในที่นี้ เพราะว่ามักมีความเชื่อผิดๆ ว่าทุกอย่างในคณิตศาสตร์นั้นถูกค้นพบแล้ว ในความเป็นจริง การตีพิมพ์ผลงานวิจัยใหม่ทางด้านคณิตศาสตร์ยังคงมีอยู่สูงในวารสารทางวิทยาศาสตร์ ซึ่งจำนวนมากมีเป้าหมายเพื่อพิมพ์งานด้านคณิตศาสตร์ และอีกหลายๆ เล่มนั้นก็เกี่ยวข้องสาขาวิชาที่นำคณิตศาสตร์ไปใช้ (เช่น วิทยาการคอมพิวเตอร์เชิงทฤษฎี, ฟิสิกส์ หรือ กลศาสตร์ควอนตัม)

การคำนวณตัวเลข

คนทั่วไปมักคิดว่านักคณิตศาสตร์ต้องทำงาน เชี่ยวชาญ และเก่งในเรื่องที่เกี่ยวกับการคำนวณตัวเลขมาก เช่น บวกหรือลบเลขเพื่อคำนวณค่าทิปให้พนักงานบริการ นี่ก็เป็นความคิดที่ผิดอีกเช่นกัน เพราะแม้แต่นักคณิตศาสตร์ชื่อดังหลายๆ ท่านยังทำเรื่องพวกนี้ได้แย่กว่าคนธรรมดาเสียด้วยซ้ำ ในความเป็นจริงแล้ววิชาคณิตศาสตร์เป็นทั้งศาสตร์และศิลป์ที่ลึกซึ้งและมี อะไรมากกว่าแค่การคำนวณตัวเลขมากนัก อย่างไรก็ตามในหมู่นักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ก็มีบางท่านที่มีพรสวรรค์ที่ สามารถคำนวณสมการทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนมากในใจได้อย่างรวดเร็ว เช่น วอน นอยแมน หรือ รามานุจัน เป็นต้น

แรงบันดาลใจ

นักคณิตศาสตร์มีแรงบันดาลใจในการทำงานหลายรูปแบบด้วยกัน ซึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ได้มาจากความโลภทางเงินตรา แต่มาจากความสนใจในความรู้ หรือ ความใคร่รู้โดยตรง และแรงบันดาลใจอาจมาจากนักคณิตศาสตร์ที่ตนชื่นชอบที่เป็นฮีโร่ในอุดมคติ

ในหนังสือ A Mathematician's Apology อันโด่งดังของกอดเฟรย์ ฮาร์ดี้นักคณิตศาสตร์ที่มีอิทธิพลมากที่สุดคนหนึ่งในคริสต์ศตวรรษที่ 20 ฮาร์ดี้ได้บรรยายด้วยความรู้สึกส่วนตัวว่า สำหรับเขาแล้วคณิตศาสตร์โดยเฉพาะคณิตศาสตร์บริสุทธิ์คือศิลปะ มันเป็นการสร้างสรรค์สิ่งที่สวยงามออกมาจากจิตใจภายใน นักคณิตศาสตร์ทำงานของเขาเพราะว่าเขาชื่นชอบและมีความสุขในงานที่เขาทำ เขาไม่ชอบคณิตศาสตร์ประยุกต์ และหวังว่าผลงานของเขาจะไม่ถูกใช้ประยุกต์ในด้านใดๆ เลย! นอกจากนี้เขายังได้กล่าววาทะที่นักคณิตศาสตร์ทั่วไปชื่นชอบว่า ความ งามมาเป็นอันดับแรก ไม่มีที่อยู่ในโลกใบนี้สำหรับคณิตศาสตร์ที่น่าเกลียด (Beauty is the first test: there is no permanent place in this world for ugly mathematics)

ความสวยงามของคณิตศาสตร์นั้นซ่อนเร้นอยู่ในหลายๆ แห่ง ไม่ว่าจะเป็นขั้นตอนการพิสูจน์ หรือผลลัพธ์ของทฤษฎีบท ซึ่งล้วนแล้วแต่มีความสวยงามอยู่ไม่ต่างจากความงามของภาพวาดหรือความงามของบทเพลงและบทกวี ในหนังสือของเขา ฮาร์ดี้ในกล่าวถึงความงามทางคณิตศาสตร์ไว้ดังนี้

อะไรก็ตามในคณิตศาสตร์นั้นสวยงามถ้า

1. มีความเรียบง่าย สั้น ง่ายต่อการทำความเข้าใจ (economy)
2. มีความน่าประหลาดใจ คาดไม่ถึง (unexpectedness)
3. ไม่สามารถหลีกเลี่ยงสิ่งนั้นได้ ไม่ว่าเราจะพิสูจน์หรือคิดในรูปแบบใดก็ตาม จะเจอผลลัพธ์เดียวกันนี้เสมอ (ineviability)



ความแตกต่างระหว่างนักคณิตศาสตร์ นักปรัชญาคณิตศาสตร์ และนักวิทยาศาสตร์

(เอกสารอ้างอิงหลักในหัวข้อนี้; Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty)

นักปรัชญาโดยเฉพาะนักปรัชญาคณิตศาสตร์ (เช่น เบอร์ทรันด์ รัซเซลล์, อัลเฟรด ไวท์เฮด หรือ เวย์น ควินน์) มักจะสนใจวิเคราะห์เจาะประเด็นในเรื่องที่นักคณิตศาสตร์ทั่วไปถือว่าเป็นความจริงหรือสัจพจน์ทาง คณิตศาสตร์อยู่แล้ว เช่น นักปรัชญาคณิตศาสตร์มักพิจารณาอย่างละเอียดว่าประโยค "1+1=2" นั้นหมายความว่าอย่างไร และเป็นจริงได้อย่างไรกันแน่ (โดยในหนังสือ Principia of Mathematica ที่โด่งดังของ รัซเซลล์กับไวท์เฮดนั้น ต้องใช้ถึงหลายสิบหน้าในการพิสูจน์ประโยคนี้ทีเดียว) กล่าวโดยสรุปนักปรัชญาคณิตศาสตร์มักสนใจในเรื่องต่อไปนี้

* หลักเกณฑ์การให้เหตุผล (หรือ ตรรกศาสตร์) เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบททาง คณิตศาสตร์ เช่น หลักการให้เหตุผลมีกี่ประเภท แต่ละประเภทแตกต่างกันอย่างไร เป็นต้น นักปรัชญาคณิตศาสตร์ที่มีความเชื่อต่างกันบางทีก็ถกเถียงกันว่าหลักเกณฑ์การ ให้เหตุผลแบบใดกันแน่ที่ถูกต้อง ในประเด็นนี้สามารถแบ่งนักปรัชญาคณิตศาสตร์ได้เป็นสามประเภทใหญ่ๆ คือ Logicist, Intuitionist และ Formalist
* ขอบเขตของคณิตศาสตร์ เช่น คณิตศาสตร์ครอบคลุมความจริงประเภทใดบ้างเมื่ออ้างเซตของสัจพจน์กลุ่มหนึ่ง และมีสิ่งใดไม่สามารถใช้หลักเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์พิสูจน์ได้บ้างเป็นต้น (ดู ทฤษฎีความไม่สมบูรณ์และ ปัญหาการยุติการทำงาน)
* คณิตศาสตร์ใหม่ คือการสร้างคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่จากเซตของสัจพจน์ที่แตกต่างจากเดิมเพื่อ ก้าวข้ามขอบเขตของคณิตศาสตร์เดิม บางครั้งก็มีการถกเถียงกันว่าควรจะยอมรับสัจพจน์บางอย่างหรือไม่ เช่น สัจพจน์การเลือก (axiom of choice) เป็นสัจพจน์ที่ถูกเถียงกันมากที่สุดว่าควรจะถือว่าเป็นความจริงดีหรือไม่
* ความหมายของสิ่งต่างๆ ในคณิตศาสตร์ เช่น ความหมายของจำนวนอนันต์ หรือ ความหมายของทฤษฎีบทต่างๆ

อนึ่ง ถึงแม้นักคณิตศาสตร์ทั่วไปมักมีข้อตกลงร่วมกันว่าประเด็นข้างต้นนั้นถือว่าเป็นจริงโดยสามัญสำนึกอยู่ แล้ว แต่ทว่าไม่มีแนวคิดใด รูปแบบใดที่ทุกคนยอมรับว่าดีที่สุด นักคณิตศาสตร์แต่ละคนก็จะมีความเชื่อในแต่ละประเด็นข้างต้นแตกต่างกันไป นักคณิตศาสตร์ที่โด่งดังหลายท่านเช่น ปวงกาเร หรือ เกาส์ ก็สนใจในปรัชญาคณิตศาสตร์ ซึ่งบางทีผลลัพธ์ทางปรัชญาคณิตศาสตร์บางอย่างก็ส่งผลกระทบที่ยิ่งใหญ่ต่อวง การคณิตศาสตร์โดยตรง เช่น เมื่อเกาส์, โบลยาอี้ และโลบาชอพสกี้ค้นพบว่าการละทิ้งสัจพจน์เส้นขนานนั้นสามารถกำเนิดสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์คือเรขาคณิตนอกแบบยุคลิดได้นั้น นักคิดบางท่านเปรียบว่าการค้นพบครั้งนี้สำคัญเทียบเท่าการปฏิวัติของโคเปอร์นิคัสทางดาราศาสตร์และทฤษฎีวิวัฒนาการของชาลส์ ดาร์วินเลยทีเดียว

นักคณิตศาสตร์แตกต่างจากนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรในประเด็นหลัก ๆ ตรงที่ว่า นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ไม่ให้ความสำคัญกับการทดลองมากนัก ในขณะที่สำหรับนักวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรนั้น การทดลอง ถือเป็นเรื่องที่สำคัญที่สุดเลยทีเดียว. นอกจากนั้น ผลลัพธ์หรือทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์หรือวิศวกรรรม มักถือเป็นแค่สิ่งที่ใช้ประมาณหรือใกล้เคียงกับความจริงเท่านั้น (นักฟิสิกส์ที่มีชื่อเสียงเช่น ไฟน์แมน หรือ ดิแรก ได้กล่าวว่าเราไม่มีทางสร้างทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์ที่อธิบายความจริงโดย สมบูรณ์ได้ เพราะว่ามันซับซ้อนเกินไป) ทฤษฎีทางวิทยาศาสตร์นั้นถูกล้มล้างได้ตลอดเวลา ถ้าขัดกับข้อมูลผลการทดลองที่เชื่อถือได้มากพอ. แต่สำหรับนักคณิตศาสตร์แล้วแต่ละทฤษฎีบทถือเป็นความจริงอย่างที่สุดเลยที เดียว (ซึ่งความจริงที่ว่านี้ต้องอิงกับเซตของสัจพจน์ที่นักคณิตศาสตร์ใช้ด้วย)

ประโยคบางประโยคที่นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ว่าจริงหรือไม่จริงได้นั้น เรียกว่า ข้อความคาดการณ์ ข้อความคาดการณ์บางอย่างก็มีชื่อเสียงมาก ถึงกับเป็นเป้าหมายชีวิตในการพิสูจน์ให้เป็นทฤษฎีบทของนักคณิตศาสตร์บางคน. เมื่อคอมพิวเตอร์เริ่มมีบทบาทในวงการวิทยาศาสตร์ ก็ก่อเกิดนักคณิตศาสตร์ประเภทใหม่ขึ้น คือ นักคณิตศาสตร์แนวทดลอง (experimental mathematician) ซึ่งพยายามใช้คอมพิวเตอร์ในการจำลองและทดสอบความจริงของข้อความคาดการณ์ใน หลาย ๆ รูปแบบ